2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次五校聯(lián)考試題 文（含解析）新人教A版

2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次五校聯(lián)考試題 文（含解析）新人教A版本試卷共4頁(yè)，21小題，滿分150分考試用時(shí)120分鐘 【試卷綜析】試題比較平穩(wěn)，基本符合高考復(fù)習(xí)的特點(diǎn)，穩(wěn)中有變，變中求新,適當(dāng)調(diào)整了試卷難度，考查的知識(shí)涉及到函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等幾章知識(shí)，重視學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考察，同時(shí)側(cè)重考察了學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和思維能力的考察，有相當(dāng)一部分的題目靈活新穎，知識(shí)點(diǎn)綜合與遷移。試卷的整體水準(zhǔn)應(yīng)該說(shuō)可以看出編寫(xiě)者花費(fèi)了一定的心血。但是綜合知識(shí)、創(chuàng)新題目的題考的有點(diǎn)少,試題以它的知識(shí)性、思辨性、靈活性，基礎(chǔ)性充分體現(xiàn)了考素質(zhì)，考基礎(chǔ)，考方法，考潛能的檢測(cè)功能。試題起到了引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)向全面培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的方向發(fā)展的作用.一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的【題文】1已知集合，集合，則A B C D【知識(shí)點(diǎn)】集合運(yùn)算. A1【答案解析】B 解析：集合B用列舉法表示為：，所以故選B.【思路點(diǎn)撥】先把集合B用列舉法表示，再根據(jù)交集定義求.【題文】2設(shè)復(fù)數(shù)，若，則A B C D【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)運(yùn)算. L4【答案解析】A 解析：因?yàn)椋?，所以x=-2，故選A.【思路點(diǎn)撥】利用復(fù)數(shù)乘法求得，由復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)則復(fù)數(shù)的虛部為0得結(jié)論.【題文】3已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是ABCD【知識(shí)點(diǎn)】空間中線面平行、垂直的判定與性質(zhì). G4 G5【答案解析】D 解析：對(duì)于選項(xiàng)A: m,n平行、相交、異面都有可能；對(duì)于選項(xiàng)B: 可能平行、可能相交；對(duì)于選項(xiàng)C：可能平行、可能相交；所以選項(xiàng)A、B、C都不正確，故選D.【思路點(diǎn)撥】依次分析各選項(xiàng)得選項(xiàng)A、B、C都不正確，故選D.【題文】4已知向量，且，則的值為ABC5D13【知識(shí)點(diǎn)】向量共線的意義；向量模的計(jì)算. F1 F2【答案解析】B 解析：由，且得12=-3x，即x=-4,所以，故選B.【思路點(diǎn)撥】由向量共線得x=-4，從而得.【題文】5等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則A B C D【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列. D2【答案解析】C 解析：由得，所以，又所以，從而d=2，所以，故選C.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求得，再由求得d=2，所以.【題文】6執(zhí)行如右圖所示的程序框圖，則輸出的=A B C D【知識(shí)點(diǎn)】算法與程序框圖. L1【答案解析】D 解析：由程序框圖得循環(huán)過(guò)程中y的取值依次是這是一個(gè)以3為周期的周期數(shù)列，而xx除以3余1，所以輸出的y值是此數(shù)列的第一個(gè)數(shù)2，故選D.【思路點(diǎn)撥】由程序框圖得y取值規(guī)律: 以3為周期的周期數(shù)列,由此得輸出的y值.【題文】7將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后所得的圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸是 A B C D【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖像與性質(zhì). C4【答案解析】A 解析：將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后所得：，而對(duì)稱(chēng)軸是使函數(shù)取得最值的x值，經(jīng)檢驗(yàn)成立，故選A.【思路點(diǎn)撥】函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后為，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸是使函數(shù)取得最值的x值得結(jié)論.【題文】8函數(shù)在區(qū)間0，4上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A4 B5C6D 7【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn). B9【答案解析】C 解析：由得x-1=0或，又所以，所以x=1或，所以函數(shù)在區(qū)間0，4上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是6，故選C.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的意義:函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)值為0的方程的根，因此只需求方程解的個(gè)數(shù)即可.【題文】9已知直線，若曲線上存在兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則的值為A BCD【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系. H4【答案解析】D 解析：因?yàn)榍€是圓，若圓上存在兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則直線，過(guò)圓心（-1,3），所以，解得，故選D.【思路點(diǎn)撥】將已知曲線方程配方得其為圓，若圓上存在兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則直線過(guò)圓心，由此得關(guān)于m的方程，從而求得m值.【題文】10已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有成立，則不等式的解集是A B C D【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. B4 B12【答案解析】A 解析：構(gòu)造函數(shù)，則，所以是上過(guò)點(diǎn)（1,0）的增函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，從而得；當(dāng)時(shí)，從而得.