2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 數(shù)列 第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和教學(xué)案 理 北師大版

第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項和最新考綱1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系1等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式為q(nN，q為非零常數(shù))(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使得a，G，b成等比數(shù)列，那么根據(jù)等比數(shù)列的定義，G2ab，G±，那么G叫作a與b的等比中項即：G是a與b的等比中項a，G，b成等比數(shù)列G2ab.2等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：ana1qn1amqnm.(2)前n項和公式：Sn等比數(shù)列的常用性質(zhì)1在等比數(shù)列an中，若mnpq2k(m，n，p，q，kN)，則am·anap·aqa.2若數(shù)列an，bn(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an(0)，a，an·bn，仍然是等比數(shù)列3等比數(shù)列an的前n項和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn，其中當(dāng)公比為1時，n為偶數(shù)時除外一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)滿足an1qan(nN，q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列()(2)G為a，b的等比中項G2ab.()(3)若an為等比數(shù)列，bna2n1a2n，則數(shù)列bn也是等比數(shù)列()(4)數(shù)列an的通項公式是anan，則其前n項和為Sn.()(5)數(shù)列an為等比數(shù)列，則S4，S8S4，S12S8成等比數(shù)列()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×二、教材改編1在等比數(shù)列an中，a32，a78，則a5等于()A5B±5C4D±4Caa3a72×816，a5±4.又a5a3q20，a54.2等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S3a210a1，a59，則a1()A.B.C.D.CS3a210a1，a1a2a3a210a1，a39a1，即公比q29，又a5a1q4，a1.故選C.3在數(shù)列an中，a12，an12an，Sn為an的前n項和若Sn126，則n_.6a12，an12an，數(shù)列an是首項為2，公比為2的等比數(shù)列又Sn126，126，解得n6.4一種專門占據(jù)內(nèi)存的計算機(jī)病毒開機(jī)時占據(jù)內(nèi)存1 MB，然后每3秒自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍，那么開機(jī)_秒，該病毒占據(jù)內(nèi)存8 GB(1 GB210 MB)39由題意可知，病毒每復(fù)制一次所占內(nèi)存的大小構(gòu)成一等比數(shù)列an，且a12，q2，an2n，則2n8×210213，n13.即病毒共復(fù)制了13次所需時間為13×339(秒)考點1等比數(shù)列的基本運算等比數(shù)列基本量運算的解題策略(1)等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式共涉及五個量a1，an，q，n，Sn，已知其中三個就能求另外兩個(簡稱“知三求二”)(2)運用等比數(shù)列的前n項和公式時，注意分q1和q1兩類分別討論1.設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項和，已知3S3a42,3S2a32，則公比q()A3B4C5D6B因為3S3a42,3S2a32，所以兩式相減，得3(S3S2)(a42)(a32)，即3a3a4a3，得a44a3，所以q4.2(2019·全國卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項和若a1，aa6，則S5_.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知a1，aa6，所以2q5，又q0，所以q3，所以S5.3等比數(shù)列an的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn，已知a3，S3，則a2_.3或法一：(直接法)數(shù)列an是等比數(shù)列，當(dāng)q1時，a1a2a3，顯然S33a3.當(dāng)q1時，由題意可知解得q或q1(舍去)a2×(2)3.綜上可知a23或.法二：(優(yōu)解法)由a3得a1a23.3，即2q2q10，q或q1.a23或.4(2018·全國卷)等比數(shù)列an中，a11，a54a3.(1)求an的通項公式；(2)記Sn為an的前n項和，若Sm63，求m.解(1)設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1(nN)(2)若an(2)n1，則Sn.由Sm63得(2)m188，此方程沒有正整數(shù)解若an2n1，則Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.綜上，m6.