2022年高考數學總復習 第九章 解析幾何教案 理 新人教A版

2022年高考數學總復習 第九章 解析幾何教案 理 新人教A版第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程考綱要求：1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式2掌握確定直線位置的幾何要素；掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式等)，了解斜截式與一次函數的關系1直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°.(2)范圍：直線l傾斜角的范圍是0，)2直線的斜率(1)定義：若直線的傾斜角不是90°，則斜率ktan_.(2)計算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)確定的直線不垂直于x軸，則k.3直線方程的五種形式名稱條件方程適用范圍點斜式斜率k與點(x0，y0)yy0k(xx0)不含直線xx0斜截式斜率k與截距bykxb不含垂直于x軸的直線兩點式兩點(x1，y1)，(x2，y2)不含直線xx1(x1x2)和直線yy1(y1y2)截距式截距a與b1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐標系內的直線都適用1判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角與斜率()(2)過點M(a，b)，N(b，a)(ab)的直線的傾斜角是45°.()(3)傾斜角越大，斜率越大()(4)經過點P(x0，y0)的直線都可以用方程yy0k(xx0)表示()(5)經過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()(6)直線的截距即是直線與坐標軸的交點到原點的距離()(7)若直線在x軸，y軸上的截距分別為m，n，則方程可記為1.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)(6)×(7)×2若過兩點A(m,6)，B(1,3m)的直線的斜率為12，則m_.答案：23直線xya0的傾斜角為_答案：60°4已知三角形的三個頂點A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，則BC邊上中線所在的直線方程為_答案：x13y505直線l經過點P(2,5)，且斜率為，則直線l的方程為_答案：3x4y140典題1(1)直線2xcos y30，的傾斜角的取值范圍是()A. B.C. D.(2)直線l過點P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為_聽前試做(1)直線2xcos y30的斜率k2cos ，因為，所以cos ，因此k2·cos 1， 設直線的傾斜角為，則有tan 1， 又0，)，所以，即傾斜角的取值范圍是.(2)如圖，kAP1，kBP，k(， 1，)答案：(1)B(2)(， 1，)探究1若將題(2)中P(1,0)改為P(1,0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍解：P(1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP，kBP.如圖可知，直線l斜率的取值范圍為.探究2若將題(2)條件改為“經過P(0，1)作直線l，若直線l與連接A(1，2)，B(2,1)的線段總有公共點”，求直線l的傾斜角的范圍解：法一：如圖所示，kPA1，kPB1，由圖可觀察出：直線l傾斜角的范圍是. 法二：由題意知，直線l存在斜率設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y1kx，即kxy10.A，B兩點在直線的兩側或其中一點在直線l上(k21)(2k11)0，即2(k1)(k1)0.1k1.直線l的傾斜角的范圍是.直線傾斜角的范圍是0，)，而這個區(qū)間不是正切函數的單調區(qū)間，因此根據斜率求傾斜角的范圍時，要分與兩種情況討論由正切函數圖象可以看出，當時，斜率k0，)；當時，斜率不存在；當時，斜率k(，0)典題2根據所給條件求直線的方程：(1)直線過點(4,0)，傾斜角的正弦值為；(2)直線過點(3,4)，且在兩坐標軸上的截距之和為12；(3)直線過點(5,10)，且到原點的距離為5.聽前試做(1)由題設知，該直線的斜率存在，故可采用點斜式設傾斜角為，則sin (0<<)，從而cos ±，則ktan ±.故所求直線方程為y±(x4)即x3y40或x3y40.(2)由題設知截距不為0，設直線方程為1，又直線過點(3,4)，從而1，解得a4或a9.故所求直線方程為4xy160或x3y90.(3)當斜率不存在時，所求直線方程為x50；當斜率存在時，設其為k，則所求直線方程為y10k(x5)，即kxy(105k)0.由點線距離公式，得5，解得k.故所求直線方程為3x4y250.綜上知，所求直線方程為x50或3x4y250. 