2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第3講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和習(xí)題 理 新人教A版(I)

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第3講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和習(xí)題 理 新人教A版(I)一、填空題1.(xx·全國卷)已知等比數(shù)列an滿足a13，a1a3a521，則a3a5a7_.解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由a13，a1a3a521得3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)2×2142.答案422.已知x，y，zR，若1，x，y，z，3成等比數(shù)列，則xyz的值為_.解析由等比中項(xiàng)知y23，y±，又y與1，3符號相同，y，y2xz，所以xyzy33.答案33.在等比數(shù)列an中，如果a1a418，a2a312，那么這個數(shù)列的公比為_.解析設(shè)數(shù)列an的公比為q，由，得q2或q.答案2或4.(xx·湘潭模擬)已知等比數(shù)列an的公比為正數(shù)，且a2·a69a4，a21，則a1的值為_.解析設(shè)數(shù)列an的公比為q(q0)，由a2·a69a4，得a2·a2q49a2q2，又a21，解得q29，所以q3或q3(舍)，所以a1.答案5.設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列an，Sn為前n項(xiàng)和，且S1010，S3070，那么S40等于_.解析依題意，數(shù)列S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比數(shù)列，因此有(S20S10)2S10(S30S20).即(S2010)210(70S20)，故S2020或S2030，又S200，因此S2030，S20S1020，S30S2040，故S40S3080.S40150.答案1506.(xx·蘇、錫、市、鎮(zhèn)模擬)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S1，S3，S2成等差數(shù)列，則an的公比q等于_.解析S1，S3，S2成等差數(shù)列，a1a1a1q2(a1a1qa1q2).a10，q0，解得q.答案7.(xx·哈爾濱一模)正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a24，a416，則數(shù)列an的前9項(xiàng)和等于_.解析正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比q2，a12，S91 022.答案1 0228.(xx·成都診斷)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S43S2，a32，則a7_.解析設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，顯然q1且q0，因?yàn)镾43S2，所以，解得q22，因?yàn)閍32，所以a7a3q42×228.答案8二、解答題9.(xx·四川卷)設(shè)數(shù)列an(n1，2，3，)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.解(1)由已知Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)，從而a22a1，a32a24a1，又因?yàn)閍1，a21，a3成等差數(shù)列，即a1a32(a21)，所以a14a12(2a11)，解得a12，所以，數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故an2n.(2)由(1)得，所以Tn1.10.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn4an3(nN*).(1)證明：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列bn滿足bn1anbn(nN*)，且b12，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.(1)證明依題意Sn4an3(nN*)，n1時，a14a13，解得a11.因?yàn)镾n4an3，則Sn14an13(n2)，所以當(dāng)n2時，anSnSn14an4an1，整理得anan1.又a110，所以an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.(2)解由(1)知an，由bn1anbn(nN*)，得bn1bn.可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)23·1(n2).當(dāng)n1時也滿足，所以數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn3·1(nN*).(建議用時：20分鐘)11.(xx·南通二模)已知數(shù)列an是首項(xiàng)a14的等比數(shù)列，且4a1，a5，2a3成等差數(shù)列，則其公比q等于_.解析4a1，a5，2a3成等差數(shù)列，2a54a12a3，即2a1q44a12a1q2，又a14，則有q4q220，解得q21，q±1.答案±112.(xx·臨沂模擬)數(shù)列an中，已知對任意nN*，a1a2a3an3n1，則aaaa等于_.解析a1a2an3n1，nN*，n2時，a1a2an13n11，當(dāng)n2時，an3n3n12·3n1，又n1時，a12適合上式，an2·3n1，故數(shù)列a是首項(xiàng)為4，公比為9的等比數(shù)列.因此aaa(9n1).答案(9n1)13.(xx·沈陽質(zhì)量監(jiān)測)數(shù)列an是等比數(shù)列，若a22，a5，則a1a2a2a3anan1_.解析由題意得q3q，ana2·qn2，anan1·8×，數(shù)列anan1是以8為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，a1a2a2a3anan1(14n).答案(14n)14.(xx·江蘇卷節(jié)選)設(shè)a1，a2，a3，a4是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d(d0)的等差數(shù)列.(1)證明：2a1，2a2，2a3，2a4依次構(gòu)成等比數(shù)列；(2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說明理由；(1)證明因?yàn)?an1an2d(n1，2，3)是同一個常數(shù)，所以2a1，2a2，2a3，2a4依次構(gòu)成等比數(shù)列，(2)解不存在，理由如下：令a1da，則a1，a2，a3，a4分別為ad，a，ad，a2d(ad，a2d，d0).假設(shè)存在a1，d，使得a1，a，a，a依次構(gòu)成等比數(shù)列，則a4(ad)(ad)3，且(ad)6a2(a2d)4.令t，則1(1t)(1t)3，且(1t)6(12t)4，化簡得t32t220(*)，且t2t1.將t2t1代入(*)式，t(t1)2(t1)2t23tt13t4t10，則t.顯然t不是上面方程的解，矛盾，所以假設(shè)不成立.因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次構(gòu)成等比數(shù)列.