抓住基本量a1, q，借用方程思想求解是解答此類問題的關(guān)鍵，求解中要注意方法的擇優(yōu)，如T3，方法二避免了討論考點2等比數(shù)列的判定與證明判定一個數(shù)列為等比數(shù)列的常見方法(1)定義法：若q(q是不為零的常數(shù))，則數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)等比中項法：若aanan2(nN，an0)，則數(shù)列an是等比數(shù)列；(3)通項公式法：若anAqn(A，q是不為零的常數(shù))，則數(shù)列an是等比數(shù)列設(shè)數(shù)列an中，a11，a2，an2an1an，令bnan1an(nN)(1)證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式解(1)an2an1an，an2an1(an1an)，而bnan1an，bn1bn，又b1a2a1，bn是首項為，公比為的等比數(shù)列(2)由(1)知bn×n1n，anan1n1，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a112n133·n.逆向問題已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn2an3n(nN)(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常數(shù)，使得an為等比數(shù)列？若存在，求出的值和通項公式an，若不存在，請說明理由解(1)當(dāng)n1時，S1a12a13，解得a13，當(dāng)n2時，S2a1a22a26，解得a29，當(dāng)n3時，S3a1a2a32a39，解得a321.(2)假設(shè)an是等比數(shù)列，則(a2)2(a1)(a3)，即(9)2(3)(21)，解得3.下面證明an3為等比數(shù)列：Sn2an3n，Sn12an13n3，an1Sn1Sn2an12an3，即2an3an1，2(an3)an13，2，存在3，使得數(shù)列an3是首項為a136，公比為2的等比數(shù)列an36×2n1，即an3(2n1)(nN)(1)證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與通項公式法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可(2) 已知等比數(shù)列求參數(shù)的值，常采用特殊到一般的方法求解，如本例的逆向問題教師備選例題設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，Sn14an2.(1)設(shè)bnan12an，證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式解(1)證明：由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首項為3，公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)知bnan12an3·2n1，故是首項為，公差為的等差數(shù)列(n1)·，故an(3n1)·2n2.(2019·全國卷)已知數(shù)列an和bn滿足a11，b10,4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)證明：anbn是等比數(shù)列，anbn是等差數(shù)列；(2)求an和bn的通項公式解(1)證明：由題設(shè)得4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1(anbn)又因為a1b11，所以anbn是首項為1，公比為的等比數(shù)列由題設(shè)得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因為a1b11，所以anbn是首項為1，公差為2的等差數(shù)列(2)由(1)知，anbn，anbn2n1.所以an(anbn)(anbn)n，bn(anbn)(anbn)n.考點3 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為3類(1)通項公式的變形(2)等比中項的變形(3)前n項和公式的變形根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口(1)一題多解已知數(shù)列an為等比數(shù)列，a4a72，a5a68，則a1a10等于()A7B5 C5D7(2)設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項和，若3，則()A2BCD1或2(3)已知等比數(shù)列an共有2n項，其和為240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比q_.(1)D(2)B(3)2(1)法一：(基本量法)設(shè)數(shù)列an的公比為q，則由題意得所以或所以a1a10a1(1q9)7.法二：(性質(zhì)法)由解得或所以或所以a1a10a1(1q9)7.(2)設(shè)S2k，S43k，數(shù)列an為等比數(shù)列，S2，S4S2，S6S4也為等比數(shù)列，又S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，故選B.(3)由題意，得解得所以q2.在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，特別關(guān)注項an或和Sn的下角標(biāo)數(shù)字間的內(nèi)在關(guān)系，活用性質(zhì)，減少運算量，提高解題速度教師備選例題數(shù)列an是一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項之和是偶數(shù)項之和的4倍，前三項之積為64，則此數(shù)列的通項公式an_. 12×n1設(shè)此數(shù)列an的公比為q，由題意，知S奇S偶4S偶，所以S奇3S偶，所以q.又a1a2a364，即a1(a1q)(a1q2)aq364，所以a1q4.又q，所以a112，所以ana1qn112×n1.1.已知數(shù)列an是等比數(shù)列，若a21，a5，則a1a2a2a3anan1(nN)的最小值為()AB1C2D3C由已知得數(shù)列an的公比滿足q3，解得q，a12，a3，故數(shù)列anan1是以2為首項，公比為的等比數(shù)列，a1a2a2a3anan1，故選C.2等比數(shù)列an滿足an0，且a2a84，則log2a1log2a2log2a3log2a9_.9由題意可得a2a8a4，a50，所以a52，則原式log2(a1a2a9)9log2a59. 9