2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題7 概率與統(tǒng)計 第1講 排列、組合與二項式定理 理

2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題7 概率與統(tǒng)計 第1講 排列、組合與二項式定理 理計數(shù)原理、排列、組合問題1.將2名教師,4名學(xué)生分成2個小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動,每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成,不同的安排方案共有(A)(A)12種(B)10種(C)9種(D)8種解析:分兩步:第一步,選派一名教師到甲地,另一名到乙地,共有=2(種)選派方法;第二步,選派兩名學(xué)生到甲地,另外兩名到乙地,共有=6(種)選派方法.由分步乘法計數(shù)原理,不同選派方案共有2×6=12(種).2.計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫,排成一列,要求同一品種的畫必須連在一起,并且水彩畫不放在兩端,那么不同的排列方式的種數(shù)有(D)(A)(B)(C)(D)解析:先把3個品種的畫看成整體,而水彩畫受限制應(yīng)優(yōu)先考慮,不能放在頭尾,油畫與國畫有種放法,再考慮國畫與油畫本身又可以全排列,故排列的方法有種.3.從6本不同的書中選出4本,分別發(fā)給4個同學(xué),已知其中兩本書不能發(fā)給甲同學(xué),則不同分配方法有(C)(A)180(B)220(C)240(D)260解析:先從其他四本不同的書中選一本發(fā)給甲同學(xué),有種;再從剩下的五本不同的書中選三本發(fā)給其他3個同學(xué),有種;則不同分配方法有=240種.4.用0,1,9十個數(shù)字,可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為(B)(A)243(B)252(C)261(D)279解析:由0,1,9十個數(shù)字共可組成三位數(shù)個數(shù)為=900,其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有=648(個),則符合題意的三位數(shù)個數(shù)為900-648=252.故選B.5. 如圖,用6種不同的顏色把圖中A,B,C,D4塊區(qū)域分開,若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色,則涂色方法共有種(用數(shù)字作答). 解析:從A開始涂色,A有6種涂色方法,B有5種涂色方法,C有4種涂色方法,D若與A顏色相同有1種涂色方法,否則有3種涂色方法.共有6×5×4×(1+3)=480種涂色方法.答案:4806.有4名優(yōu)秀學(xué)生A,B,C,D全部被保送到甲,乙,丙3所學(xué)校,每所學(xué)校至少去一名,則不同的保送方案共有種. 解析:先把4名學(xué)生分為2,1,1的3組,有=6種分法,再將這3組分配到3所學(xué)校,有=6種情況,則共有6×6=36種不同的保送方案.答案:367.在運(yùn)動會百米決賽上,8名男運(yùn)動員參加100米決賽.其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號跑道上,則安排這8名運(yùn)動員比賽的方式共有種. 解析:分兩步安排這8名運(yùn)動員.第一步:安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四條跑道可安排.所以安排方式有=4×3×2=24種.第二步:安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號跑道安排,所以安排方式有=5×4×3×2×1=120種.故安排這8人的方式有24×120=2880種.答案:2880二項式定理的應(yīng)用8.在(x-)5的二項展開式中,x2的系數(shù)為(A)(A)40(B)-40(C)80(D)-80解析:(x-)5的展開式的通項為=x5-r(-)r=(-2)r,令5-=2,得r=2,故展開式中x2的系數(shù)是(-2)2=40,故選A.9.若二項式(x3-)n(nN*),展開式中含有常數(shù)項,則n的最小值為(A)(A)7(B)6(C)5(D)4解析:根據(jù)題意,得Tr+1=x3(n-r)(-)r=,令6n-7r=0,得n=,故n的最小值為7,故選A.10.