江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角函數(shù)與平面向量 第2講 三角恒等變換與解三角形學(xué)案

第2講三角恒等變換與解三角形考情考向分析正弦定理、余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：1.邊和角的計算.2.三角形形狀的判斷.3.面積的計算.4.有關(guān)參數(shù)的范圍問題由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強，與實際問題結(jié)合起來進行命題將是今后高考的一個關(guān)注點，不可輕視熱點一三角恒等變換例1(1)若cos，則cos_.答案解析cos，cossinsin，cos12sin2.(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作角，角的終邊經(jīng)過點P(2,1)求cos 的值；求cos的值解由于角的終邊經(jīng)過點P(2,1)，故cos，sin，cos coscoscos sinsin .sin sinsincos cossin ，則sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2，coscos cos 2sin sin 2.思維升華(1)三角變換的關(guān)鍵在于對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等變換公式的熟記和靈活應(yīng)用，要善于觀察各個角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)題目所給條件與恒等變換公式的聯(lián)系，公式的使用過程要注意正確性，要特別注意公式中的符號和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)“張冠李戴”的情況(2)求角問題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解跟蹤演練1(1)已知cos3sin，則tan_.答案24解析cos3sin，sin 3sin，sin 3sin3sin cos 3cos sin sin cos ，tan ，又tan tan2，tan24.(2)(2018·江蘇如東中學(xué)等五校聯(lián)考)已知，且cos，則sin 的值是_答案解析，給合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式有：sin，則sin sinsincos cossin ××.熱點二正弦定理、余弦定理例2(2018·江蘇泰州中學(xué)調(diào)研)如圖，在圓內(nèi)接ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足acos Cccos A2bcos B.(1)求B的大?。?2)若點D是劣弧AC上一點，AB3，BC2，AD1，求四邊形ABCD的面積解(1)方法一設(shè)外接圓的半徑為R，則a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，代入得2Rsin Acos C2Rsin Ccos A2×2Rsin Bcos B，即sin Acos Csin Ccos A2sin Bcos B，所以sin B2sin Bcos B.所以sin B0，所以cos B.又B是三角形的內(nèi)角，所以B.方法二根據(jù)余弦定理，得a·c·2b·cos B，化簡得cos B.因為0<B<，所以B.(2)在ABC中，AC2AB2BC22AB·BCcosABC942×3×2×7，所以AC.因為A，B，C，D四點共圓，所以ADC.在ACD中，AC2AD2CD22AD·CDcosADC，代入得71CD22·CD·，所以CD2CD60，解得CD2或CD3(舍)所以SABCDSABCSACDAB·BCsinABCAD·CDsinADC×3×2××1×2×2.思維升華關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口跟蹤演練2在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角B的大?。?2)已知4，ABC的面積為6，求邊長b的值解(1)由已知得bcos Aacos Bbsin C，由正弦定理得sin Bcos Acos Bsin Asin Bsin C，sin(AB)sin Bsin C，又在ABC中，sin(AB)sin C0，sin B，0<B<，B.(2)由已知及正弦定理得c4，又 SABC6，B，acsin B6，得a6，由余弦定理b2a2c22accos B，得 b2.熱點三解三角形與三角函數(shù)的綜合問題例3(2018·江蘇三校聯(lián)考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a2c22b，且sin Acos C3cos Asin C.(1)求b的值；(2)若B，S為ABC的面積，求S8cos Acos C的取值范圍解(1)由正弦定理、余弦定理知sin Acos C3cos Asin C可等價變形為a·3c·，化簡得a2c2.