2022年高考數(shù)學一輪復(fù)習 第六章 數(shù)列 第2講 等差數(shù)列及其前n項和習題 理 新人教A版(I)

2022年高考數(shù)學一輪復(fù)習 第六章 數(shù)列 第2講 等差數(shù)列及其前n項和習題 理 新人教A版(I) 一、填空題 1.(xx·武漢調(diào)研)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a7＝－8，a2＝2，則數(shù)列{an}的公差d等于________. 解析　法一　由題意可得 解得a1＝5，d＝－3. 法二　a1＋a7＝2a4＝－8，∴a4＝－4， ∴a4－a2＝－4－2＝2d，∴d＝－3. 答案?。? 2.(xx·重慶卷)在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6＝________. 解析　由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0. 答案　0 3.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S2＝S6，a4＝1，則a5＝________. 解析　由題意知 解得∴a5＝a4＋d＝1＋(－2)＝－1. 答案?。? 4.設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37＝________. 解析　設(shè){an}，{bn}的公差分別為d1，d2，則(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2， ∴{an＋bn}為等差數(shù)列，又a1＋b1＝a2＋b2＝100， ∴{an＋bn}為常數(shù)列，∴a37＋b37＝100. 答案　100 5.(xx·沈陽質(zhì)量檢測)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，則n＝________. 解析　法一　由等差數(shù)列前n項和公式可得 Sn＋2－Sn＝(n＋2)a1＋d－＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋4n＋2＝36，∴n＝8. 法二　由Sn＋2－Sn＝an＋2＋an＋1＝a1＋a2n＋2＝36，因此a2n＋2＝a1＋(2n＋1)d＝35，解得n＝8. 答案　8 6.(xx·蘇北四市調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an－，且a1＝5，設(shè){an}的前n項和為Sn，則使得Sn取得最大值的序號n的值為________. 解析　由題意可知數(shù)列{an}是首項為5，公差為－的等差數(shù)列，所以an＝5－(n－1)＝，該數(shù)列前7項是正數(shù)項，第8項是0，從第9項開始是負數(shù)項，所以Sn取得最大值時，n＝7或8. 答案　7或8 7.(xx·陜西卷)中位數(shù)為1 010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2 015，則該數(shù)列的首項為________. 解析　設(shè)該數(shù)列的首項為a1，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1＋2 015＝2×1 010，從而a1＝5. 答案　5 8.正項數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，則a7＝________. 解析　由2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，可得數(shù)列{a}是等差數(shù)列，公差d＝a－a＝3，首項a＝1，所以a＝1＋3(n－1)＝3n－2，∴an＝，∴a7＝. 答案　 二、解答題 9.在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{an}的前k項和Sk＝－35，求k的值. 解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3. 解得d＝－2.從而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知an＝3－2n. 所以Sn＝＝2n－n2. 由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35. 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又k∈N*，故k＝7. 10.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1<0，S2 015＝0. (1)求Sn的最小值及此時n的值； (2)求n的取值集合，使其滿足an≥Sn. 解　(1)設(shè)公差為d，則由S2 015＝0? 2 015a1＋d＝0?a1＋1 007d＝0， d＝－a1， ∴Sn＝na1＋d＝na1－· ＝(2 015n－n2). ∵a1<0，n∈N*， ∴當n＝1 007或1 008時，Sn取最小值504a1. (2)an＝a1， Sn≤an?(2 015n－n2)≤a1. ∵a1<0，∴n2－2 017n＋2 016≤0， 即(n－1)(n－2 016)≤0， 解得1≤n≤2 016. 故所求n的取值集合為{n|1≤n≤2 016，n∈N*}. (建議用時：20分鐘) 11.(xx·東北三省四市聯(lián)考)《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一.書中有一道這樣的題目：把100個面包分給5個人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為________. 解析　依題意，設(shè)這100份面包所分成的五份由小到大依次為a－2m，a－m，a，a＋m，a＋2m，則有 解得a＝20，m＝，a－2m＝＝，即其中最小一份為. 答案　 12.(xx·南通二模)在等差數(shù)列{an}中，已知首項a1>0，公差d>0.若a1＋a2≤60，a2＋a3≤100，則5a1＋a5的最大值為________. 解析　由題設(shè) 則5a1＋a5＝6a1＋4d. 設(shè)6a1＋4d＝λ(2a1＋d)＋μ(2a1＋3d)＝2(λ＋μ)a1＋(λ＋3μ)d. 所以得 所以6a1＋4d≤60×＋100×＝200. 答案　200 13.設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，若對任意自然數(shù)n都有＝，則＋的值為________. 解析　∵{an}，{bn}為等差數(shù)列， ∴＋＝＋＝＝. ∵＝＝＝＝，∴＝. 答案　 14.(xx·江蘇卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn＝am，則稱{an}是“H數(shù)列”. (1)若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n(n∈N*)，證明：{an}是“H數(shù)列”； (2)設(shè){an}是等差數(shù)列，其首項a1＝1，公差d＜0，若{an}是“H數(shù)列”，求d的值； (3)證明：對任意的等差數(shù)列{an}，總存在兩個“H數(shù)列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立. (1)證明　首先a1＝S1＝2，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，所以an＝所以對任意的n∈N*，Sn＝2n是數(shù)列{an}中的n＋1項，因此數(shù)列{an}是“H數(shù)列”. (2)解　由題意an＝1＋(n－1)d，Sn＝n＋d，數(shù)列{an}是“H數(shù)列”，則存在k∈N*，使n＋d＝1＋(k－1)d，k＝＋＋1，由于∈N*，又k∈N*，則∈Z對一切正整數(shù)n都成立，所以d＝－1. (3)證明　首先，若dn＝bn(b是常數(shù))，則數(shù)列{dn}前n項和為Sn＝b是數(shù)列{dn}中的第項，因此{dn}是“H數(shù)列”，對任意的等差數(shù)列{an}，an＝a1＋(n－1)d(d是公差)，設(shè)bn＝na1，cn＝(d－a1)(n－1)，則an＝bn＋cn，而數(shù)列{bn}，{cn}都是“H數(shù)列”，證畢.