2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第七章 第2節(jié) 空間幾何體的表面積與體積 理（含解析）

2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第七章 第2節(jié) 空間幾何體的表面積與體積 理（含解析）1（xx陜西，5分）已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為()A. B4C2 D.解析：因?yàn)樵撜睦庵耐饨忧虻陌霃绞撬睦庵w對(duì)角線的一半，所以半徑r1，所以V球×13.故選D.答案：D2（xx山東，5分）三棱錐PABC中，D，E分別為PB，PC的中點(diǎn)，記三棱錐DABE的體積為V1，PABC的體積為V2，則_.解析：如圖，設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為h，三角形PAB的面積為S，則V2Sh，V1VEADB×S×hSh，所以.3（xx江蘇，5分）設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側(cè)面積相等，且，則的值是_解析：設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面半徑分別是r1，r2，母線長(zhǎng)分別是l1，l2.則由可得.又兩個(gè)圓柱的側(cè)面積相等，即2r1l12r2l2，則，所以×.答案：4（xx新課標(biāo)全國(guó)，5分）如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為()A. cm3B. cm3 C. cm3 D. cm3解析：本題考查正方體和球組成的組合體、球的體積的計(jì)算，意在考查考生的空間想象能力、轉(zhuǎn)化化歸能力以及運(yùn)用體積公式進(jìn)行計(jì)算的能力解題時(shí)，先根據(jù)已知條件分析出正方體的上底面到球心的距離為(R2) cm(其中R為球半徑)，再利用球半徑、球心距和截面圓半徑構(gòu)成的直角三角形求出球半徑，進(jìn)而計(jì)算出球的體積設(shè)球半徑為R cm，根據(jù)已知條件知正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4 cm，球心到截面的距離為(R2) cm，所以由42(R2)2R2，得R5，所以球的體積VR3×53 cm3，選擇A.答案：A5（xx遼寧，5分）已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，則球O的半徑為()A. B2C. D3解析：本題主要考查多面體、球等基本概念以及如何根據(jù)組合體中的位置關(guān)系進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算，意在考查考生的空間想象能力、運(yùn)算求解能力以及轉(zhuǎn)化思想如圖，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半徑ROA .答案：C6（xx新課標(biāo)全國(guó)，5分）已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC2，則此棱錐的體積為()A.B.C. D.解析：在直角三角形ASC中，AC1，SAC90°，SC2，所以SA；同理SB.過(guò)A點(diǎn)作SC的垂線交SC于D點(diǎn)，連接DB，因SACSBC，故BDSC，故SC平面ABD，且平面ABD為等腰三角形，因ASC30°，故ADSA，則ABD的面積為×1× ，則三棱錐的體積為××2.答案：A7.（xx江西，5分）如右圖，已知正四棱錐SABCD所有棱長(zhǎng)都為1，點(diǎn)E是側(cè)棱SC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分記SEx(0<x<1)，截面下面部分的體積為V(x)，則函數(shù)yV(x)的圖像大致為()解析：(1)當(dāng)0<x<時(shí)，過(guò)E點(diǎn)的截面為五邊形EFGHI(如圖1所示)，連接FI，SC與該截面垂直，SCEF，SCEI，EFEISEtan 60°x，SI2SE2x，IHFGBI12x，F(xiàn)IGHAH2x，五邊形EFGHI的面積SFG×GHFI× 2x3x2，V(x)VCEFGHI2VIBHC(2x3x2)×CE2×××1×(12x)×(12x)x3x2，其圖像不可能是一條線段，故排除C，D.(2)當(dāng)x<1時(shí)，過(guò)E點(diǎn)的截面為三角形，如圖2，設(shè)此三角形為EFG，則EGEFECtan 60°(1x)，CGCF2CE2(1x)，三棱錐EFGC底面FGC上的高h(yuǎn)ECsin 45°(1x)，V(x)×CG·CF·h(1x)3，V(x)(1x)2，又顯然V(x)(1x)2在區(qū)間(，1)上單調(diào)遞增，V(x)<0(x(，1)，函數(shù)V(x)(1x)3在區(qū)間(，1)上單調(diào)遞減，且遞減的速率越來(lái)越慢，故排除B，應(yīng)選A.答案：A8（2011遼寧，5分）已知球的直徑SC4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB，ASCBSC30°，則棱錐SABC的體積為()A3B2C. D1解析：由題可知AB一定在與直徑SC垂直的小圓面上，作過(guò)AB的小圓交直徑SC于D，設(shè)SDx，則DC4x，此時(shí)所求棱錐即分割成兩個(gè)棱錐SABD和CABD，在SAD和SBD中，由已知條件可得ADBDx，又因?yàn)镾C為直徑，所以SBCSAC90°，所以DCBDCA60°，在BDC中，BD(4x)，所以x(4x)，所以x3，ADBD，所以三角形ABD為正三角形，所以VSABD×4.答案：C9.（xx山東，4分）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E、F分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1EDF的體積為_(kāi)解析：因?yàn)镋點(diǎn)在線段AA1上，所以SDED1×1×1，又因?yàn)镕點(diǎn)在線段B1C上，所以點(diǎn)F到平面DED1的距離為1，即h1，所以VD1EDFVFDED1×SDED1×h××1.答案：