2021高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù) 第1節(jié) 函數(shù)及其表示教學案 文 北師大版

第2章 函數(shù) 全國卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 1.考查形式 本章在高考中一般為2～3個客觀題. 2.考查內容 高考中基礎題主要考查對基礎知識和基本方法的掌握．主要涉及函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)的圖像，函數(shù)的奇偶性、單調性及周期性綜合，指數(shù)、對數(shù)運算以及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質，分段函數(shù)求函數(shù)值等. 3.備考策略 (1)重視函數(shù)的概念和基本性質的理解：深刻把握函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、零點等概念．研究函數(shù)的性質，注意分析函數(shù)解析式的特征，同時注意函數(shù)圖像的作用. (2)重視對基本初等函數(shù)的研究，復習時通過選擇、填空題加以訓練和鞏固，將問題和方法進行歸納整理. 第一節(jié)　函數(shù)及其表示 [最新考綱]　1.了解構成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念.2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用(函數(shù)分段不超過三段)． (對應學生用書第9頁) 1．函數(shù)與映射的概念 函數(shù) 映射 兩集合A，B 設A，B是兩個非空的數(shù)集 設A，B是兩個非空的集合 對應關系f：A→B 如果按照某個對應關系f，對于集合A中任何一個數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)與之對應 如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的每一個元素x，B中總有唯一一個元素y與之對應 名稱 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù) 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個映射 記法 函數(shù)y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B 2.函數(shù)的有關概念 (1)函數(shù)的定義域、值域 在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，自變量x的取值范圍(數(shù)集A)叫做函數(shù)的定義域；函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域． (2)函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域． (3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關系完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù)． (4)函數(shù)的表示法 表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖像法和列表法． 3．分段函數(shù) (1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)． (2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)． 1．常見函數(shù)的定義域 (1)分式函數(shù)中分母不等于0. (2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0. (3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R. (4)零次冪的底數(shù)不能為0. (5)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定義域均為R. (6)y＝logax(a＞0，a≠1)的定義域為{x|x＞0}． (7)y＝tan x的定義域為. 2．基本初等函數(shù)的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：當a＞0時，值域為；當a＜0時，值域為. (3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}． (4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)對于函數(shù)f：A→B，其值域是集合B. (　　) (2)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)是相等函數(shù)． (　　) (3)函數(shù)是一種特殊的映射． (　　) (4)若A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝|x|，則對應f可看作從A到B的映射． (　　) (5)分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成的． (　　) [答案](1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 二、教材改編 1．若函數(shù)y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖像可能是(　　) A　　　　　B　　　　　C　　 　　　D B　[由函數(shù)定義可知，選項B正確．] 