2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 不等式、推理與證明 第3節(jié) 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題教學(xué)案 文 北師大版

第三節(jié)二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題最新考綱1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第113頁)1二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域AxByC>0直線AxByC0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括邊界直線AxByC0包括邊界直線不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2.線性規(guī)劃中的相關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題1確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域位置的方法把二元一次不等式AxByC0(0)表示為ykxb或ykxb的形式若ykxb，則平面區(qū)域?yàn)橹本€AxByC0的上方；若ykxb，則平面區(qū)域?yàn)橹本€AxByC0的下方2點(diǎn)P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直線AxByC0的兩側(cè)的充要條件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0；位于直線AxByC0同側(cè)的充要條件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)不等式AxByC>0表示的平面區(qū)域一定在直線AxByC0的上方()(2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能不唯一()(3)線性目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一定在可行域的頂點(diǎn)或邊界上()(4)目標(biāo)函數(shù)zaxby(b0)中，z的幾何意義是直線axbyz0在y軸上的截距()答案(1)×(2)(3)(4)×二、教材改編1不等式組表示的平面區(qū)域是()Cx3y6<0表示直線x3y60左上方的平面區(qū)域，xy20表示直線xy20及其右下方的平面區(qū)域，故選C.2不等式2xy60表示的區(qū)域在直線2xy60的()A右上方B右下方C左上方D左下方B不等式2xy60可化為y2x6，結(jié)合直線2xy60的位置可知，選B.3投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)100噸需要資金200萬元，需場(chǎng)地200平方米；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)100噸需要資金300萬元，需場(chǎng)地100平方米現(xiàn)某單位可使用資金1 400萬元，場(chǎng)地900平方米，則上述要求可用不等式組表示為_(用x，y分別表示生產(chǎn)A，B產(chǎn)品的噸數(shù)，x和y的單位是百噸)由題意知，x，y滿足的關(guān)系式為4設(shè)x，y滿足約束條件則zxy的最大值為_3根據(jù)題意作出可行域，如圖陰影部分所示，由zxy得yxz.作出直線yx，并平移該直線，當(dāng)直線yxz過點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值由圖知A(3,0)，故zmax303.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第114頁)考點(diǎn)1二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域1求平面區(qū)域面積的方法(1)首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫出，應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題，從而再作出平面區(qū)域；(2)對(duì)平面區(qū)域進(jìn)行分析，若為三角形應(yīng)確定底與高，若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個(gè)三角形分別求解再求和2根據(jù)平面區(qū)域確定參數(shù)的方法在含有參數(shù)的二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域問題中，首先把不含參數(shù)的平面區(qū)域確定好，然后用數(shù)形結(jié)合的方法根據(jù)參數(shù)的不同取值情況畫圖觀察區(qū)域的形狀，根據(jù)求解要求確定問題的答案(1)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為_(2)已知關(guān)于x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為3，則實(shí)數(shù)k的值為_(1)1(2)(1)不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，ABC的面積即為所求平面區(qū)域的面積求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，則ABC的面積為S×(21)×21.(2)直線kxy20恒過點(diǎn)(0,2)，不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，則A(2,2k2)，B(2,0)，C(0,2)，由題意知×2×(2k2)3，解得k.解答本例T(2)時(shí)，直線kxy20恒過定點(diǎn)(0,2)是解題的關(guān)鍵1.不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于()A.B.C.D.C由題意得不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，A，B(1,1)，C(0,4)，則ABC的面積為×1×.故選C.2若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是()Aa<5Ba7C5a<7Da<5或a7C如圖，當(dāng)直線ya位于直線y5和y7之間(不含y7)時(shí)滿足條件，故選C.3點(diǎn)(2，t)在直線2x3y60的上方，則t的取值范圍是_直線2x3y60上方的點(diǎn)滿足不等式y(tǒng)x2，t×(2)2，即t.考點(diǎn)2求目標(biāo)函數(shù)的最值問題求線性目標(biāo)函數(shù)的最值求線性目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟(1)(2019·全國(guó)卷)若變量x，y滿足約束條件則z3xy的最大值是_(2)(2018·北京高考)若x，y滿足x1y2x，則2yx的最小值是_(1)9(2)3(1)作出已知約束條件對(duì)應(yīng)的可行域(圖中陰影部分)，由圖易知，當(dāng)直線y3xz過點(diǎn)C時(shí)，z最小，即z最大由解得即C點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，故zmax3×309.(2)x1y2x可化為其表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，令z2yx，易知z2yx在點(diǎn)A(1，2)處取得最小值，最小值為3.解答本例T(2)時(shí)，首先要把約束條件變?yōu)槠浯卧O(shè)目標(biāo)函數(shù)為z2yx.教師備選例題(2018·全國(guó)卷)若x，y滿足約束條件則zxy的最大值為_9畫出可行域如圖中陰影部分所示目標(biāo)函數(shù)zxy可化為yxz，作出直線yx，并平移，當(dāng)平移后的直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，z取得最大值聯(lián)立，得解得所以B(5,4)，故zmax549.求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值常見的兩種非線性目標(biāo)函數(shù)及其意義(1)點(diǎn)到點(diǎn)的距離型：形如z(xa)2(yb)2，表示區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)(a，b)的距離的平方；(2)斜率型：形如z，表示區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)(a，b)連線的斜率實(shí)數(shù)x，y滿足(1)若z，求z的最大值和最小值，并求z的取值范圍；(2)若zx2y2，求z的最大值與最小值，并求z的取值范圍解由作出可行域，如圖中陰影部分所示(1)z表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率因此的范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率(直線OA的斜率不存在，即zmax不存在)由得B(1,2)，所以kOB2，即zmin2，所以z的取值范圍是2，)(2)zx2y2表示可行域內(nèi)的任意一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間距離的平方因此x2y2的最小值為OA2，最大值為OB2.