2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第八章 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 理（含解析）

2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第八章 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 理（含解析）1（xx江西，5分）在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2xy40相切，則圓C面積的最小值為()A. B. C(62) D. 解析：選A法一：設(shè)A(a,0)，B(0，b)，圓C的圓心坐標(biāo)為，2r，由題知圓心到直線2xy40的距離dr，即|2ab8|2r，2ab8±2r，由(2ab)25(a2b2)，得8±2r2rr，即圓C的面積S r2.法二：由題意可知以線段AB為直徑的圓C過原點(diǎn)O，要使圓C的面積最小，只需圓C的半徑或直徑最小又圓C與直線2xy40相切，所以由平面幾何知識(shí)，知圓的直徑的最小值為點(diǎn)O到直線2xy40的距離，此時(shí)2r，得r，圓C的面積的最小值為Sr2.答案：A2（xx新課標(biāo)全國(guó)卷，5分）設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，若在圓O：x2y21上存在點(diǎn)N，使得OMN45°，則x0的取值范圍是_解析：由題意可知M在直線y1上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線y1與圓x2y21相切于點(diǎn)P(0,1)當(dāng)x00即點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時(shí)，顯然圓上存在點(diǎn)N(±1，0)符合要求；當(dāng)x00時(shí)，過M作圓的切線，切點(diǎn)之一為點(diǎn)P，此時(shí)對(duì)于圓上任意一點(diǎn)N，都有OMNOMP，故要存在OMN45°，只需OMP45°.特別地，當(dāng)OMP45°時(shí)，有x0±1.結(jié)合圖形可知，符合條件的x0的取值范圍為1,1答案：1,13（xx江蘇，5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x2y30被圓(x2)2(y1)24截得的弦長(zhǎng)為_解析：因?yàn)閳A心(2，1)到直線x2y30的距離d，所以直線x2y30被圓截得的弦長(zhǎng)為2.答案：3（xx重慶，5分）已知直線axy20與圓心為C的圓(x1)2(ya)24相交于A，B兩點(diǎn)，且ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)a_.解析：依題意，圓C的半徑是2，圓心C(1，a)到直線axy20的距離等于×2，于是有，即a28a10，解得a4±.答案：4±4（xx湖北，5分）直線l1：yxa和l2：yxb將單位圓C：x2y21分成長(zhǎng)度相等的四段弧，則a2b2_.解析：由題意得，直線l1截圓所得的劣弧長(zhǎng)為，則圓心到直線l1的距離為，即a21，同理可得b21，則a2b22.答案：25（xx江蘇，16分）如圖，為保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60 m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170 m處(OC為河岸)，tanBCO.(1)求新橋BC的長(zhǎng)；(2)當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？解：法一：(1)如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.由條件知A(0,60)，C(170,0)，直線BC的斜率kBCtanBCO.又因?yàn)锳BBC，所以直線AB的斜率kAB.設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a，b)，則kBC，kAB.解得a80，b120.所以BC150.因此新橋BC的長(zhǎng)是150 m.(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為r m，OMd m(0d60)由條件知，直線BC的方程為y(x170)，即4x3y6800.由于圓M與直線BC相切，故點(diǎn)M(0，d)到直線BC的距離是r，即r.因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m，所以即解得10d35.故當(dāng)d10時(shí)，r最大，即圓面積最大所以當(dāng)OM10 m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大法二：(1)如圖，延長(zhǎng)OA，CB交于點(diǎn)F.因?yàn)閠anFCO，所以sinFCO，cosFCO.因?yàn)镺A60，OC170，所以O(shè)FOCtanFCO，CF.從而AFOFOA.因?yàn)镺AOC，所以cosAFBsinFCO.又因?yàn)锳BBC，所以BFAFcosAFB，從而BCCFBF150.因此新橋BC的長(zhǎng)是150 m.(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M與BC的切點(diǎn)為D，連接MD，則MDBC，且MD是圓M的半徑，并設(shè)MDr m，OMd m(0d60)因?yàn)镺AOC，所以sinCFOcosFCO.故由(1)知sinCFO，所以r.因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m，所以即解得10d35.