求直線方程的注意點(1)用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在；(2)兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直或經過原點的直線，故在解題時，若采用截距式，注意分類討論，判斷截距是否為零已知點A(3,4)，求滿足下列條件的直線方程：(1)經過點A且在兩坐標軸上截距相等；(2)經過點A且與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形解：(1)設直線在x，y軸上的截距均為a.若a0，即直線過點(0,0)及(3,4)直線的方程為yx，即4x3y0.若a0，設所求直線的方程為1，又點(3,4)在直線上，1，a7.直線的方程為xy70.綜合可知所求直線的方程為4x3y0或xy70.(2)由題意可知，所求直線的斜率為±1.又過點(3,4)，由點斜式得y4±(x3)所求直線的方程為xy10或xy70. 典題3已知直線l過點P(3，2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，如圖所示，求ABO的面積的最小值及此時直線l的方程聽前試做依題意知，直線l的斜率k存在且k<0.則直線l的方程為y2k(x3)(k<0)，且有A，B(0,23k)，SABO(23k)×(1212)12.當且僅當9k，即k時，等號成立即ABO的面積的最小值為12.此時直線l的方程為2x3y120.(1)含有參數的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過定點的直線系，即能夠看出“動中有定”(2)求解與直線方程有關的最值問題，先求出斜率或設出直線方程，建立目標函數，再利用基本(均值)不等式求解最值已知直線l：kxy12k0(kR)(1)證明：直線l過定點；(2)若直線不經過第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，AOB的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值并求此時直線l的方程解：(1)證明：直線l的方程是k(x2)(1y)0，令解得無論k取何值，直線總經過定點(2,1)(2)由方程知，當k0時直線在x軸上的截距為，在y軸上的截距為12k，要使直線不經過第四象限，則必須有解之得k>0；當k0時，直線為y1，符合題意，故k0.即k的取值范圍是0，)(3)由l的方程，得A，B(0,12k)依題意得解得k>0.S·|OA|·|OB|··|12k|·×(2×24)4，“”成立的條件是k>0且4k，即k，Smin4，此時直線l的方程為x2y40.課堂歸納感悟提升方法技巧1直線的斜率k與傾斜角之間的關系0°0°<<90°90°90°<<180°k0k>0不存在k<02.求直線方程的方法(1)直接法：根據已知條件選擇恰當的直線方程形式，直接求出直線方程(2)待定系數法：先根據已知條件設出直線方程，再根據已知條件構造關于待定系數的方程(組)，求出待定系數，從而求出直線方程易錯防范1利用兩點式計算斜率時易忽視x1x2時斜率k不存在的情況2用直線的點斜式求方程時，在斜率k不明確的情況下，注意分k存在與不存在討論，否則會造成失誤3直線的截距式中易忽視截距均不為0這一條件，當截距為0時可用點斜式4由一般式AxByC0確定斜率k時易忽視判斷B是否為0的情況，當B0時，k不存在；當B0時，k.一、選擇題1若方程(2m2m3)x(m2m)y4m10表示一條直線，則參數m滿足的條件是()Am Bm0Cm0且m1 Dm1解析：選D由解得m1，故m1時方程表示一條直線2直線l：xsin 30°ycos 150°10的斜率是()A. B. C D解析：選A設直線l的斜率為k，則k.3已知直線l：axy2a0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是()A1 B1 C2或1 D2或1解析：選D由題意可知a0.當x0時，ya2.當y0時，x.a2，解得a2或a1.4直線axbyc0同時要經過第一、第二、第四象限，則a，b，c應滿足()Aab0，bc0 Bab0，bc0Cab0，bc0 Dab0，bc0解析：選A由于直線axbyc0經過第一、二、四象限，所以直線存在斜率，將方程變形為yx.易知0且0，故ab0，bc0.5兩直線a與a(其中a為不為零的常數)的圖象可能是()ABCD解析：選B直線方程a可化為yxna，直線a可化為yxma，由此可知兩條直線的斜率同號二、填空題6若直線l與直線y1，x7分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標為(1，1)，則直線l的斜率為_解析：設P(xP,1)，由題意及中點坐標公式得xP72，解得xP5，即P(5,1)，所以k.答案：7過點M(3,5)且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程為_解析：(1)當直線過原點時，直線方程為yx；(2)當直線不過原點時，設直線方程為1，即xya.代入點(3,5)，得a8.即直線方程為xy80.答案：yx或xy808直線l：ax(a1)y20的傾斜角大于45°，則a的取值范圍是_解析：當a1時，直線l的傾斜角為90°，符合要求；當a1時，直線l的斜率為，只要>1或<0即可，解得1<a<或a<1或a>0.