由于函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以不等式的解集,故選A. 【思路點(diǎn)撥】構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)是上過(guò)點(diǎn)（1,0）的增函數(shù)，由此得在（0,1）上，在上，由函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，得不等式的解集.二、填空題：本大題共5題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分（一）必做題（1113題）【題文】11. 函數(shù)的定義域?yàn)? 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的定義域. B1 【答案解析】 解析：自變量x滿足的條件為所以函數(shù)的定義域?yàn)?【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)有意義的條件列出關(guān)于x的不等式組求解.【題文】12.一個(gè)幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為 .【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的三視圖. G2【答案解析】 解析：由三視圖可知此幾何體是底面半徑為2，高為3的半圓柱，所以其體積為.【思路點(diǎn)撥】由幾何體的三視圖得該幾何體的形狀，從而求該幾何體的體積.【題文】13.設(shè)雙曲線的離心率為2，且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，則此雙曲線的方程為_(kāi).【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線與拋物線的幾何性質(zhì). H6 H7 【答案解析】 解析：根據(jù)題意知：雙曲線的離心率，一焦點(diǎn),所以，從而，又焦點(diǎn)在y軸上，所以，此雙曲線的方程為.【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)已知條件求得雙曲線的字母參數(shù)a,b,c的值，再由焦點(diǎn)位置求得雙曲線方程.（二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）【題文】14. （幾何證明選講選做題）如圖，是圓的切線，切點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上，則圓的面積為_(kāi)【知識(shí)點(diǎn)】幾何證明. N1【答案解析】 解析：連接OC，因?yàn)镃D是圓O的切線，C為切點(diǎn)，所以,因?yàn)?，所?作于H，則H為BC中點(diǎn)，因?yàn)锽C=，所以所以半徑OC=，所以圓的面積為.【思路點(diǎn)撥】利用圓的切線的性質(zhì)及垂徑定理，求得圓的半徑，從而求出圓面積.【題文】15. （正四棱錐與球體積選做題）棱長(zhǎng)為1的正方體的外接球的體積為_(kāi)【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球. G8【答案解析】 解析：因?yàn)檎襟w外接球的直徑是正方體的對(duì)角線，而正方體的棱長(zhǎng)為1，所以球的直徑，棱長(zhǎng)為1的正方體的外接球的體積為：.【思路點(diǎn)撥】由正方體外接球的直徑等于正方體的對(duì)角線，求得正方體的外接球的直徑，進(jìn)而求得球的體積.三、解答題：本大題共6小題，滿分80分。解答需寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟【題文】16（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和值域；（2）若，求的值【知識(shí)點(diǎn)】二倍角公式；兩角和與差的三角函數(shù)；三角函數(shù)的性質(zhì)；三角函數(shù)的求值. C6 C5 C3 C7【答案解析】(1) 的最小正周期為，值域?yàn)?(2) . 解析：（1）由已知，得 -4分-所以的最小正周期為，值域?yàn)? 6分（2）由（1）知，所以. 8分所以，12分或由得：8分兩邊平方得：，所以.12分【思路點(diǎn)撥】(1)利用二倍角公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知函數(shù)得：，由此求函數(shù)的最小正周期和值域；（2）由（1）及得，所以.【題文】17（本小題滿分13分）某中學(xué)高三年級(jí)從甲（文）、乙（理）兩個(gè)年級(jí)組各選出7名學(xué)生參加高校自主招生數(shù)學(xué)選拔考試，他們?nèi)〉玫某煽?jī)（滿分100分）的莖葉圖如圖所示，其中甲組學(xué)生的平均分是85，乙組學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83（1）求和的值；（2）計(jì)算甲組7位學(xué)生成績(jī)的方差；（3）從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求甲組至少有一名學(xué)生的概率【知識(shí)點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體（莖葉圖）；概率. I2 K2【答案解析】（1）x=5,y=3;（2）. 解析：（1）甲組學(xué)生的平均分是85，. .1分 乙組學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83， .2分（2）甲組7位學(xué)生成績(jī)的方差為： 5分（3）甲組成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有兩名，分別記為，乙組成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有三名，分別記為. 6分從這五名學(xué)生任意抽取兩名學(xué)生共有10種情況：.9分其中甲組至少有一名學(xué)生共有7種情況：.11分記“從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，甲組至少有一名學(xué)生”為事件，則.12分答：從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，甲組至少有一名學(xué)生的概率為.【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)的意義x、y的值；（2）90分以上的學(xué)生共5名，其中有2名甲組學(xué)生，3名乙組學(xué)生，從這5名學(xué)生中隨機(jī)取出2名學(xué)生的情況有10種，可用列舉法一一寫(xiě)出來(lái)，其中甲組至少有一名學(xué)生共有7種情況，所以從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，其中甲組至少有一名學(xué)生的概率是.