2021高考數學一輪復習 第4章 三角函數、解三角形 第5節(jié) 三角恒等變換 第1課時 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式教學案 理 北師大版

第五節(jié)三角恒等變換 最新考綱1.會用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式.2.會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式.3.會用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系.4.能運用上述公式進行簡單的三角恒等變換(包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶)1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(±)sin_cos_±cos_sin_；(2)cos(±)cos_cos_sin_sin_；(3)tan(±).2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos ；(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan 2.3輔助角公式asin bcos sin()1公式的常用變式tan ±tan tan(±)(1tan tan )；sin 2；cos 2.2降冪公式sin2；cos2；sin cos sin 2.3升冪公式1cos 2cos2；1cos 2sin2；1sin 2；1sin 2.4半角正切公式tan .一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)存在實數，使等式sin()sin sin 成立()(2)公式asin xbcos xsin(x)中的取值與a，b的值無關()(3)cos 2cos2112sin2.()(4)當是第一象限角時，sin .()答案(1)(2)×(3)(4)×二、教材改編1已知cos ，是第三象限角，則cos為()A.BC.DAcos ，是第三象限角，sin .cos(cos sin ).故選A.2sin 347°cos 148°sin 77°cos 58°_.sin 347°cos 148°sin 77°cos 58°sin(270°77°)cos(90°58°)sin 77°cos 58°(cos 77°)·(sin 58°)sin 77°cos 58°sin 58°cos 77°cos 58°sin 77°sin(58°77°)sin 135°.3計算：sin 108°cos 42°cos 72°·sin 42°_.原式sin(180°72°)cos 42°cos 72°sin 42°sin 72°cos 42°cos 72°sin 42°sin(72°42°)sin 30°.4tan 20°tan 40°tan 20°tan 40°_.tan 60°tan(20°40°)，tan 20°tan 40°tan 60°(1tan 20°tan 40°)tan 20°tan 40°，原式tan 20°tan 40°tan 20°tan 40°.5若tan ，tan()，則tan _.tan tan().第1課時兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式考點1公式的直接應用(1)使用兩角和與差的三角函數公式，首先要記住公式的結構特征(2)使用公式求值，應先求出相關角的函數值，再代入公式求值1.(2019·全國卷)已知，2sin 2cos 21，則sin ()A.B.C. D.B由二倍角公式可知4sin cos 2cos2.，cos 0，2sin cos ，tan ，sin .故選B.2已知sin ，tan()，則tan()的值為()A BCDA，tan ，又tan ，tan().3(2019·太原模擬)若，且sin，則cos_.由于角為銳角，且sin，則cos，則coscoscoscos sinsin ××.4計算的值為_.兩角和與差的三角函數公式可看作是誘導公式的推廣，可用，的三角函數表示±的三角函數，在使用兩角和與差的三角函數公式時，特別要注意角與角之間的關系，完成統一角和角與角轉換的目的考點2公式的逆用與變形用公式的一些常用變形(1)sin sin cos()cos cos ；(2)cos sin sin()sin cos ；(3)1±sin 2；(4)sin 2；(5)cos 2；(6)tan ±tan tan(±)(1tan tan )；(7)asin bcos sin().公式的逆用(1)化簡_.(2)在ABC中，若tan Atan Btan Atan B1，則cos C_.(1)(2)(1).(2)由tan Atan Btan Atan B1，可得1，即tan(AB)1，又AB(0，)，所以AB，則C，cos C.(1)逆用公式的關鍵是準確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式，同時，要注意公式成立的條件和角之間的關系(2)tan tan ，tan tan (或tan tan )，tan()(或tan()三者中可以知二求一，且常與一元二次方程根與系數的關系結合命題(3)重視sin cos ，cos sin ，cos cos ，sin sin 的整體應用公式的變形用(1)化簡_.(2)化簡sin2sin2sin2的結果是_(1)1(2)(1)1.(2)原式sin21sin21cos 2·cos sin21.注意特殊角的應用，當式子中出現，1，等這些數值時，一定要考慮引入特殊角，把“值變角”構造適合公式的形式1.設acos 50°cos 127°cos 40°cos 37°，b(sin 56°cos 56°)，c，則a，b，c的大小關系是()AabcBbacCcabDacbD由兩角和與差的正、余弦公式及誘導公式，可得acos 50°cos 127°cos 40°cos 37°cos 50°cos 127°sin 50°sin 127°cos(50°127°)cos(77°)cos 77°sin 13°，b(sin 56°cos 56°)sin 56°cos 56°sin(56°45°)sin 11°，ccos239°sin239°cos 78°sin 12°.因為函數ysin x，x為增函數，所以sin 13°sin 12°sin 11°，所以acb.2.cos 15°4sin215°cos 15°()A. B.C.1D.D法一：cos 15°4sin215°cos 15°cos 15°2sin 15°·2sin 15°cos 15°cos 15°2sin 15°·sin 30°cos 15°sin 15°2cos (15°30°)2cos 45°.故選D.法二：因為cos 15°，sin 15°，所以cos 15°4sin215°·cos 15°×4×2××(2)×(22).故選D.3已知，則(1tan )(1tan )_.2(1tan )(1tan )tan tan tan tan 1tan()(1tan tan )tan tan 11tan tan tan tan 12.4已知sin cos ，則cos sin 的取值范圍_由題知sin cos ，設cos sin t，得sin cos cos sin t，即sin()t，得sin cos cos sin t，即sin()t.1sin(±)1，t.考點3公式的靈活運用三角公式應用中變“角”與變“名”問題的解題思路(1)角的變換：發(fā)現各個角之間的關系：拆角、湊角、互余、倍半、互利(包括非特殊角與特殊角、已知角與未知角)，熟悉角的變換技巧及半角與倍角的相互轉化，如：2()()，()()，40°60°20°，2×等(2)名的變換：明確各個三角函數名稱之間的聯系，常常用到同角關系、誘導公式，把正弦、余弦化為正切，或者把正切化為正弦、余弦三角公式中角的變換(1)設，都是銳角，且cos ，sin()，則cos _.(2)已知cos(75°)，則cos(30°2)的值為_(1)(2)(1)依題意得sin ，因為sin()sin 且，所以，所以cos().于是cos cos()cos()cos sin()sin ××.(2)cos(75°)sin(15°)，所以cos(30°2)12sin2(15°)1.(1)解決三角函數的求值問題的關鍵是把“所求角”用“已知角”表示當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系(2)常見的配角技巧：2()()，()，等三角公式中名的變換(1)化簡：(0)；(2)求值：sin 10°.解(1)由(0，)，得0，cos 0，2cos .又(1sin cos )2cos 2cos cos .故原式cos .(2)原式sin 10°sin 10°·sin 10°·2cos 10°.1.(2019·石家莊模擬)已知tan 4，則cos2()A. B.C.D.C由tan 4，得4，即4，sin cos ，cos2.2已知，且cos ，cos()，則sin _.由已知可得sin ，sin()，sin sin()sin()·cos cos()sin ××.3._.(用數字作答).10