2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 平面解析幾何 第11節(jié) 圓錐曲線中的證明、探索性問(wèn)題教學(xué)案 理 北師大版

第十一節(jié)圓錐曲線中的證明、探索性問(wèn)題考點(diǎn)1圓錐曲線中的幾何證明問(wèn)題圓錐曲線中常見(jiàn)的證明問(wèn)題(1)位置關(guān)系方面的：如證明直線與曲線相切，直線間的平行、垂直，直線過(guò)定點(diǎn)等(2)數(shù)量關(guān)系方面的：如存在定值、恒成立、相等等在熟悉圓錐曲線的定義與性質(zhì)的前提下，一般采用直接法，通過(guò)相關(guān)的代數(shù)運(yùn)算證明，但有時(shí)也會(huì)用反證法證明(2018·全國(guó)卷)設(shè)橢圓C：y21的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：OMAOMB.解(1)由已知得F(1,0)，l的方程為x1.由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.又M(2,0)，所以AM的方程為yx或yx.(2)證明：當(dāng)l與x軸重合時(shí)，OMAOMB0°.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以O(shè)MAOMB.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2，直線MA，MB的斜率之和為kMAkMB.由y1kx1k，y2kx2k得kMAkMB.將yk(x1)代入y21得(2k21)x24k2x2k220.所以，x1x2，x1x2.則2kx1x23k(x1x2)4k0.從而kMAkMB0，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)所以O(shè)MAOMB.綜上，OMAOMB. 解決本題的關(guān)鍵是把圖形中“角相等”關(guān)系轉(zhuǎn)化為相關(guān)直線的斜率之和為零；類似的還有圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為在該點(diǎn)的圓周角為直角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為斜率之積為1；線段長(zhǎng)度的比問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段端點(diǎn)的縱坐標(biāo)或橫坐標(biāo)之比教師備選例題(2017·全國(guó)卷)已知拋物線C：y22x，過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；(2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P(4，2)，求直線l與圓M的方程解(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2.由可得y22my40，則y1y24.又x1，x2，故x1x24.因此OA的斜率與OB的斜率之積為·1，所以O(shè)AOB.故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24，故圓心M的坐標(biāo)為(m22，m)，圓M的半徑r.由于圓M過(guò)點(diǎn)P(4，2)，因此·0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)知y1y24，x1x24.所以2m2m10，解得m1或m.當(dāng)m1時(shí)，直線l的方程為xy20，圓心M的坐標(biāo)為(3,1)，圓M的半徑為，圓M的方程為(x3)2(y1)210.當(dāng)m時(shí)，直線l的方程為2xy40，圓心M的坐標(biāo)為，圓M的半徑為，圓M的方程為22.1.已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；(2)已知點(diǎn)B(1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是PBQ的角平分線，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)解(1)設(shè)動(dòng)圓圓心為點(diǎn)P(x，y)，則由勾股定理得x242(x4)2y2，化簡(jiǎn)即得圓心的軌跡C的方程為y28x.(2)證明：法一：由題意可設(shè)直線l的方程為ykxb(k0)聯(lián)立得k2x22(kb4)xb20.由4(kb4)24k2b20，得kb2.設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x2，x1x2.因?yàn)閤軸是PBQ的角平分線，所以kPBkQB0，即kPBkQB0，所以kb0，即bk，所以l的方程為yk(x1)故直線l恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)法二：設(shè)直線PB的方程為xmy1，它與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由條件可得，Q與Q關(guān)于x軸對(duì)稱，故Q(x2，y2)聯(lián)立消去x得y28my80，其中64m2320，y1y28m，y1y28.所以kPQ，因而直線PQ的方程為yy1(xx1)又y1y28，y8x1，將PQ的方程化簡(jiǎn)得(y1y2)y8(x1)，故直線l過(guò)定點(diǎn)(1,0)法三：由拋物線的對(duì)稱性可知，如果定點(diǎn)存在，則它一定在x軸上，所以設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0)，直線PQ的方程為xmya.聯(lián)立消去x，整理得y28my8a0，0.設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則由條件可知kPBkQB0，即kPBkQB0，所以8ma8m0.由m的任意性可知a1，所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)法四：設(shè)P，Q，因?yàn)閤軸是PBQ的角平分線，所以kPBkQB0，整理得(y1y2)0.因?yàn)橹本€l不垂直于x軸，所以y1y20，可得y1y28.因?yàn)閗PQ，所以直線PQ的方程為yy1，即y(x1)故直線l恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)2(2019·貴陽(yáng)模擬)已知橢圓1的右焦點(diǎn)為F，設(shè)直線l：x5與x軸的交點(diǎn)為E，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線l1與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，M為線段EF的中點(diǎn)(1)若直線l1的傾斜角為，求ABM的面積S的值；(2)過(guò)點(diǎn)B作直線BNl于點(diǎn)N，證明：A，M，N三點(diǎn)共線解(1)由題意，知F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)直線l1的傾斜角為，k1.直線l1的方程為yx1，即xy1.代入橢圓方程，可得9y28y160.y1y2，y1y2.SABM·|FM|·|y1y2|.(2)證明：設(shè)直線l1的方程為yk(x1)代入橢圓方程，得(45k2)x210k2x5k2200，即x1x2，x1x2.直線BNl于點(diǎn)N，N(5，y2)kAM，kMN.