綜上可知，實數a的取值范圍是(0，)答案：(0，)三、解答題9已知直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程：(1)過定點A(3,4)；(2)斜率為.解：(1)設直線l的方程為yk(x3)4，它在x軸，y軸上的截距分別是3,3k4，由已知，得(3k4)±6，解得k1或k2.故直線l的方程為2x3y60或8x3y120.(2)設直線l在y軸上的截距為b，則直線l的方程是yxb，它在x軸上的截距是6b，由已知，得|6b·b|6，b±1.直線l的方程為x6y60或x6y60.10.如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過點P(1，0)作直線AB分別交OA，OB于A，B兩點，當AB的中點C恰好落在直線yx上時，求直線AB的方程解：由題意可得kOAtan 45°1，kOBtan(180°30°)，所以直線lOA：yx，lOB：yx.設A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中點C，由點C在直線yx上，且A，P，B三點共線得解得m，所以A(，)又P(1,0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直線AB的方程為(3)x2y30.1在等腰三角形AOB中，AOAB，點O(0,0)，A(1,3)，點B在x軸的正半軸上，則直線AB的方程為()Ay13(x3) By13(x3)Cy33(x1) Dy33(x1)解析：選D因為AOAB，所以直線AB的斜率與直線AO的斜率互為相反數，所以kABkOA3，所以直線AB的點斜式方程為：y33(x1)2若直線axbyab(a>0，b>0)過點(1,1)，則該直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為()A1 B2 C4 D8解析：選C直線axbyab(a>0，b>0)過點(1,1)，abab，即1，ab(ab)2224，當且僅當ab2時上式等號成立直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為4.3若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(2，2)三點共線，則ab的最小值為_解析：根據A(a,0)，B(0，b)確定直線的方程為1，又C(2，2)在該直線上，故1，所以2(ab)ab.又ab>0，故a<0，b<0.根據基本(均值)不等式ab2(ab)4，從而0(舍去)或4，故ab16，當且僅當ab4時取等號即ab的最小值為16.答案：164已知直線PQ的斜率為，將直線繞點P順時針旋轉60°所得的直線的斜率為_解析：直線PQ的斜率為，則直線PQ的傾斜角為120°，所求直線的傾斜角為60°，tan 60°.答案：5已知A(3,0)，B(0,4)，直線AB上一動點P(x，y)，則xy的最大值是_解析：直線AB的方程為1，設P(x，y)，則x3y，xy3yy2(y24y)(y2)243.即當P點坐標為時，xy取最大值3.答案：36設點A(1,0)，B(1,0)，直線2xyb0與線段AB相交，則b的取值范圍是_解析：b為直線y2xb在y軸上的截距，如圖，當直線y2xb過點A(1，0)和點B(1,0)時，b分別取得最小值和最大值b的取值范圍是2,2答案：2,2第二節(jié)兩直線的位置關系考綱要求：1.能根據兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直2能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標3掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離1兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1k2；當不重合的兩條直線l1，l2的斜率都不存在時，l1與l2的關系為平行(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設為k1，k2，則l1l2k1k21；如果l1，l2中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，l1與l2的關系為垂直2兩條直線的交點3三種距離點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2| 點P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d兩條平行線AxByC10與AxByC20間的距離d1判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)當直線l1和l2的斜率都存在時，一定有k1k2l1l2.()(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于1.