因為a2c22b，所以b4或b0(舍去)(2)由正弦定理得Sbcsin A×4×sin Asin C8sin Asin C，所以S8cos Acos C8cos(AC)8cos.在ABC中，由得A.所以2A，所以cos，所以S8cos Acos C(8,8)思維升華解三角形與三角函數(shù)的綜合題，要優(yōu)先考慮角的范圍和角之間的關(guān)系；對最值或范圍問題，可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域來求解跟蹤演練3已知函數(shù)f(x)2cos2xsin1(xR)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知f(A)，若bc2a，且·6，求a的值解(1)f(x)sin2cos2x1cos 2xsin 2xcos 2xcos 2xsin 2xsin.函數(shù)f(x)的最小正周期T.由2k2x2k(kZ)，可解得kxk(kZ)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)(2)由f(A)sin，可得2A2k或2A2k(kZ)A(0，)，A，·bccos Abc6，bc12，又2abc，cos A111，a2.1若ABC的內(nèi)角滿足sin Asin B2sin C，則cos C的最小值是_答案解析由sin Asin B2sin C，結(jié)合正弦定理得ab2c.由余弦定理得cos C，故cos C<1，故cos C的最小值為.2(2018·全國改編)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若ABC的面積為，則C_.答案解析Sabsin Cabcos C，sin Ccos C，即tan C1.又C(0，)，C.3(2018·全國)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，則ABC的面積為_答案解析bsin Ccsin B4asin Bsin C，由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C>0，sin A.由余弦定理得cos A>0，cos A，bc，SABCbcsin A××.4在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知cos A，sin Bcos C，并且a，則ABC的面積為_答案解析因為0<A<，cos A，所以sin A.又由cos Csin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin Ccos Csin C知，cos C>0，并結(jié)合sin2Ccos2C1，得sin C，cos C.于是sin Bcos C.由a及正弦定理，得c.故ABC的面積Sacsin B.5已知函數(shù)f(x)sin x·cos xcos2x(>0)的最小正周期為.(1)求的值；(2)在ABC中，sin B，sin A，sin C成等比數(shù)列，求此時f(A)的值域解(1)f(x)sin 2x(cos 2x1)sin，因為函數(shù)f(x)的最小正周期為T，所以.(2)由(1)知f(x)sin，易得f(A)sin.因為sin B，sin A，sin C成等比數(shù)列，所以sin2Asin Bsin C，所以a2bc，所以cos A(當(dāng)且僅當(dāng)bc時取等號)因為0<A<，所以0<A，所以<3A，所以<sin1，所以1<sin，所以f(A)的值域為.A組專題通關(guān)1(2018·全國改編)若sin ，則cos 2_.答案解析sin ，cos 212sin212×2.2tan 70°tan 50°tan 70°tan 50°的值為_答案解析因為tan 120°，即tan 70°tan 50°tan 70°tan 50°.3(2018·江蘇泰州中學(xué)調(diào)研)已知sin 2cos 0，則_.答案1解析由題設(shè)可知sin 2cos ，則原式1.4在ABC中，若原點到直線xsin Aysin Bsin C0的距離為1，則此三角形為_三角形(填“直角”“銳角”“鈍角”)答案直角解析由已知可得，1，sin2Csin2Asin2B，c2a2b2，故ABC為直角三角形5在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，acos Bbcos A2ccos C，c，且ABC的面積為，則ABC的周長為_答案5解析在ABC中，acos Bbcos A2ccos C，則sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos C，即sin(AB)2sin Ccos C，sin(AB)sin C0，cos C，C，由余弦定理可得，a2b2c2ab，即(ab)23abc27，又Sabsin Cab，ab6，(ab)273ab25，ab5，ABC的周長為abc5.6若sin 2，sin()，且，則的值是_答案解析sin 2，cos 2且，又sin()，cos()，sin()sin()2sin()cos 2cos()sin 2××，cos()cos()2cos()cos 2sin()sin 2××，又，.7設(shè)ABC內(nèi)切圓與外接圓的半徑分別為r與R.