2．函數(shù)y＝＋的定義域為(　　) A.　　　　　 B．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.∪(3，＋∞) D．(3，＋∞) C　[由題意知 解得x≥且x≠3.] 3．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x＋1是相等函數(shù)的是(　　) A．y＝()2 B．y＝＋1 C．y＝＋1 D．y＝＋1 B　[y＝＋1＝x＋1，且函數(shù)定義域為R，故選B.] 4．設函數(shù)f(x)＝則f(f(3))＝________. 　[f(3)＝，f(f(3))＝f＝＋1＝＋1＝.] 5．已知函數(shù)f(x)＝，若f(a)＝5，則實數(shù)a的值為________． 12　[由f(a)＝5得＝5，解得a＝12.] (對應學生用書第10頁) ⊙考點1　求函數(shù)的定義域 　已知函數(shù)解析式求定義域 　已知函數(shù)的具體解析式求定義域的方法 (1)若f(x)是由一些基本初等函數(shù)通過四則運算構成的，則它的定義域為各基本初等函數(shù)的定義域的交集． (2)復合函數(shù)的定義域：先由外層函數(shù)的定義域確定內層函數(shù)的值域，從而確定對應的內層函數(shù)自變量的取值范圍，還需要確定內層函數(shù)的定義域，兩者取交集即可． 　1.(2019·濟南模擬)函數(shù)y＝ln(2－x)的定義域為(　　) A．(0,2)　　B．[0,2)　　C．(0,1]　　D．[0,2] B　[由題意知，x≥0且2－x＞0， 解得0≤x＜2， 故其定義域是[0,2)．] 2．函數(shù)f(x)＝的定義域為________． ∪(2，＋∞)　[要使函數(shù)f(x)有意義，則(log2x)2－1＞0，即log2x＞1或log2x＜－1，解得x＞2或0＜x＜，故所求函數(shù)的定義域是∪(2，＋∞)．] [逆向問題]　 若函數(shù)f(x)＝的定義域為{x|1≤x≤2}，則a＋b的值為________． －　[∵函數(shù)f(x)＝的定義域為{x|1≤x≤2}． ∴不等式ax2＋abx＋b≥0的解集為{x|1≤x≤2}． 可知a＜0，不等式化為a(x－1)(x－2)≥0， 即ax2－3ax＋2a≥0. ∴即∴a＋b＝－.] 　求函數(shù)定義域時，對函數(shù)解析式先不要化簡，求出定義域后，一定要將其寫成集合或區(qū)間的形式．若用區(qū)間表示，不能用“或”連接，而應該用并集符合“∪”連接．如T2. 　抽象函數(shù)的定義域 　抽象函數(shù)的定義域的求法 (1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域． 　已知函數(shù)f(x)的定義域是[0,4]，則F(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)的定義域是________． [1,3]　[由題意知 解得1≤x≤3. 故F(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)的定義域為[1,3]．] [逆向問題]　 已知函數(shù)y＝f(x－1)的定義域為[－，]，則函數(shù)y＝f(x)的定義域為________． [－－1，－1]　[因為f(x－1)的定義域為[－，]，所以－－1≤x－1≤－1，所以函數(shù)y＝f(x)的定義域為[－－1，－1]．] 　函數(shù)f(g(x))的定義域為自變量x的取值范圍，而不是g(x)的取值范圍．(如本例[逆向問題]) 　1.函數(shù)f(x)＝＋lg(3x＋1)的定義域是(　　) A. B. C. D. A　[由題意可知 解得∴－＜x＜1，故選A.] 2．函數(shù)f(x－1)的定義域為[0,2 020]，則函數(shù)g(x)＝的定義域為________． [－2,1)∪(1,2 018]　[∵函數(shù)f(x－1)的定義域為[0，2 020]，∴－1≤x－1≤2 019. ∴要使函數(shù)g(x)有意義，則 解得－2≤x≤2 018且x≠1. ∴函數(shù)g(x)的定義域為[－2,1)∪(1,2 018]．] 3．若函數(shù)f(x)＝的定義域為實數(shù)集R，則實數(shù)a的取值范圍為________． [－2,2]　[∵函數(shù)f(x)＝的定義域為R， ∴a2－4≤0，即－2≤a≤2.] ⊙考點2　求函數(shù)的解析式 　求函數(shù)解析式的四種方法及適用條件 (1)待定系數(shù)法 先設出含有待定系數(shù)的解析式，再利用恒等式的性質，或將已知條件代入，建立方程(組)，通過解方程(組)求出相應的待定系數(shù)． (2)換元法 對于形如y＝f(g(x))的函數(shù)解析式，令t＝g(x)，從中求出x＝φ(t)，然后代入表達式求出f(t)，再將t換成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范圍． (3)配湊法 由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式． (4)解方程組法 已知關于f(x)與f或f(－x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)． (1)[一題多解]已知二次函數(shù)f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)； (2)已知函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)． [解](1)法一：(待定系數(shù)法) 因為f(x)是二次函數(shù)，所以設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c. 