()(3)已知直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數)，若直線l1l2，則A1A2B1B20.()(4)l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，當k1k2時，l1與l2相交()(5)過l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20的交點的直線方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)()(6)點P(x0，y0)到直線ykxb的距離為.()(7)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離()答案：(1)×(2)×(3)(4)(5)×(6)×(7)2已知直線l過點P(1,2)，直線l1：2xy100.(1)若ll1，則直線l的方程為_；(2)若ll1，則直線l的方程為_答案：(1)2xy40(2)x2y303經過兩直線2xy80與x2y10的交點，且平行于直線4x3y70的直線方程為_答案：4x3y604原點到直線x2y50的距離是_答案：5已知直線l1的方程為3x4y70，直線l2的方程為6x8y10，則直線l1與l2的距離為_答案：典題1(1)已知過點A(2，m)和點B(m,4)的直線為l1，直線2xy10為l2，直線xny10為l3.若l1l2，l2l3，則實數mn的值為_(2)已知兩條直線l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求滿足下列條件的a，b的值l1l2，且l1過點(3，1)；l1l2，且坐標原點到這兩條直線的距離相等聽前試做(1)l1l2，kAB2，解得m8.又l2l3，×(2)1.解得n2，mn10.(2)由已知可得l2的斜率存在，k21a.若k20，則1a0，a1.l1l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1過點(3，1)，3a40，即a(矛盾)，此種情況不存在，k20，即k1，k2都存在k21a，k1，l1l2，k1k21，即(1a)1.(*)又l1過點(3，1)，3ab40.(*)由(*)(*)聯(lián)立，解得a2，b2.l2的斜率存在，l1l2，直線l1的斜率存在，k1k2，即1a.()又坐標原點到這兩條直線的距離相等，且l1l2，l1，l2在y軸上的截距互為相反數，即b.()聯(lián)立()()，解得或a2，b2或a，b2.答案：(1)10(1)當直線方程中存在字母參數時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況同時還要注意x、y的系數不能同時為零這一隱含條件(2)在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數間的關系得出結論典題2經過兩直線l1：x2y40和l2：xy20的交點P，且與直線l3：3x4y50垂直的直線l的方程為_聽前試做法一：由方程組得即P(0,2)ll3，直線l的斜率k1，直線l的方程為y2x，即4x3y60.法二：直線l過直線l1和l2的交點，可設直線l的方程為x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.l與l3垂直，3(1)(4)(2)0，11，直線l的方程為12x9y180，即4x3y60.答案：4x3y60探究若將本例中的“垂直”改為“平行”，如何求解？解：法一：由方程組得即P(0,2)ll3，直線l的斜率k1，直線l的方程為y2x，即3x4y80.法二：直線l過直線l1和l2的交點，可設直線l的方程為x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.l與l3平行，3(2)(4)(1)0，且(4)(42)5(2)，直線l的方程為3x4y80.(1)兩直線交點的求法求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標的點即為交點(2)常見的三大直線系方程與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBym0(mR且mC)與直線AxByC0垂直的直線系方程是BxAym0(mR)過直線l1：A1xB1yC10與l2：A2xB2yC20的交點的直線系方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.典題3已知點P(2，1)(1)求過點P且與原點的距離為2的直線l的方程(2)求過點P且與原點的距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？(3)是否存在過點P且與原點的距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由聽前試做(1)過點P的直線l與原點的距離為2，而點P的坐標為(2，1)，顯然，過P(2，1)且垂直于x軸的直線滿足條件，此時l的斜率不存在，其方程為x2.若斜率存在，設l的方程為y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k.