2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第五章 第4節(jié) 數(shù)列求和 理（含解析）

2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第五章 第4節(jié) 數(shù)列求和 理（含解析）1（xx山東，12分）已知等差數(shù)列an的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bn(1)n1，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解：(1)因為S1a1，S22a1×22a12，S44a1×24a112，由題意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)bn(1)n1(1)n1(1)n1.當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn1.當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn1.所以Tn2（xx浙江，14分）已知數(shù)列an和bn滿足a1a2a3an()bn(nN*)若an為等比數(shù)列，且a12，b36b2.(1)求an與bn；(2)設(shè)cn(nN*)記數(shù)列cn的前n項和為Sn.求Sn；求正整數(shù)k，使得對任意nN*，均有SkSn.解：(1)由題意a1a2a3an()bn，b3b26，知a3()b3b28.又由a12，得公比q2(q2舍去)，所以數(shù)列an的通項為an2n(nN*)所以a1a2a3an2()n(n1)故數(shù)列bn的通項為bnn(n1)(nN*)(2)由(1)知cn(nN*)，所以Sn1(nN*)因為c10，c2>0，c3>0，c4>0；當(dāng)n5時，cn，而>0，得<1，所以，當(dāng)n5時，cn<0.綜上，對任意nN*恒有S4Sn，故k4.3（xx江西，12分）已知首項都是1的兩個數(shù)列an，bn(bn0，nN*)，滿足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令cn，求數(shù)列cn的通項公式；(2)若bn3n1，求數(shù)列an的前n項和Sn.解析：(1)因為anbn1an1bn2bn1bn0，bn0(nN*)，所以2，即cn1cn2.所以數(shù)列cn是以首項c11，公差d2的等差數(shù)列，故cn2n1.(2)由bn3n1知ancnbn(2n1)3n1，于是數(shù)列an前n項和Sn1·303·315·32(2n1)·3n1，3Sn1·313·32(2n3)·3n1(2n1)·3n，相減得2Sn12·(31323n1)(2n1)·3n2(2n2)3n，所以Sn(n1)3n1.4（xx四川，12分）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，點(an，bn)在函數(shù)f(x)2x的圖象上(nN*)(1)若a12，點(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列an的前n項和Sn；(2)若a11，函數(shù)f(x)的圖象在點(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2，求數(shù)列的前n項和Tn.解：(1)由已知，b72a7，b82a84b7，有2a84×2a72a72，解得da8a72.所以Snna1d2nn(n1)n23n.(2)函數(shù)f(x)2x在(a2，b2)處的切線方程為y2a2(2a2ln 2)(xa2)，它在x軸上的截距為a2.由題意知，a22，解得a22.所以da2a11.從而ann，bn2n，所以Tn，2Tn.因此，2TnTn12.所以Tn.5（xx福建，5分）已知等比數(shù)列an的公比為q，記bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1·am(n1)2··am(n1)m(m，nN*)，則以下結(jié)論一定正確的是()A數(shù)列bn為等差數(shù)列，公差為qmB數(shù)列bn為等比數(shù)列，公比為q2mC數(shù)列cn為等比數(shù)列，公比為qm2D數(shù)列cn為等比數(shù)列，公比為qmm解析：本題考查等比數(shù)列的定義與通項公式、等差數(shù)列前n項和的公式等基礎(chǔ)知識，意在考查考生轉(zhuǎn)化和化歸能力、公式應(yīng)用能力和運算求解能力等比數(shù)列an的通項公式ana1qn1，所以cnam(n1)1·am(n1)2··am(n1)ma1qm(n1)·a1qm(n1)1··a1qm(n1)m1aqm(n1)m(n1)1m(n1)m1aqm2(n1)aqm2(n1)，因為qm2，所以數(shù)列cn為等比數(shù)列，公比為qm2.答案：C6（xx重慶，5分）已知an是等差數(shù)列，a11，公差d0，Sn為其前n項和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8_.解析：本題考查等差、等比數(shù)列的基本量運算，意在考查考生的基本運算能力因為an為等差數(shù)列，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，所以a1(a14d)(a1d)2，解得d2a12，所以S864.答案：647（xx江蘇，16分）設(shè)an是首項為a，公差為d的等差數(shù)列(d0)，Sn是其前n項的和記bn，nN*，其中 c為實數(shù)(1)若c0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snkn2Sk(k，nN*)；(2)若bn是等差數(shù)列，證明：c0.證明：本題考查等差、等比數(shù)列的定義，通項及前n項和，意在考查考生分析問題、解決問題的能力與推理論證能力由題設(shè)，Snnad.(1)由c0，得bnad.又b1，b2，b4成等比數(shù)列，所以bb1b4，即2a，化簡得d22ad0.因為d0，所以d2a.因此，對于所有的mN*，有Smm2a.從而對于所有的k，nN*，有Snk(nk)2an2k2an2Sk.(2)設(shè)數(shù)列bn的公差是d1，則bnb1(n1)d1，即b1(n1)d1，nN*，代入Sn的表達式，整理得，對于所有的nN*，有n3n2cd1nc(d1b1)令A(yù)d1d，Bb1d1ad，Dc(d1b1)，則對于所有的nN*，有An3Bn2cd1nD.