且sin Asin Bsin C234，則cos C_；當(dāng)BC1時，ABC的面積等于_答案解析sin Asin Bsin C234，abc234.令a2t，b3t，c4t(t>0)，則cos C，又C(0，)，sin C.當(dāng)BC1時，AC，SABC×1××.8.如圖，在ABC中，BC2，ABC，AC的垂直平分線DE與AB，AC分別交于D，E兩點，且DE，則BE2_.答案解析如圖，連結(jié)CD，由題設(shè)，有BDC2A，所以，故CD.又DECDsin A，所以cos A，而A(0，)，故A，因此ADE為等腰直角三角形，所以AEDE.在ABC中，ACB，所以，故AB1，在ABE中，BE2(1)222×(1)××.9(2018·江蘇)已知，為銳角，tan ，cos().(1)求cos 2的值；(2)求tan()的值解(1)因為tan ，tan ，所以sin cos .又因為sin2cos21，所以cos2，因此，cos 22cos21.(2)因為，為銳角，所以(0，)又因為cos()，所以，所以sin()，因此tan()2.因為tan ，所以tan 2.因此，tan()tan2().10(2018·江蘇揚州中學(xué)調(diào)研)已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m(1,2)，n，且m·n1.(1)求角A的大?。?2)若bc2a2，求sin的值解(1)由題意得m·ncos 2A2cos22cos2A1cos A12cos2Acos A，又因為m·n1，所以2cos2Acos A1，解得cos A或cos A1，0<A<， A.(2)在ABC中，由余弦定理得()2b2c22bc·b2c2bc，又bc2，b2c，代入整理得c22c30，解得c，b，于是abc，即ABC為等邊三角形，B，sinsin.B組能力提高11.如圖，在ABC中，D，F(xiàn)分別為BC，AC的中點，ADBF，若sin2CsinBAC·sinABC，則cos C_.答案解析設(shè)BCa，ACb，ABc，由sin2CsinBAC·sinABC可得，c2ab，由ADBF可得，··0，整理可得，22·0，即b2c2bccosBAC0，即2b24c22bccosBAC0，2b24c2(b2c2a2)0，即a2b2c24c2ab，所以cos C.12(2018·北京)若ABC的面積為(a2c2b2)，且C為鈍角，則B_；的取值范圍是_答案(2，)解析由余弦定理得cos B，a2c2b22accos B.又S(a2c2b2)，acsin B×2accos B，tan B，又B(0，)，B.又C為鈍角，CA>，0<A<.由正弦定理得·.0<tan A<，>，>×2，即>2.的取值范圍是(2，)13在銳角ABC中，角A所對的邊為a，ABC的面積S，給出以下結(jié)論：sin A2sin Bsin C；tan Btan C2tan Btan C；tan Atan Btan Ctan Atan Btan C；tan Atan Btan C有最小值8.其中正確結(jié)論的個數(shù)為_答案4解析由Sabsin C，得a2bsin C，又，得sin A2sin Bsin C，故正確；由sin A2sin Bsin C，得sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，兩邊同時除以cos Bcos C，可得tan Btan C2tan Btan C，故正確；由tan(AB)，且tan(AB)tan(C)tan C，所以tan C，整理移項得tan Atan Btan Ctan Atan Btan C，故正確；由tan Btan C2tan Btan C，tan Atan(BC)，且tan A，tan B，tan C都是正數(shù)，得tan Atan Btan C·tan Btan C·tan Btan C，設(shè)mtan Btan C1，則m>0，tan Atan Btan C24448，當(dāng)且僅當(dāng)mtan Btan C11，即tan Btan C2時取“”，此時tan Btan C2，tan Btan C4，tan A4，所以tan Atan Btan C的最小值是8，故正確14已知向量a(sin 2x，cos 2x)，b(cos ，sin )，若f(x)a·b，且函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱(1)求函數(shù)f(x)的解析式，并求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f(A)，且b5，c2，求ABC外接圓的面積解(1)f(x)a·bsin 2xcos cos 2xsin sin(2x)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，2×k，kZ，k，kZ，又|<，.f(x)sin.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，kZ.(2)f(A)sin，sin1.A(0，)，2A，2A，A.在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A25122×5×2cos7，a.設(shè)ABC外接圓的半徑為R，由正弦定理得2R2，R，ABC外接圓的面積SR27.18