此時l的方程為3x4y100.綜上，可得直線l的方程為x2或3x4y100.(2)作圖可得過點P與原點O的距離最大的直線是過點P且與PO垂直的直線，如圖由lOP，得klkOP1，所以kl2.由直線方程的點斜式得y12(x2)，即2xy50.所以直線2xy50是過點P且與原點O的距離最大的直線，最大距離為.(3)由(2)可知，過點P不存在到原點的距離超過的直線，因此不存在過點P且到原點的距離為6的直線利用距離公式應注意：(1)點P(x0，y0)到直線xa的距離d|x0a|，到直線yb的距離d|y0b|；(2)兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數化為相等1已知兩條平行直線l1：mx8yn0與l2：2xmy10間的距離為，則直線l1的方程為_解析：l1l2，或當m4時，直線l1的方程為4x8yn0，把l2的方程寫成4x8y20，解得n22或18.故所求直線l1的方程為2x4y110或2x4y90.當m4時，直線l1的方程為4x8yn0，把l2的方程寫成為4x8y20，解得n18或22.故所求直線l1的方程為2x4y90或2x4y110.答案：2x±4y90或2x±4y1102直線l過點P(1,2)且到點A(2,3)和點B(4,5)的距離相等，則直線l的方程為_解析：法一：當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y2k(x1)，即kxyk20.由題意知，即|3k1|3k3|，k.直線l的方程為y2(x1)，即x3y50.當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x1，也符合題意法二：當ABl時，有kkAB，直線l的方程為y2(x1)，即x3y50.當l過AB中點時，AB的中點為(1,4)直線l的方程為x1.故所求直線l的方程為x3y50或x1.答案：x3y50或x1對稱問題是高考常考內容之一，也是考查學生轉化能力的一種常見題型，且主要有以下幾個命題角度：角度一：點關于點的中心對稱問題典題4過點P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2xy80和l2：x3y100截得的線段被點P平分，則直線l的方程為_聽前試做設l1與l的交點為A(a,82a)，則由題意知，點A關于點P的對稱點B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即點A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x4y40.答案：x4y40角度二：點關于直線的對稱問題典題5已知直線l：2x3y10，點A(1，2)，則點A關于直線l的對稱點A的坐標為_聽前試做設A(x，y)，由已知得解得故A.答案：角度三：直線關于直線的對稱問題典題6已知直線l：2x3y10，求直線m：3x2y60關于直線l的對稱直線m的方程聽前試做在直線m上任取一點，如M(2,0)，則M(2，0)關于直線l的對稱點M必在直線m上設對稱點M(a，b)，則解得M.設直線m與直線l的交點為N，則由得N(4,3)又m經過點N(4,3)，由兩點式得直線m的方程為9x46y1020.角度四：對稱問題的應用典題7在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，點P是邊AB上異于A，B的一點光線從點P出發(fā)，經BC，CA反射后又回到點P(如圖)若光線QR經過ABC的重心，則AP等于_聽前試做以AB、AC所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示平面直角坐標系，則A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得ABC的重心D，設APx，P(x,0)，x(0,4)，由光的反射定理，知點P關于直線BC、AC的對稱點P1(4,4x)、P2(x,0)，與ABC的重心D，共線，所以，求得x，AP.答案：(1)點P(x，y)關于O(a，b)的對稱點P(x，y)滿足(如角度一)(2)解決點關于直線對稱問題要把握兩點，點M與點N關于直線l對稱，則線段MN的中點在直線l上，直線l與直線MN垂直(如角度二)(3)若直線l1、l2關于直線l對稱，則有如下性質：若直線l1與l2相交，則交點在直線l上；若點B在直線l1上，則其關于直線l的對稱點B在直線l2上(如角度三)(4)解決中心對稱問題的關鍵在于運用中點坐標公式，而解決軸對稱問題，一般是轉化為求對稱點的問題，在求對稱點時，關鍵是抓住兩點：一是兩對稱點的連線與對稱軸垂直；二是兩對稱點的中心在對稱軸上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個方程，由“平分”列出一個方程，聯(lián)立求解(如角度四)課堂歸納感悟提升方法技巧1兩直線的位置關系要考慮平行、垂直和重合對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1·k21.2與已知直線垂直及平行的直線系的設法與直線AxByC0(A2B20)垂直和平行