而y2(3x1)2(y1)k(x21)(3x1)2k(x11)kx1x23(x1x2)5k0，kAMkMN.故A，M，N三點(diǎn)共線考點(diǎn)2圓錐曲線中的探索性問(wèn)題探索性問(wèn)題的求解方法 已知橢圓C：9x2y2m2(m>0)，直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)若l過(guò)點(diǎn)，延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說(shuō)明理由解(1)證明：設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直線OM的斜率kOM，即kOM·k9.所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值(2)四邊形OAPB能為平行四邊形因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)，所以l不過(guò)原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k>0，k3.由(1)得OM的方程為yx.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP.由得x，即xP.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線l的方程得b，因此xM.四邊形OAPB為平行四邊形，當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即xP2xM.于是2×，解得k14，k24.因?yàn)閗i>0，ki3，i1,2，所以當(dāng)直線l的斜率為4或4時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形本例題干信息中涉及幾何圖形：平行四邊形，把幾何關(guān)系用數(shù)量關(guān)系等價(jià)轉(zhuǎn)化是求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵幾種常見(jiàn)幾何條件的轉(zhuǎn)化，如下：1平行四邊形條件的轉(zhuǎn)化幾何性質(zhì)代數(shù)實(shí)現(xiàn)(1)對(duì)邊平行斜率相等，或向量平行(2)對(duì)邊相等長(zhǎng)度相等，橫(縱)坐標(biāo)差相等(3)對(duì)角線互相平分中點(diǎn)重合2圓條件的轉(zhuǎn)化幾何性質(zhì)代數(shù)實(shí)現(xiàn)(1)點(diǎn)在圓上點(diǎn)與直徑端點(diǎn)向量數(shù)量積為零(2)點(diǎn)在圓外點(diǎn)與直徑端點(diǎn)向量數(shù)量積為正數(shù)(3)點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)與直徑端點(diǎn)向量數(shù)量積為負(fù)數(shù)3角條件的轉(zhuǎn)化幾何性質(zhì)代數(shù)實(shí)現(xiàn)(1)銳角，直角，鈍角角的余弦(向量數(shù)量積)的符號(hào)(2)倍角，半角，平分角角平分線性質(zhì)，定理(夾角、到角公式)(3)等角(相等或相似)比例線段或斜率教師備選例題已知橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓E：y21有相同的焦點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)直線l：ykxm與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x4交于點(diǎn)Q，問(wèn)：以線段PQ為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)M？若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)橢圓E的焦點(diǎn)為(±1,0)，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，則解得所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)聯(lián)立消去y，得(34k2)x28kmx4m2120，所以64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2.設(shè)P(xP，yP)，則xP，yPkxPmm，即P.假設(shè)存在定點(diǎn)M(s，t)滿足題意，因?yàn)镼(4,4km)，則，(4s,4kmt)，所以·(4s)(4kmt)(1s)t(s24s3t2)0恒成立，故解得所以存在點(diǎn)M(1,0)符合題意1.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，直線xy10與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|.(1)求拋物線的方程；(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)C，使ABC為正三角形？若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)設(shè)所求拋物線的方程為y22px(p>0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 消去y，得x22(1p)x10，判別式4(1p)248p4p2>0恒成立，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x22(1p)，x1x21.因?yàn)閨AB|，所以，所以121p2242p480，所以p或p(舍去)故拋物線的方程為y2x.(2)設(shè)弦AB的中點(diǎn)為D，則D.假設(shè)x軸上存在滿足條件的點(diǎn)C(x0,0)因?yàn)锳BC為正三角形，所以CDAB，所以x0，所以C，所以|CD|.又|CD|AB|，與上式|CD|矛盾，所以x軸上不存在點(diǎn)C，使ABC為正三角形2已知橢圓C1：1(ab0)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，A為上頂點(diǎn)，B(2,0)為右頂點(diǎn)，若|2|，拋物線C2的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F.(1)求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在過(guò)F點(diǎn)的直線，與橢圓C1和拋物線C2的交點(diǎn)分別是P，Q和M，N，使得SOPQSOMN？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)依題意可知|2|，即a2，由B(2,0)為右頂點(diǎn)，得a2，解得b23，所以C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)依題意可知C2的方程為y24x，假設(shè)存在符合題意的直線，設(shè)直線方程為xky1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，聯(lián)立得(3k24)y26ky90，由根與系數(shù)的關(guān)系得y1y2，y1y2，則|y1y2|，聯(lián)立得y24ky40，由根與系數(shù)的關(guān)系得y3y44k，y3y44，所以|y3y4|4，若SOPQSOMN，則|y1y2|y3y4|，即2，解得k±，所以存在符合題意的直線，直線的方程為xy10或xy10.9