2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù) 第7節(jié) 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)教學(xué)案 文 北師大版

第七節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)最新考綱1.理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運(yùn)算中的作用.2.理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點(diǎn)，會畫底數(shù)為2,10，的對數(shù)函數(shù)的圖像.3.體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.4.了解指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)互為反函數(shù)(對應(yīng)學(xué)生用書第27頁)1對數(shù)概念如果abN(a0，且a1)，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作logaNb，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).性質(zhì)aNlogaabb(a0，且a1)換底公式換底公式：logab(a0，且a1；c0，且c1；b0)運(yùn)算法則loga(M·N)logaMlogaNa0，且a1，M0，N0logalogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)2.對數(shù)函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)定義函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對數(shù)函數(shù)圖像a10a1性質(zhì)定義域：(0，)值域：R當(dāng)x1時，y0，即過定點(diǎn)(1,0)當(dāng)0x1時，y0；當(dāng)x1時，y0當(dāng)0x1時，y0；當(dāng)x1時，y0在(0，)上為增函數(shù)在(0，)上為減函數(shù)3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線yx對稱1換底公式的兩個重要結(jié)論(1)loga b；(2)logambnloga b.其中a0且a1，b0且b1，m，nR且m0.2對數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y1，則該直線與四個函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，故0cd1ab.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)ylog2(x1)是對數(shù)函數(shù)()(2)log2x22log2x.()(3)函數(shù)yln與yln(1x)ln(1x)的定義域相同()(4)對數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)的圖像過定點(diǎn)(1,0)，且過點(diǎn)(a,1)，函數(shù)圖像不在第二、三象限()答案(1)×(2)×(3)(4)二、教材改編1(log29)·(log34)()A.B.C2D4D(log29)·(log34)××4.故選D.2已知a2，blog2，clog，則()AabcBacbCcbaDcabD因?yàn)?a1，b0，cloglog2 31.所以cab.故選D.3函數(shù)y的定義域是_由log(2x1)0，得02x11.x1.函數(shù)y的定義域是.4函數(shù)yloga(4x)1(a0，且a1)的圖像恒過點(diǎn)_(3,1)當(dāng)4x1即x3時，yloga111.所以函數(shù)的圖像恒過點(diǎn)(3,1)(對應(yīng)學(xué)生用書第28頁)考點(diǎn)1對數(shù)式的化簡與求值對數(shù)運(yùn)算的一般思路(1)拆：首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡合并(2)合：將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算1.設(shè)2a5bm，且2，則m等于()A.B10C20D100A由已知，得alog2m，blog5m，則logm2logm5logm102.解得m.2計(jì)算：lg lg 25÷100_.20原式(lg 22lg 52)×100lg×10lg 102×102×1020.3計(jì)算：_.1原式1.4已知log23a,3b7，則log2的值為_由題意3b7，所以log3 7b.所以log 2log .對數(shù)運(yùn)算法則是在化為同底的情況下進(jìn)行的，因此經(jīng)常會用到換底公式及其推論在對含有字母的對數(shù)式進(jìn)行化簡時，必須保證恒等變形考點(diǎn)2對數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用對數(shù)函數(shù)圖像的識別及應(yīng)用方法(1)在識別函數(shù)圖像時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖像上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng)(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖像問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解(1)(2019·浙江高考)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y，yloga (a0，且a1)的圖像可能是()ABCD(2)當(dāng)0x時，4xlogax，則a的取值范圍是()A B. C(1，)D(，2)(1)D(2)B(1)對于函數(shù)yloga，當(dāng)y0時，有x1，得x，即yloga的圖像恒過定點(diǎn)，排除選項(xiàng)A、C；函數(shù)y與yloga在各自定義域上單調(diào)性相反，排除選項(xiàng)B，故選D.(2)構(gòu)造函數(shù)f(x)4x和g(x)logax，當(dāng)a1時不滿足條件，當(dāng)0a1時，畫出兩個函數(shù)在上的圖像，可知fg，即2loga，則a，所以a的取值范圍為.