的直線方程可設為：(1)垂直：BxAym0；(2)平行：AxByn0.3直線l1：A1xB1yC10(AB0)，l2：A2xB2yC20(AB0)，則：(1)l1l2A1A2B1B20；(2)l1l2(A2B2C20)；(3)l1與l2相交(A2B20)；(4)l1與l2重合(A2B2C20)4對稱問題一般是將線與線的對稱轉化為點與點的對稱，利用坐標轉移法易錯防范1在判斷兩條直線的位置關系時，首先應分析直線的斜率是否存在若兩條直線都有斜率，可根據判定定理判斷，若直線無斜率時，要單獨考慮；2運用兩平行直線間的距離公式d的前提是將兩方程中的x，y的系數化為對應相等一、選擇題1當0k時，直線l1：kxyk1與直線l2：kyx2k的交點在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選B解方程組得交點為.因為0k，所以0，0.故交點在第二象限2若直線l1：ax2y60與直線l2：x(a1)ya210垂直，則實數a()A. B1 C2 D1或2解析：選Aa×1(a1)×20，a.3若直線l1：x2ym0(m>0)與直線l2：xny30之間的距離是，則mn()A0 B1 C1 D2解析：選A直線l1：x2ym0(m>0)與直線l2：xny30之間的距離為，n2，m2(負值舍去)mn0.4已知直線l1：y2x3，直線l2與l1關于直線yx對稱，則直線l2的斜率為()A. B C2 D2解析：選A因為l1，l2關于直線yx對稱，所以l2的方程為x2y3，即yx，即直線l2的斜率為.5已知A，B兩點分別在兩條互相垂直的直線2xy0和xay0上，且AB線段的中點為P，則線段AB的長為()A11 B10 C9 D8解析：選B依題意，a2，P(0,5)，設A(x,2x)，B(2y，y)，故則A(4,8)，B(4,2)，|AB|10.二、填空題6已知直線l1：(3m)x4y53m，l2：2x(5m)y8, l1l 2，則實數m的值為_解析：由(3m)(5m)4×20，得m1或m7，當m1時，直線l1與l2重合，舍去；當m7時，兩直線平行答案：77若三條直線y2x，xy3，mx2y50相交于同一點，則m的值為_解析：由得點(1,2)滿足方程mx2y50，即m×12×250，m9.答案：98已知l1，l2是分別經過A(1,1)，B(0，1)兩點的兩條平行直線，當l1，l2間的距離最大時，則直線l1的方程是_解析：當直線AB與l1，l2垂直時，l1，l2間的距離最大因為A(1,1)，B(0，1)，所以kAB2，所以兩平行直線的斜率為k，所以直線l1的方程是y1(x1)，即x2y30.答案：x2y30三、解答題9正方形的中心為點C(1,0)，一條邊所在的直線方程是x3y50，求其他三邊所在直線的方程解：點C到直線x3y50的距離d.設與x3y50平行的一邊所在直線的方程是x3ym0(m5)，則點C到直線x3ym0的距離d，解得m5(舍去)或m7，所以與x3y50平行的邊所在直線的方程是x3y70.設與x3y50垂直的邊所在直線的方程是3xyn0，則點C到直線3xyn0的距離d，解得n3或n9，所以與x3y50垂直的兩邊所在直線的方程分別是3xy30和3xy90.10已知ABC的頂點A(5,1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2xy50，AC邊上的高BH所在直線方程為x2y50，求直線BC的方程解：依題意知：kAC2，A(5,1)，lAC為2xy110，聯(lián)立lAC，lCM得C(4,3)設B(x0，y0)，AB的中點M為，代入2xy50，得2x0y010，B(1，3)，kBC，直線BC的方程為y3(x4)，即6x5y90.1若動點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分別在直線l1：xy50，l2：xy150上移動，則P1P2的中點P到原點的距離的最小值是()A. B5 C. D15解析：選B由題意得P1P2的中點P的軌跡方程是xy100，則原點到直線xy100的距離為d5.2若直線l1：yk(x4)與直線l2關于點(2,1)對稱，則直線l2恒過定點()A(0,4) B(0,2)C(2,4) D(4，2)解析：選B直線l1：yk(x4)恒過定點(4,0)，其關于點(2,1)對稱的點為(0,2)又由于直線l1：yk(x4)與直線l2關于點(2,1)對稱，故直線l2恒過定點(0,2)3設A，B是x軸上的兩點，點P的橫坐標為3，且|PA|PB|，若直線PA的方程為xy10，則直線PB的方程是()Axy50 B2xy10Cx2y40 Dxy70解析：選D由|PA|PB|知點P在AB的垂直平分線上由點P的橫坐標為3，且PA的方程為xy10，得P(3，4)直線PA，PB關于直線x3對稱，直線PA上的點(0,1)關于直線x3的對稱點(6,1)在直線PB上，直線PB的方程為xy70.4若在平面直角坐標系內過點P(1，)，且與原點的距離為d的直線有兩條，則d的取值范圍為_解析：因為原點到點P的距離為2，所以過點P的直線與原點的距離都不大于2，故d(0,2)答案：(0,2)5.