因為f(2x＋1)＝4x2－6x＋5， 所以解得 所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)． 法二：(換元法) 令2x＋1＝t(t∈R)，則x＝， 所以f(t)＝4－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)， 所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)． 法三：(配湊法) 因為f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)． (2)解方程組法 由f(－x)＋2f(x)＝2x， ① 得f(x)＋2f(－x)＝2－x， ② ①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x， 即f(x)＝. 故f(x)的解析式是f(x)＝(x∈R)． 　謹防求函數(shù)解析式的兩種失誤 (1)在求函數(shù)解析式時，一定要注意自變量的范圍，也就是定義域問題．求出解析式后要標注x的取值范圍． (2)利用換元法求解析式時要注意新元的取值范圍． 如已知f()＝x＋1，求函數(shù)f(x)的解析式，可通過換元的方法得f(x)＝x2＋1，函數(shù)f(x)的定義域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)． 　1.如果f＝，則當x≠0且x≠1時，f(x)等于(　　) A. B. C. D.－1 B　[(換元法)令＝t，得x＝(t≠0且t≠1)，∴f(t)＝＝(t≠0且t≠1)， ∴f(x)＝(x≠0且x≠1)．] 2．已知f＝＋，則f(x)＝(　　) A．(x＋1)2 B．(x－1)2 C．x2－x＋1 D．x2＋x＋1 C　[(配湊法)f＝＋＝－＋1，所以f(x)＝x2－x＋1.] 3．已知f(x)滿足2f(x)＋f＝3x，則f(x)＝________. 2x－(x≠0)　[(解方程組法)∵2f(x)＋f＝3x，① 把①中的x換成，得2f＋f(x)＝.② 聯(lián)立①②可得 解此方程組可得f(x)＝2x－(x≠0)．] 4．已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式． [解]　(待定系數(shù)法)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx， 又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1， 所以解得a＝b＝. 所以f(x)＝x2＋x(x∈R)． ⊙考點3　分段函數(shù) 　求函數(shù)值 　解決分段函數(shù)有關問題的關鍵是“分段歸類”，即自變量的取值屬于哪一段范圍，就用哪一段的解析式來解決問題． (1)(2019·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)＝則f(f(1))＝(　　) A．－　　 　B．2　　 　C．4　　 　D．11 (2)設函數(shù)f(x)＝則f(5)的值為(　　) A．－7　　　 B．－1　　　 C．0　　　 D. (1)C　(2)D　[(1)因為f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋＝4.故選C. (2)f(5)＝f(5－3)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝(－1)2－2－1＝.故選D.] 　求分段函數(shù)的函數(shù)值的策略 (1)求分段函數(shù)的函數(shù)值時，要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間，然后代入該區(qū)間對應的解析式求值． (2)當出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值． (3)當自變量的值所在區(qū)間不確定時，要分類討論，分類標準應參照分段函數(shù)不同段的端點． [教師備選例題] 已知函數(shù)f(x)＝則f的值為(　　) A．－1　　　B．1　　　C.　　　D. B　[依題意得f＝f＋1＝f＋1＋1＝2cos＋2＝2×＋2＝1.故選B.] 　求參數(shù)或自變量的值 　解決此類問題時，先在分段函數(shù)的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與該段函數(shù)的自變量的取值范圍求交集，最后將各段的結果合起來(取并集)即可． (1)已知函數(shù)f(x)＝且f(a)＝－3，則f(6－a)＝________. (2)設函數(shù)f(x)＝若f(f(a))＝2，則a＝________. (1)－　(2)　[(1)當a≤1時，f(a)＝2a－2＝－3，無解； 當a＞1時，由f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，得a＋1＝8， 解得a＝7， 所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－2＝－. (2)當a＞0時，f(a)＝－a2＜0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝(a＝0與a＝－舍去)．當a≤0時，f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1＞0，f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程無解．故a＝.] 　求解本題的關鍵是就a的取值討論f(a)的情形，另本題也可作出f(x)的圖像，數(shù)形結合求解，即f(a)＝0或f(a)＝－2，從而求得a的值． 　分段函數(shù)與方程、不等式問題 　解由分段函數(shù)構成的不等式，一般要根據(jù)分段函數(shù)的不同分段區(qū)間進行分類討論．如果分段函數(shù)的圖像比較容易畫出，也可以畫出函數(shù)圖像后，結合圖像求解． 　