由得A(0,1)，所以O(shè)A2()21，OB2()25，所以z的取值范圍是1,5母題探究1保持本例條件不變，求目標(biāo)函數(shù)z的取值范圍解z可以看作過點(diǎn)P(1,1)及(x，y)兩點(diǎn)的直線的斜率，所以z的取值范圍是(，02保持本例條件不變，求目標(biāo)函數(shù)zx2y22x2y3的最值解zx2y22x2y3(x1)2(y1)21，而(x1)2(y1)2表示點(diǎn)P(1,1)與Q(x，y)的距離的平方PQ2，PQ(01)2(21)22，PQ，所以zmax213，zmin1.求定點(diǎn)到區(qū)域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值時(shí)，要數(shù)形結(jié)合，可能轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題線性規(guī)劃中的參數(shù)問題求解線性規(guī)劃中含參問題的兩種基本方法(1)把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)確定最值，通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或范圍(2)先分離含有參數(shù)的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)(1)若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)zax2y僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A6,2B(6,2)C3,1D(3,1)(2)若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組其中m0，且xy的最大值為9，則實(shí)數(shù)m_.(1)B(2)1(1)作出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示將zax2y化成yx，當(dāng)13時(shí)，直線yx的縱截距僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值，即目標(biāo)函數(shù)zax2y在點(diǎn)(1,0)處取得最小值，解得6a2，故選B.(2)不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，設(shè)zxy，則yxz，當(dāng)直線yxz經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，xy有最大值，此時(shí)xy9，由得A(4,5)，將A(4,5)代入xmy10得45m10，解得m1.當(dāng)參數(shù)在目標(biāo)函數(shù)中時(shí)，應(yīng)把斜率值的大小對(duì)最優(yōu)解的影響作為解題突破口1.(2019·北京高考)若x，y滿足則yx的最小值為_，最大值為_31x，y滿足的平面區(qū)域如圖所示設(shè)zyx，則yxz.把z看作常數(shù)，則目標(biāo)函數(shù)是可平行移動(dòng)的直線，z的幾何意義是直線yxz的縱截距，通過圖像可知，當(dāng)直線yxz經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)時(shí)，z取得最大值，此時(shí)zmax321.當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)B(2，1)時(shí)，z取得最小值，此時(shí)zmin123.2若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則的最小值為_作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，因?yàn)楸硎酒矫鎱^(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)P(0,1)連線的斜率由圖知，點(diǎn)P與點(diǎn)A連線的斜率最小，所以minkPA.3已知x，y滿足約束條件且zx3y的最小值為2，則常數(shù)k_.2作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由zx3y得yx，結(jié)合圖形可知當(dāng)直線yx過點(diǎn)A時(shí)，z最小，聯(lián)立方程，得得A(2，2k)，此時(shí)zmin23(2k)2，解得k2.考點(diǎn)3線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟(1)審題：仔細(xì)閱讀材料，抓住關(guān)鍵，準(zhǔn)確理解題意，明確有哪些限制條件，借助表格或圖形理清變量之間的關(guān)系(2)設(shè)元：設(shè)問題中起關(guān)鍵作用(或關(guān)聯(lián)較多)的量為未知量x，y，并列出相應(yīng)的不等式組和目標(biāo)函數(shù)(3)作圖：準(zhǔn)確作出可行域，平移找點(diǎn)(最優(yōu)解)(4)求解：代入目標(biāo)函數(shù)求解(最大值或最小值)(5)檢驗(yàn)：根據(jù)結(jié)果，檢驗(yàn)反饋(2017·天津高考)電視臺(tái)播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時(shí)，需要播放廣告已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時(shí)，連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)、廣告播放時(shí)長(zhǎng)、收視人次如下表所示：連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)(分鐘)廣告播放時(shí)長(zhǎng)(分鐘)收視人次(萬)甲70560乙60525已知電視臺(tái)每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于600分鐘，廣告的總播放時(shí)間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍分別用x，y表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)(1)用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式， 并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；(2)問電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？解(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為即該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D1中的陰影部分中的整數(shù)點(diǎn)(2)設(shè)總收視人次為z萬，則目標(biāo)函數(shù)為z60x25y.考慮z60x25y，將它變形為yx，這是斜率為，隨z變化的一組平行直線.為直線在y軸上的截距，當(dāng)取得最大值時(shí)，z的值就最大又因?yàn)閤，y滿足約束條件，所以由圖2可知，當(dāng)直線z60x25y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距最大，即z最大解方程組得則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,3)所以，電視臺(tái)每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時(shí)，才能使總收視人次最多本例中x，yN，因此二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是整數(shù)點(diǎn)組成的某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，銷售利潤(rùn)分別為2千元/件、1千元/件甲、乙兩種產(chǎn)品都需要在A，B兩種設(shè)備上加工，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需用A設(shè)備2小時(shí)，B設(shè)備6小時(shí)；生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需用A設(shè)備3小時(shí)，B設(shè)備1小時(shí)A，B兩種設(shè)備每月可使用時(shí)間數(shù)分別為480小時(shí)、960小時(shí)，若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能及時(shí)售出，則該企業(yè)每月利潤(rùn)的最大值為()A320千元B360千元C400千元D440千元B設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件，利潤(rùn)為z千元，則z2xy，作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線2xy0，平移該直線，當(dāng)直線經(jīng)過直線2x3y480與直線6xy960的交點(diǎn)(150,60)時(shí)，z取得最大值，為360.- 10 -