如圖，已知A(2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(1,0)，F(xiàn)(1,0)，一束光線從F點出發(fā)射到BC上的D點，經BC反射后，再經AC反射，落到線段AE上(不含端點)，則直線FD的斜率的取值范圍為_解析：從特殊位置考慮如圖，點A(2,0)關于直線BC：xy2的對稱點為A1(2,4)，kA1F4.又點E(1,0)關于直線AC：yx2的對稱點為E1(2，1)，點E1(2,1)關于直線BC：xy2的對稱點為E2(1,4)，此時直線E2F的斜率不存在，kFD>kA1F，即kFD(4，)答案：(4，)6設mR，過定點A的動直線xmy0和過定點B的動直線mxym30交于點P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是_解析：易求定點A(0,0)，B(1,3)當P與A和B均不重合時，因為P為直線xmy0與mxym30的交點，且易知兩直線垂直，則PAPB，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|·|PB|5(當且僅當|PA|PB|時，等號成立)；當P與A或B重合時，|PA|·|PB|0，故|PA|·|PB|的最大值是5.答案：5第三節(jié)圓 的 方 程考綱要求：1.掌握確定圓的幾何要素2掌握圓的標準方程與一般方程1圓的定義及方程定義平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓標準方程(xa)2(yb)2r2(r>0)圓心C：(a，b)半徑：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F>0)圓心：半徑：r2.點與圓的位置關系(1)理論依據：點與圓心的距離與半徑的大小關系(2)三種情況圓的標準方程(xa)2(yb)2r2，點M(x0，y0)，(x0a)2(y0b)2r2點在圓上；(x0a)2(y0b)2>r2點在圓外；(x0a)2(y0b)2<r2點在圓內1判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑()(2)已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以AB為直徑的圓的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.()(3)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是AC0，B0，D2E24F>0.()(4)若點M(x0，y0)在圓x2y2DxEyF0外，則xyDx0Ey0F>0.()(5)已知圓的方程為x2y22y0，過點A(1,2)作該圓的切線只有一條()答案：(1)(2)(3)×(4)(5)×2方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓，則a的取值范圍是()A(，2) B.C(2,0) D.解析：選D由題意知a24a24(2a2a1)0，解得2a.3將圓x2y22x4y10平分的直線是()Axy10 Bxy30Cxy10 Dxy30解析：選C要使直線平分圓，只要直線經過圓的圓心即可，圓心坐標為(1,2)A，B，C，D四個選項中，只有C選項中的直線經過圓心4若點(1,1)在圓(xa)2(ya)24的內部，則實數a的取值范圍是_解析：因為點(1,1)在圓(xa)2(ya)24的內部，所以(1a)2(1a)2<4.即a2<1，故1<a<1.答案：(1,1)5經過三點(2，1)、(5,0)、(6,1)的圓的一般方程為_解析：設所求方程為x2y2DxEyF0，則解得故所求圓的一般方程為x2y24x8y50.答案：x2y24x8y50典題1根據下列條件，求圓的方程(1)經過點A(5,2)，B(3，2)，且圓心在直線2xy30上；(2)經過P(2,4)、Q(3，1)兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6；(3)圓心在直線y4x上，且與直線l：xy10相切于點P(3，2)聽前試做(1)法一：由題意知kAB2，AB的中點為(4,0)，設圓心為C(a，b)，圓過A(5,2)，B(3，2)兩點，圓心一定在線段AB的垂直平分線上則解得C(2,1)，r|CA|.所求圓的方程為(x2)2(y1)210.法二：設圓的方程為(xa)2(yb)2r2，則解得故圓的方程為(x2)2(y1)210.法三：設圓的方程為x2y2DxEyF0(D2E24F>0)，則解得所求圓的方程為x2y24x2y50.(2)設圓的方程為x2y2DxEyF0，將P、Q兩點的坐標分別代入得又令y0，得x2DxF0.設x1，x2是方程的兩根，由|x1x2|6有D24F36，由、解得D2，E4，F(xiàn)8，或D6，E8，F(xiàn)0.故所求圓的方程為x2y22x4y80，或x2y26x8y0.(3)法一：如圖，設圓心(x0，4x0)，依題意得1，x01，即圓心坐標為(1，4)，半徑r2，故圓的方程為(x1)2(y4)28.法二：設所求方程為(xx0)2(yy0)2r2，根據已知條件得解得因此所求圓的方程為(x1)2(y4)28.