高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布 課時分層作業(yè)六十九 10.6 幾何概型 理

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布 課時分層作業(yè)六十九 10.6 幾何概型 理 一、選擇題(每小題5分,共35分) 1.在區(qū)間[0,2]上隨機取一個數(shù)x,使|x-1|>成立的概率是 (　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 【解析】選C. 由|x-1|>,得x>或x<,由圖可知,所求概率P==. 2.(xx·咸陽模擬)某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次,某乘客到乘車點的時刻是隨機的,則他候車時間不超過2分鐘的概率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】選C.試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為5,所求事件的區(qū)域長度為2,故所求概率P=. 3.在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)任取一點P,則點P到正方體各面的距離都不小于1的概率為 (　　) A. B. C. D. 【解析】選A.正方體中到各面的距離都不小于1的點的集合是一個中心與原正方體中心重合,且棱長為1的正方體,該正方體的體積是V1=13=1,而原正方體的體積為V=33=27,故所求的概率P==. 【變式備選】一只小蜜蜂在一個棱長為4的正方體內(nèi)自由飛行,若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1,稱其為“安全飛行”,則蜜蜂“安全飛行”的概率為________.  【解析】根據(jù)幾何概型知識,概率為體積之比,即P==. 答案: 4.(xx·青島模擬)如圖所示,四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個邊長為2的大正方形,若直角三角形中較小的銳角θ=.現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機地投擲一枚飛鏢,則飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】選C.由題意,知小正方形的邊長為-1,故所求概率P==. 【變式備選】已知等邊三角形的面積為,在其內(nèi)部任取一點,則該點落在三角形內(nèi)切圓內(nèi)的概率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】選D.如圖, 設(shè)等邊△ABC的邊長為a,則a2=,解得a=2. 在Rt△ODB中,BD=1,∠DBO=30°,所以r=BD·tan 30°=,S☉O=πr2=π.由幾何概型的概率公式得P==. 5.(xx·石家莊模擬)如圖,M是半徑為R的圓周上一個定點,在圓周上等可能地任取一點N,連接MN,則弦MN的長度超過R的概率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】選D.由題意知,當(dāng)MN=R時,∠MON=,所以所求概率為1-=. 【變式備選】如圖所示,A是圓上一定點, 在圓上其他位置任取一點A′,連接AA′,得到一條弦,則此弦的長度小于或等于半徑長度的概率為 (　　) A. B. C. D. 【解析】選C.當(dāng)AA′的長度等于半徑長度時,∠AOA′=,A′點在A點左右都可取得,故由幾何概型的概率計算公式得P==. 6.(xx·濟南模擬)已知點P,Q為圓O:x2+y2=25上的任意兩點,且|PQ|<6,若PQ中點組成的區(qū)域為M,在圓O內(nèi)任取一點,則該點落在區(qū)域M上的概率為(　　) A. B. C. D. 【解題指南】把|PQ|<6轉(zhuǎn)化為|MO|>4. 【解析】選B.由題意得|MO|=>=4,所以PQ中點組成的區(qū)域M如圖陰影部分所示,那么在圓O內(nèi)部任取一點落在M內(nèi)的概率為=. 7.(xx·太原模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c,其中0≤b≤4,0≤c≤4.記函數(shù)f(x)滿足條件為事件A,則事件A發(fā)生的概率為 (　　) A. B. C. D. 【解題指南】把問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求解. 【解析】選C.由題意, 得即 表示的區(qū)域如圖陰影部分所示,可知陰影部分的面積為8,所以所求概率為. 二、填空題(每小題5分,共15分) 8.在[0,1]內(nèi)任取一個數(shù)x,使函數(shù)y=有意義的概率是________.  【解析】由lo(4x-3)≥0得0<4x-3≤1,即x∈,由幾何概型的概率公式,得P==. 答案: 【變式備選】已知函數(shù)f(x)=2x,若在[1, 8]上任取一個實數(shù)x0,則不等式1≤f(x0)≤8成立的概率是________.  【解析】因為f(x)=2x,1≤f(x0)≤8,所以1≤≤8,且1≤x0≤8,解得1≤x0≤3,所以所求概率為=. 答案: 9.