(*)在(*)式中分別取n1,2,3,4，得ABcd18A4B2cd127A9B3cd164A16B4cd1，從而有由，得A0，cd15B，代入方程，得B0，從而cd10.即d1d0，b1d1ad0，cd10.若d10，則由d1d0，得d0，與題設(shè)矛盾，所以d10.又cd10，所以c0.8（xx浙江，14分）在公差為d的等差數(shù)列an中，已知a110，且a1，2a22,5a3成等比數(shù)列(1)求d，an；(2) 若d<0，求|a1|a2|a3|an|.解：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，等差數(shù)列通項公式，求和公式等基礎(chǔ)知識，同時考查運算求解能力(1)由題意得5a3·a1(2a22)2，即d23d40.故d1或d4.所以ann11，nN*或an4n6，nN*.(2)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.因為d<0，由(1)得d1，ann11.則當(dāng)n11時，|a1|a2|a3|an|Snn2n.當(dāng)n12時，|a1|a2|a3|an|Sn2S11n2n110.綜上所述，|a1|a2|a3|an|9（xx四川，12分）在等差數(shù)列an中，a1a38，且a4為a2和a9的等比中項，求數(shù)列an的首項、公差及前n項和解：本題考查等差數(shù)列、等比中項等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查分類與整合等數(shù)學(xué)思想設(shè)該數(shù)列公差為d，前n項和為Sn.由已知，可得2a12d8，(a13d)2(a1d)(a18d)所以，a1d4，d(d3a1)0，解得a14，d0，或a11，d3，即數(shù)列an的首項為4，公差為0，或首項為1，公差為3.所以，數(shù)列的前n項和Sn4n或Sn.10（xx湖南，5分）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，Sn(1)nan，nN*，則(1)a3_；(2)S1S2S100_.解析：本小題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的求和等知識，考查推理論證能力及分類討論思想(1)當(dāng)n1時，S1(1)a1，得a1.當(dāng)n2時，Sn(1)n(SnSn1).當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn1，當(dāng)n為奇數(shù)時，SnSn1，從而S1，S3，又由S3S2，得S20，則S3S2a3a3.(2)由(1)得S1S3S5S99，S101，又S2S4S6S1002S32S52S72S1010，故S1S2S100.答案：11（xx湖南，13分）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，已知a10,2ana1S1·Sn，nN*. (1)求a1，a2，并求數(shù)列an的通項公式；(2)求數(shù)列nan的前n項和解：本題主要考查數(shù)列的通項公式和數(shù)列求和，結(jié)合轉(zhuǎn)化思想，意在考查考生的運算求解能力(1)令n1，得2a1a1a，即a1a.因為a10，所以a11.令n2，得2a21S21a2，解得a22.當(dāng)n2時，由2an1Sn,2an11Sn1兩式相減得2an2an1an，即an2an1.于是數(shù)列an是首項為1，公比為2的等比數(shù)列因此，an2n1.所以數(shù)列an的通項公式為an2n1.(2)由(1)知，nann·2n1.記數(shù)列n·2n1的前n項和為Bn，于是Bn12×23×22n×2n1，2Bn1×22×223×23n×2n.得Bn12222n1n·2n2n1n·2n.從而Bn1(n1)·2n.12（xx江西，12分）正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)令bn，數(shù)列bn的前項n項和為Tn.證明：對于任意的nN*，都有Tn<.解：本題主要考查求一類特殊數(shù)列的和，意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想及運算求解能力(1)由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正項數(shù)列，所以Sn>0，Snn2n.于是a1S12，n2時，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.綜上，數(shù)列an的通項公式為an2n.(2)證明：由于an2n，故bn.Tn<.13（xx山東，12分）在等差數(shù)列an中，a3a4a584，a973.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)對任意mN*，將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項的個數(shù)記為bm，求數(shù)列bm的前m項和Sm.解：(1)因為an是一個等差數(shù)列，所以a3a4a53a484，a428.設(shè)數(shù)列an的公差為d，則5da9a4732845，故d9.由a4a13d得28a13×9，即a11.所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)(2)對mN*，若9m<an<92m，則9m8<9n<92m8.因此9m11n92m1.故得bm92m19m1.于是Smb1b2b3bm(99392m1)(199m1).14（xx廣東，14分）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差數(shù)列(1)求a1的值；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)證明：對一切正整數(shù)n，有<.解：(1)當(dāng)n1時，2a1a241a23，當(dāng)n2時，2(a1a2)a381a37，又a1，a25，a3成等差數(shù)列，所以a1a32(a25)，由解得a11.(2)2Snan12n11，當(dāng)n2時，有2Sn1an2n1，兩式相減得an13an2n，則·1，即2(2)又23，知2是首項為3，公比為的等比數(shù)列，23()n1，即an3n2n，n1時也適合此式，an3n2n.(3)證明：由(2)得<，<11(1)<.