(2018·全國卷Ⅰ)設函數(shù)f(x)＝則滿足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1] B．(0，＋∞) C．(－1,0) D．(－∞，0) D　[當x≤0時，函數(shù)f(x)＝2－x是減函數(shù)，則f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致圖像如圖所示， 結合圖像可知，要使f(x＋1)<f(2x)，則需或所以x<0，故選D.] 　本例借助圖像較直觀地求解得出不等式的解集，另注意求解時要思考全面，需考慮變量可能落在同一區(qū)間，也可能落在不同區(qū)間的情況． [教師備選例題] 設函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)＋f＞1的x的取值范圍是________． 　[根據(jù)分段函數(shù)的性質分情況討論，當x≤0時，則f(x)＋f＝x＋1＋x－＋1＞1，解得－＜x≤0.當x＞0時，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質以及一次函數(shù)的性質與圖像可得，f(x)＋f＞1恒成立，所以x的取值范圍是.] 　1.已知f(x)＝則f＋f的值等于(　　) A．－2　　　 B．4　　　 C．2　　　 D．－4 B　[由題意得f＝2×＝， f＝f＝f＝2×＝， 所以f＋f＝4.] 2．已知函數(shù)f(x)＝若實數(shù)a滿足f(a)＝f(a－1)，則f＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 D　[由題意得a＞0. 當0＜a＜1時，由f(a)＝f(a－1)，即2a＝，解得a＝， 則f＝f(4)＝8， 當a≥1時，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，不成立． 故選D.] 3．已知函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)≤1的解集為(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，0]∪(1,2] C．[0,2] D．(－∞，0]∪[1,2] D　[當x≥1時，不等式f(x)≤1為log2x≤1，即log2x≤log22， ∵函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上單調遞增， ∴1≤x≤2. 當x＜1時，不等式f(x)≤1為≤1， ∴－1≤0，∴≤0，∴≥0， ∴x≤0或x＞1(舍去)， ∴f(x)≤1的解集是(－∞，0]∪[1,2]．故選D.] 課外素養(yǎng)提升①　數(shù)學抽象——函數(shù)的新定義問題 (對應學生用書第12頁) 以學習過的函數(shù)相關知識為基礎，通過一類問題共同特征的“數(shù)學抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基礎上，解決新問題． 【典例】　(2019·深圳模擬)在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點，若函數(shù)f(x)的圖像恰好經(jīng)過n(n∈N*)個整點，則稱函數(shù)f(x)為n階整點函數(shù)．給出下列函數(shù)： ①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3； ③h(x)＝；④φ(x)＝ln x. 其中是一階整點函數(shù)的是(　　) A．①②③④　 B．①③④ C．①④ D．④ C　[對于函數(shù)f(x)＝sin 2x，它的圖像(圖略)只經(jīng)過一個整點(0,0)，所以它是一階整點函數(shù)，排除D； 對于函數(shù)g(x)＝x3，它的圖像(圖略)經(jīng)過整點(0,0)，(1,1)，…，所以它不是一階整點函數(shù)，排除A； 對于函數(shù)h(x)＝，它的圖像(圖略)經(jīng)過整點(0,1)，(－1,3)，…，所以它不是一階整點函數(shù)，排除B.故選C.] [評析]　本題意在考查考生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng)．破解新定義函數(shù)題的關鍵是緊扣新定義的函數(shù)的含義，學會語言的翻譯、新舊知識的轉化，便可使問題順利獲解．如本例，若能把新定義的一階整點函數(shù)轉化為函數(shù)f(x)的圖像恰好經(jīng)過1個整點，問題便迎刃而解． 【素養(yǎng)提升練習】 1．若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，則函數(shù)解析式為y＝x2＋1，值域為{1,3}的同族函數(shù)有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 C　[由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±，所以函數(shù)的定義域可以是{0，}，{0，－}，{0，，－}，故值域為{1,3}的同族函數(shù)共有3個．] 2．若定義在R上的函數(shù)f(x)當且僅當存在有限個非零自變量x，使得f(－x)＝f(x)，則稱f(x)為“類偶函數(shù)”，則下列函數(shù)中為類偶函數(shù)的是(　　) A．f(x)＝cos x B．f(x)＝sin x C．f(x)＝x2－2x D．f(x)＝x3－2x D　[A中函數(shù)為偶函數(shù)，則在定義域內均滿足f(x)＝f(－x)，不符合題意；B中，當x＝kπ(k∈Z)時，滿足f(x)＝f(－x)，不符合題意；C中，由f(x)＝f(－x)，得x2－2x＝x2＋2x，解得x＝0，不符合題意；D中，由f(x)＝f(－x)，得x3－2x＝－x3＋2x，解得x＝0或x＝±，滿足題意，故選D.] - 12 -