(xx·鄭州模擬)歐陽修《賣油翁》中寫道:(翁)乃取一葫蘆置于地,以錢覆其口,徐以杓酌油瀝之,自錢孔入,而錢不濕.可見“行行出狀元”,賣油翁的技藝讓人嘆為觀止,若銅錢是直徑為2 cm的圓,中間有邊長為0.5 cm的正方形孔,若你隨機向銅錢上滴一滴油,則油(油滴的大小忽略不計)正好落入孔中的概率為________.  【解析】由題意得,所求概率為=. 答案: 10.(xx·福州模擬)如圖所示,在邊長為1的正方形OABC中任取一點P,則點P恰好取自陰影部分的概率為________.  【解題指南】用定積分求陰影部分的面積. 【解析】題干圖中陰影部分的面積S=(-x)dx==,正方形OABC的面積為1.故所求概率P==. 答案: 1.(5分)(xx·廣州模擬)在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x,則sin x+cos x∈[1,]的概率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】選B.因為x∈,所以x+∈.由sin x+cos x= sin∈[1,],得≤sin≤1,所以x∈,故要求的概率為=. 2.(5分)(xx·大連模擬)在[-1,1]上隨機地取一個數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為______.  【解題指南】這是一個長度型幾何概型的概率問題.根據(jù)事件發(fā)生的條件可求出k所在的區(qū)間長度.進而容易求解. 【解析】若直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交,則有圓心到直線的距離d=<3, 即-<k<,所以所求概率P==. 答案: 3.(5分)如圖,在圓心角為直角的扇形OAB中,分別以O(shè)A,OB為直徑作兩個半圓.在扇形OAB內(nèi)隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率是________. 【解題指南】用分割法、間接法求陰影部分的面積. 【解析】如圖,設(shè)OA=2,S扇形AOB=π,S△OCD=×1×1=,S扇形OCD=,所以在以O(shè)A為直徑的半圓中,空白部分面積S1=-2=1,所有陰影部分面積為π-2.故所求概率P==1-. 答案:1- 【變式備選】如圖,在邊長為1的正方形中隨機撒1 000粒豆子,有180粒落到陰影部分,據(jù)此估計陰影部分的面積為________.  【解析】設(shè)陰影部分的面積為S,由幾何概型可知=,所以S=0.18. 答案:0.18 4.(12分)(xx·濟南模擬)已知向量a=(2,1),b=(x,y). (1)若x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量a∥b的概率. (2)若x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量a,b的夾角是鈍角的概率. 【解析】(1)設(shè)“a∥b”為事件A,由a∥b,得x=2y. 所有基本事件為(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1), (1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1),共12個基本事件.其中A={(0,0),(2,1)},包含2個基本事件. 則P(A)==,即向量a∥b的概率為. (2)設(shè)“a,b的夾角是鈍角”為事件B,由a,b的夾角是鈍角,可得a·b<0,即2x+y<0,且x≠2y. 基本事件為 所表示的區(qū)域, B=, 如圖,區(qū)域B為圖中陰影部分去掉直線x-2y=0上的點, 所以,P(B)==, 即向量a,b的夾角是鈍角的概率是. 5.(13分)已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1. (1)設(shè)集合P={1,2,3}和Q={-1,1,2,3,4},分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率. (2)設(shè)點(a,b)是區(qū)域內(nèi)的隨機點,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率. 【解析】(1)因為函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1的圖象的對稱軸為x=,要使f(x)=ax2-4bx+1在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)a>0且≤1,即2b≤a. 若a=1,則b=-1; 若a=2,則b=-1,1; 若a=3,則b=-1,1. 所以事件包含基本事件的個數(shù)是1+2+2=5, 因為事件“分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b”的個數(shù)是15. 所以所求事件的概率為=. (2)由(1)知當(dāng)且僅當(dāng)2b≤a且a>0時,函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),依條件可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為,構(gòu)成所求事件的區(qū)域為如圖所示的三角形BOC部分. 由得交點坐標C, 故所求事件的概率P===.