已知關(guān)于x的二項式(+)n展開式的二項式系數(shù)之和為32,常數(shù)項為80,則a的值為(C)(A)1(B)±1(C)2(D)±2解析:根據(jù)題意,該二項式的展開式的二項式系數(shù)之和為32,則有2n=32,可得n=5,則二項式的展開式的通項公式為Tr+1=()5-r()r=ar令15-5r=0得r=3,由題意有a3=80,解可得a=2;故選C.11.在二項式(x2+)n的展開式中,所有二項式系數(shù)的和是32,則展開式中各項系數(shù)的和為(A)(A)32(B)-32(C)0(D)1解析:依題意得所有二項式系數(shù)的和為2n=32,解得n=5.因此,令x=1,則該二項展開式中的各項系數(shù)的和等于(12+)5=32,故選A.12.(xx皖南八校三聯(lián))(+)n的展開式中第五項和第六項的二項式系數(shù)最大,則第四項為. 解析:由已知條件第五項和第六項二項式系數(shù)最大,得n=9,(+)9展開式的第四項為T4=·()6·()3=.答案:13.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+a12x12,則a2+a4+a12=. 解析:令x=1,則a0+a1+a2+a12=36,令x=-1,則a0-a1+a2-+a12=1,所以a0+a2+a4+a12=.令x=0,則a0=1,所以a2+a4+a12=-1=364.答案:36414.若(x2+ax+1)6(a>0)的展開式中x2的系數(shù)是66,則sin xdx的值為. 解析:由題意可得(x2+ax+1)6的展開式中x2的系數(shù)為+a2故+a2=66,所以a=2或a=-2(舍去).故 sin xdx=sin xdx=(-cos x)=1-cos 2.答案:1-cos 2一、選擇題1.從8名女生和4名男生中,抽取3名學(xué)生參加某檔電視節(jié)目,如果按性別比例分層抽樣,則不同的抽取方法數(shù)為(B)(A)224(B)112(C)56 (D)28解析:根據(jù)分層抽樣,從12個人中抽取男生1人,女生2人;所以取2名女生1名男生的方法數(shù)為=112.2.從0,2中選一個數(shù)字,從1,3,5中選兩個數(shù)字,組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為(B)(A)24(B)18(C)12(D)6解析:依該數(shù)三個數(shù)位數(shù)字的奇偶性可分為兩種情況:(1)奇偶奇;(2)偶奇奇.對于(1),有=12個數(shù),對于(2)有·=6個數(shù).滿足條件的數(shù)共有12+6=18個.故選B.3.4位同學(xué)從甲、乙、丙3門課程中各選修1門,則恰有2人選修課程甲的不同選法有(B)(A)12種(B)24種(C)30種(D)36種解析:分三步,第一步先從4位同學(xué)中選2人選修課程甲.共有種不同選法,第二步第3位同學(xué)選課程,有2種選法.第三步第4位同學(xué)選課程,也有2種不同選法.故共有×2×2=24(種).4.(xx湖北卷)若二項式(2x+)7的展開式中的系數(shù)是84,則實數(shù)a等于(C)(A)2(B)(C)1(D)解析:Tk+1=(2x)7-k()k=27-kakx7-2k,令7-2k=-3,得k=5,即T5+1=22a5x-3=84x-3,解得a=1.故選C.5.設(shè)aZ,且0a<13,若51xx+a能被13整除,則a等于(D)(A)0(B)1(C)11(D)12解析:51xx+a=a+(1-13×4)xx=a+1-(13×4)+(13×4)2+(13×4)xx,顯然當(dāng)a+1=13,即a=12時,51xx+a=13+13×4-+(13×4)1+(13×4)xx,能被13整除.故a=12.6.在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)等于(C)(A)45(B)60(C)120(D)210解析:因為f(m,n)=,所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=+=120.7.從某班成員分別為3人,3人和4人的三個學(xué)習(xí)小組中選派4人組成一個環(huán)保宣傳小組,則每個學(xué)習(xí)小組都至少有1人的選派方法種數(shù)是(C)(A)130(B)128(C)126(D)124解析:每個小組至少1人,則等價為有一個小組選派2人,其余兩個小組各1人,則共有+=36+36+54=126,選C.8.