故當(dāng)d10時(shí)，r最大，即圓面積最大所以當(dāng)OM10 m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大6（xx江西，5分）過點(diǎn)(，0)引直線l與曲線y相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于()A.BC± D解析：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及運(yùn)算能力由y 得x2y21(y0)，即該曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的半圓，如圖所示故SAOB|OA|·|OB|·sin AOBsin AOB.所以當(dāng)sin AOB1，即OAOB時(shí)，SAOB取得最大值，此時(shí)點(diǎn)O到直線l的距離d|OA|·sin 45°.設(shè)此時(shí)直線l的斜率為k，則方程為yk(x)，即kxyk0，則有，解得k±，由圖可知直線l的傾斜角為鈍角，故取k.答案：B7（xx山東，4分）過點(diǎn)(3,1)作圓(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的長(zhǎng)為_解析：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力最短弦為過點(diǎn)(3,1)，且垂直于點(diǎn)(3,1)與圓心的連線的弦，易知弦心矩d，所以最短弦長(zhǎng)為222.答案：28（xx重慶，5分）已知圓C1：(x2)2(y3)21，圓C2：(x3)2(y4)29，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|PN|的最小值為()A54B.1C62 D.解析：本題考查與圓有關(guān)的最值問題，意在考查考生數(shù)形結(jié)合的能力兩圓的圓心均在第一象限，先求|PC1|PC2|的最小值，作點(diǎn)C1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C(2，3)，則(|PC1|PC2|)min|CC2|5，所以(|PM|PN|)min5(13)54.答案：A9（xx江蘇，14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y2x4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上(1)若圓心C也在直線yx1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使MA2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍解：本題考查直線與圓的方程，兩直線交點(diǎn)和直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生用待定系數(shù)法處理問題的能力和用代數(shù)法處理幾何性質(zhì)的能力(1)由題設(shè)，圓心C是直線y2x4和yx1的交點(diǎn)，解得點(diǎn)C(3,2)，于是切線的斜率必存在設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為ykx3，由題意，1，解得k0或，故所求切線方程為y3或3x4y120.(2)因?yàn)閳A心在直線y2x4上，所以圓C的方程為(xa)2y2(a2)21.設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A2MO，所以2，化簡(jiǎn)得x2y22y30，即x2(y1)24，所以點(diǎn)M在以D(0，1)為圓心，2為半徑的圓上由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則|21|CD21，即13.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為0，.10（xx天津，5分）設(shè)m，nR，若直線(m1)x(n1)y20與圓(x1)2(y1)21相切，則mn的取值范圍是()A1，1 B(，1 1，)C22，22 D(，22 22，)解析：由題意可得1，化簡(jiǎn)得mnmn1，解得mn22或mn22.答案：D11（xx陜西，5分）已知圓C：x2y24x0，l是過點(diǎn)P(3,0)的直線，則()Al與C相交 Bl與C相切Cl與C相離 D以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能解析：把點(diǎn)(3,0)代入圓的方程的左側(cè)得3204×33<0，故點(diǎn)(3,0)在圓的內(nèi)部，所以過點(diǎn)(3,0)的直線l與圓C相交答案：A12（2011江西，5分）若曲線C1：x2y22x0與曲線C2：y(ymxm)0有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(，) B(，0)(0，)C， D(，)(，)解析：整理曲線C1方程得，(x1)2y21，知曲線C1為以點(diǎn)C1(1,0)為圓心，以1為半徑的圓；曲線C2則表示兩條直線，即x軸與直線l：ym(x1)，顯然x軸與圓C1有兩個(gè)交點(diǎn)，知直線l與x軸相交，故有圓心C1到直線l的距離d<r1，解得m(，)，又當(dāng)m0時(shí)，直線l與x軸重合，此時(shí)只有兩個(gè)交點(diǎn)，應(yīng)舍去答案：B13（xx江蘇，5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2y28x150，若直線ykx2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是_解析：設(shè)圓心C(4,0)到直線ykx2的距離為d，則d，由題意知問題轉(zhuǎn)化為d2，即d2，得0k，所以kmax.答案：