【題文】18（本小題滿分13分）如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如圖乙），設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱AC、AD的中點(diǎn)（1）求證：DC平面ABC；（2）設(shè)，求三棱錐ABFE的體積【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的判定與性質(zhì)；幾何體體積的計(jì)算. G1 G4 G5【答案解析】(1)略；（2） 解析：（1）證明：在圖甲中，且 ,即1分又在圖乙中，平面ABD平面BDC ，且平面ABD平面BDCBDAB底面BDC，ABCD3分，DCBC4分又由5分DC平面ABC6分（2）點(diǎn)E、F分別為AC、AD的中點(diǎn)EF/CD7分又由（1）知，DC平面ABCEF平面ABC 8分于是EF即為三棱錐的高，9分在圖甲中，, ,由得 ,11分12分13分（若有其他解法，可視情況酌情給分）【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，只需在平面ABC中找到兩條相交直線都與直線DC垂直即可，顯然平面ABC中的兩條相交直線是BC和BA；（2）點(diǎn)E、F分別為AC、AD的中點(diǎn)，EF/CD，又由（1）知，DC平面ABC，EF平ABC ，=.【題文】19（本小題滿分14分）各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前四項(xiàng)的和為，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和；（2）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)的最小值【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和；數(shù)列求和；恒成立問(wèn)題. D2 D4 【答案解析】(1) ，;(2) .解析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由已知得2分解得或由數(shù)列的各項(xiàng)均不相等，所以3分所以，解得. 4分故，6分（2）因?yàn)?分所以10分因?yàn)閷?duì)恒成立。即，對(duì)恒成立。等價(jià)于對(duì)恒成立。11分又，且在時(shí)取等號(hào)13分所以實(shí)數(shù)的最小值為. 14分【思路點(diǎn)撥】(1)由已知條件獲得關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，解方程組，求得首項(xiàng)和公差，從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和；（2）由裂項(xiàng)求和法求得，因?yàn)閷?duì)恒成立. 即，對(duì)恒成立.等價(jià)于對(duì)恒成立. 又，且在時(shí)取等號(hào)，所以實(shí)數(shù)的最小值為. 【題文】20（本小題滿分14分）已知橢圓：（）的上頂點(diǎn)為，過(guò)的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為若有一個(gè)菱形的頂點(diǎn)、在橢圓上，該菱形對(duì)角線所在直線的斜率為（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（3）當(dāng)時(shí)，求菱形面積的最大值.【知識(shí)點(diǎn)】橢圓及其幾何性質(zhì)；直線的方程；直線與圓錐曲線. H5 H1 H8【答案解析】(1) ; (2) ; (3) 解析：（1）依題意，1分解，得，2分所以，3分于是橢圓的方程為。4分（2）由已知得直線：，5分設(shè)直線：，、6分由方程組得，7分當(dāng)時(shí)，AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，8分因?yàn)槭橇庑危缘闹悬c(diǎn)在上，所以，解得，滿足，9分所以的方程為。10分（3）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，且，所以，所以菱形的面積，11分由（2）可得13分又因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，菱形的面積取得最大值，最大值為。14分【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)題意得，解得a,b值，進(jìn)而得到橢圓的方程；（2）利用直線方程的點(diǎn)斜式得直線BD方程y=-x+1. 設(shè)直線AC:y=x+b,代入橢圓方程，由韋達(dá)定理得用b表示的線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)，此坐標(biāo)滿足直線BD方程，求得b，從而得到直線AC的方程.（3）在菱形ABCD中，由知：，所以菱形ABCD的面積可用對(duì)角線AC的長(zhǎng)表示為，由弦長(zhǎng)公式得關(guān)于b的表達(dá)式，即得到菱形ABCD的面積S關(guān)于b的函數(shù)，求此函數(shù)最大值即可.【題文】21（本小題滿分14分）已知函數(shù)，（1）若，判斷函數(shù)是否存在極值，若存在，求出極值；若不存在，說(shuō)明理由；（2）設(shè)函數(shù)，若至少存在一個(gè)，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. B12【答案解析】 解析：（1）當(dāng)時(shí)，其定義域?yàn)椋?，+¥）.因?yàn)椋?分所以在（0，+¥）上單調(diào)遞增，2分所以函數(shù)不存在極值. 3分（2）由存在一個(gè)，使得成立，等價(jià)于，即成立4分令，等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，”.5分因?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，7分故，因此. 8分（3）函數(shù)的定義域?yàn)?分當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵冢?，+¥）上恒成立，所以在（0，+¥）上單調(diào)遞減.10分當(dāng)時(shí)，在上，方程與方程有相同的實(shí)根.時(shí)，D>0，可得，且11分因?yàn)闀r(shí)，所以在上單調(diào)遞增；因?yàn)闀r(shí)， ，所以在上單調(diào)遞減；因?yàn)闀r(shí)，所以在上單調(diào)遞增；12分當(dāng)時(shí)，所以在（0，+¥）上恒成立，故在（0，+¥）上單調(diào)遞增. 13分綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為（0，+¥）；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為與；單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為（0，+¥）.14分【思路點(diǎn)撥】（1）當(dāng)a=1時(shí)，x>0，則在上恒成立，所以在（0，+¥）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)不存在極值.（2）至少存在一個(gè)，使得成立，即至少存在一個(gè)，使 ，即在 有解，令，則，利用導(dǎo)數(shù)求得即可；（也可用數(shù)形結(jié)合法：至少存在一個(gè)，使，也就是過(guò)定點(diǎn)（0,0）的直線y=ax的圖像在區(qū)間上，有在函數(shù) 上方的部分，所以a>0. （3）先求函數(shù)的定義域及導(dǎo)函數(shù)，再討論a的取值條件得大于零或小于零的x取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.