若(ax+)6展開式的所有項系數(shù)之和為64,則展開式的常數(shù)項為(C)(A)10或-270(B)10(C)20或-540(D)20解析:由(ax+)6展開式的所有項系數(shù)之和為64,知(a+1)6=64,解得a=1或a=-3,當(dāng)a=1時,由Tr+1=·x6-r·x-r=·x6-2r,令6-2r=0,得r=3,展開式的常數(shù)項為=20;當(dāng)a=-3時,由Tr+1=·(-3)6-r·x6-r·x-r=·(-3)6-r·x6-2r,令6-2r=0,得r=3,展開式的常數(shù)項為(-3)3·=-540.9.某公司新招聘5名員工,分給下屬的甲、乙兩個部門,其中兩名英語翻譯人員不能分給同一部門;另三名電腦編程人員不能都分給同一個部門,則不同的分配方案種數(shù)是(B)(A)6(B)12(C)24(D)36解析:先安排兩名英語翻譯,有種辦法;然后從三名電腦編程人員選出兩名安排在同一部門,種辦法,因此,滿足條件的不同分配方案種數(shù)是··=2×3×2=12.10.(xx河北滄州4月質(zhì)檢)(x-1)(+x)6的展開式中的一次項系數(shù)是(C)(A)5(B)14(C)20(D)35解析:(+x)6中展開式的通項為Tr+1=()6-rxr=x2r-6,令2r-6=0,得r=3,此時展開式中的常數(shù)項為20,令2r-6=1,無整數(shù)解,故(+x)6的展開式中無一次項.故(x-1)(+x)6的展開式中的一次項系數(shù)是20.故選C.11.將甲、乙等5名交警分配到三個不同路口疏導(dǎo)交通,每個路口至少一人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有(C)(A)18種(B)24種(C)36種(D)72種解析:先分組:(1)一路口3人,另兩路口各1人,因為甲、乙在同一路口,則共有=3(種);(2)兩路口2人,一路口1人,因為甲、乙在同一路口,則共有=3(種).再排列,所有的分配方案共有(+)=36(種).12.設(shè)函數(shù)f(x)=(2x+a)n,其中n=6cos xdx,=-12,則f(x)的展開式中x4的系數(shù)為(B)(A)-240(B)240(C)-60(D)60解析:根據(jù)題意,n=6 cosxdx=6sin x=6(sin -sin 0)=6,故n=6,所以f(x)=(2x+a)6,從而得到f(x)=6(2x+a)5×2=12(2x+a)5,f(0)=12a5,f(0)=a6,故=-12,解得a=-1,故f(x)=(2x-1)6,f(x)的展開式的通項公式Tr+1=(2x)r(-1)6-r,T4+1=(2x)4(-1)6-4=240x4,故選B.二、填空題13.已知(ax+1)5的展開式中x2的系數(shù)與(x+)4的展開式中x3的系數(shù)相等,則a=. 解析:由二項式定理知:(ax+1)5的展開式中x2的系數(shù)為a2,(x+)4的展開式中x3的系數(shù)為,于是有a2=,解得a2=,所以可得a=±.答案:±14.5位同學(xué)排隊,其中3位女生,2位男生.如果2位男生不能相鄰,且女生甲不能排在排頭,則排法種數(shù)為. 解析:先排3個女生,三個女生之間有4個空,從4個空中選2個排男生,共有=72種,若女生甲排在第1個,則三個女生之間有3個空,從3個空中選2個排男生,有=12種,所以滿足條件的不同排法有72-12=60種.答案:6015.若(-)n展開式的各項系數(shù)的絕對值之和為1024,則展開式中x的系數(shù)為. 解析:Tr+1=()n-r(-)r=(-3)r·,因為展開式的各項系數(shù)絕對值之和為+|(-3)1|+(-3)2+|(-3)3|+|(-3)n|=(1+3)n=1024,解得n=5,令=1,解得r=1,所以展開式中x的系數(shù)為(-3)1=-15.答案:-1516. 現(xiàn)有四種不同顏色的染料,給如圖的四個不同區(qū)域染色,每個區(qū)域只染一種顏色,相鄰區(qū)域涂不同的顏色,若同一種顏色可重復(fù)使用,則共有種不同的染色方法(用數(shù)字作答). 解析:有四種不同顏色的染料完成這件事情最少需要兩種染料,最多可用四種,故按照使用染料的種數(shù)來分類;第一類使用兩種染料時有=12(種)方法;第二類使用三種染料時有=72(種)方法;第三類使用四種染料時有=24(種)方法,所以最終一共有12+72+24=108(種)不同的染色方法.答案:108