母題探究1(變條件)若本例(2)變?yōu)椋喝舨坏仁絰2logax0對x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解由x2logax0得x2logax，設(shè)f1(x)x2，f2(x)logax，要使x時，不等式x2logax恒成立，只需f1(x)x2在上的圖像在f2(x)logax圖像的下方即可當(dāng)a1時，顯然不成立；當(dāng)0a1時，如圖所示要使x2logax在x上恒成立，需f1f2，所以有l(wèi)oga，解得a，所以a1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是，1).2(變條件)若本例(2)變?yōu)椋寒?dāng)0x時，logax，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解若logax在x(0，成立，則0a1，且y的圖像在ylogax圖像的下方，如圖所示，由圖像知loga，所以解得a1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.1.(2019·合肥模擬)函數(shù)yln(2|x|)的大致圖像為()ABCDA令f(x)ln(2|x|)，易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|2x2，且f(x)ln(2|x|)ln(2|x|)f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，排除選項(xiàng)C，D.當(dāng)x時，fln 0，排除選項(xiàng)B，故選A.2已知函數(shù)yloga(xc)(a，c為常數(shù)，其中a0，a1)的圖像如圖，則下列結(jié)論成立的是()Aa1，c1Ba1,0c1C0a1，c1D0a1,0c1D由對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換知0a1,0c1.3設(shè)方程10x|lg(x)|的兩個根分別為x1，x2，則()Ax1x20Bx1x20Cx1x21D0x1x21D作出y10x與y|lg(x)|的大致圖像，如圖顯然x10，x20.不妨令x1x2，則x11x20，所以10lg(x1)，10lg(x2)，此時1010，即lg(x1)lg(x2)，由此得lg(x1x2)0，所以0x1x21，故選D.考點(diǎn)3對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用解與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)性質(zhì)問題的三個關(guān)注點(diǎn)(1)定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論(2)底數(shù)與1的大小關(guān)系(3)復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的比較大小(1)(2019·天津高考)已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，則a，b，c的大小關(guān)系為()AacbBabcCbcaDcab(2)已知alog2e，bln 2，clog，則a，b，c的大小關(guān)系為()AabcBbacCcbaDcab(1)A(2)D(1)因?yàn)閍log52log5，blog0.50.2log0.50.51，c0.50.2，0.50.21，所以acb，故選A.(2)因?yàn)閍log2e1，bln 2(0,1)，cloglog23log2e1，所以cab，故選D.對數(shù)值大小比較的主要方法(1)化同底數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性(2)化同真數(shù)后利用圖像比較(3)借用中間量(0或1等)進(jìn)行估值比較解簡單對數(shù)不等式(1)若loga1(a0且a1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(2)若loga(a21)loga2a0，則a的取值范圍是_(1) (1，)(2) (1)當(dāng)0a1時，logalogaa1，0a；當(dāng)a1時，logalogaa1，a1.實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，)(2)由題意得a0且a1，故必有a212a，又loga(a21)loga2a0，所以0a1，同時2a1，所以a.綜上，a.對于形如logaf(x)b的不等式，一般轉(zhuǎn)化為logaf(x)logaab，再根據(jù)底數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為f(x)ab或0f(x)ab.而對于形如logaf(x)logbg(x)的不等式，一般要轉(zhuǎn)化為同底的不等式來解和對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問題的步驟已知函數(shù)f(x)log4(ax22x3)，若f(1)1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間解因?yàn)閒(1)1，所以log4(a5)1，因此a54，a1，所以f(x)log4(x22x3)由x22x30，得1x3，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,3)令g(x)x22x3，則g(x)在(1,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減又ylog4x在(0，)上單調(diào)遞增，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3)利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域、最值和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，另外，解題時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的使用1.已知a2，blog2，clog，則a，b，c的大小關(guān)系為()AabcBacbCcabDcbaC0a2201，blog2log210，cloglog231，cab.2若定義在區(qū)間(1,0)內(nèi)的函數(shù)f(x)log2a(x1)滿足f(x)0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B.C.D(0，)A1x0，0x11.又f(x)0，02a1，0a.3已知a0，若函數(shù)f(x)log3(ax2x)在3,4上是增函數(shù)，則a的取值范圍是_要使f(x)log3(ax2x)在3,4上單調(diào)遞增，則yax2x在3,4上單調(diào)遞增，且yax2x0恒成立，即解得a.- 9 -