求圓的方程的方法(1)方程選擇原則求圓的方程時，如果由已知條件易求得圓心坐標、半徑或需要用圓心坐標列方程，常選用標準方程；如果已知條件與圓心坐標、半徑無直接關系，常選用一般方程(2)求圓的方程的方法和步驟確定圓的方程的主要方法是待定系數法，大致步驟如下：根據題意，選擇標準方程或一般方程；根據條件列出關于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組；解出a，b，r或D，E，F(xiàn)代入標準方程或一般方程(xx·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mxy2m10(mR)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為_解析：直線mxy2m10經過定點(2，1)當圓與直線相切于點(2，1)時，圓的半徑最大，此時半徑r滿足r2(12)2(01)22.答案：(x1)2y22與圓有關的最值問題也是命題的熱點內容，它著重考查數形結合與轉化思想歸納起來常見的命題角度有：角度一：斜率型最值問題典題2已知實數x，y滿足方程x2y24x10，則的最大值為_，最小值為_聽前試做原方程可化為(x2)2y23，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓.的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設k，即ykx.當直線ykx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值(如圖)，此時，解得k±，所以的最大值為，最小值為.答案：角度二：截距型最值問題典題3在典題2條件下，求yx的最大值聽前試做原方程可化為(x2)2y23，表示圓心為(2,0)，半徑r 的圓設yxb，yx可看作是直線yxb在y軸上的截距，當直線yxb與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時，解得b2±.所以yx的最大值為2.角度三：距離型最值問題典題4在典題2條件下，求x2y2的最大值和最小值聽前試做x2y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖) 又因為圓心到原點的距離為2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.角度四：利用對稱性求范圍典題5設點M(x0,1)，若在圓O：x2y21上存在點N，使得OMN45°，則x0的取值范圍是_聽前試做由題意可知M在直線y1上運動，設直線y1與圓x2y21相切于點P(0,1)當x00即點M與點P重合時，顯然圓上存在點N(±1，0)符合要求；當x00時，過M作圓的切線，切點之一為點P，此時對于圓上任意一點N，都有OMNOMP，故要存在OMN45°，只需OMP45°.特別地，當OMP45°時，有x0±1.結合圖形可知，符合條件的x0的取值范圍為1,1答案：1,1(1)形如的最值問題，可轉化為過定點的動直線的斜率的最值問題(如角度一)(2)形如taxby的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題，也可用三角代換求解(如角度二)(3)形如m(xa)2(yb)2的最值問題，可轉化為動點與定點的距離的平方的最值問題(如角度三)(4)與圓相關的最值，若幾何意義明顯時，可充分利用幾何性質，借助幾何直觀求解否則可用代數法轉化為函數求最值(如角度四)典題6已知圓x2y24上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內一點，P，Q為圓上的動點(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)若PBQ90°，求線段PQ中點的軌跡方程聽前試做(1)設AP的中點為M(x，y)，由中點坐標公式可知，P點坐標為(2x2,2y)因為P點在圓x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故線段AP中點的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設PQ的中點為N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|.設O為坐標原點，連接ON，則ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線段PQ中點的軌跡方程為x2y2xy10.求與圓有關的軌跡問題時，根據題設條件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根據題目提供的條件列出方程(2)定義法：根據圓、直線等定義列方程(3)幾何法：利用圓的幾何性質列方程(4)代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等已知點P(2,2)，圓C：x2y28y0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點(1)求M的軌跡方程；(2)當|OP|OM|時，求l的方程及POM的面積解：(1)圓C的方程可化為x2(y4)216，所以圓心為C(0,4)，半徑為4.故x(2