2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第32講 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題練習(xí) 新人教A版

2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第32講 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題練習(xí) 新人教A版考情展望1.考查二元一次不等式組表示的區(qū)域面積和目標(biāo)函數(shù)最值(或取值范圍).2.考查約束條件、目標(biāo)函數(shù)中的參變量的取值范圍.3.利用線性規(guī)劃方法設(shè)計解決實際問題的最優(yōu)方案一、二元一次不等式表示的平面區(qū)域及其判斷方法1二元一次不等式表示的平面區(qū)域在平面直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)所有的點被直線AxByC0分成三類：(1)滿足AxByC0的點；(2)滿足AxByC>0的點；(3)滿足AxByC<0的點2二元一次不等式表示平面區(qū)域的判斷方法直線l：AxByC0把坐標(biāo)平面內(nèi)不在直線l上的點分為兩部分，當(dāng)點在直線l的同一側(cè)時，點的坐標(biāo)使式子AxByC的值具有相同的符號，當(dāng)點在直線l的兩側(cè)時，點的坐標(biāo)使AxByC的值具有相反的符號二、線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題二元一次函數(shù)zaxby(ab0)的最值同直線zaxby0在y軸上截距的關(guān)系求二元一次函數(shù)zaxby(ab0)的最值，利用其幾何意義，通過求yx的截距的最值間接求出z的最值(1)當(dāng)b0時，截距取最大值時，z也取最大值；截距取最小值時，z也取最小值(2)當(dāng)b0時，結(jié)論與b0的情形恰好相反1不等式組表示的平面區(qū)域是()【解析】x3y60表示直線x3y60及左下方部分，xy2<0表示直線xy20右上方部分故不等式組表示的平面區(qū)域為選項B所示部分【答案】B2已知變量x，y滿足約束條件則z3xy的最大值為()A12B11C3D1【解析】可行域如圖中陰影部分所示先畫出直線l0：y3x，平移直線l0，當(dāng)直線過A點時z3xy的值最大，由得A點坐標(biāo)為(3,2)z最大3×3211.【答案】B3某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費工時總和不得超過480小時，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計劃為()A甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱B甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱C甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱D甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱【解析】設(shè)甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱，則，甲、乙兩車間每天能夠獲得的利潤為280x200y，畫出可行域，由線性規(guī)劃可知當(dāng)直線z280x200y經(jīng)過xy70與10x6y480的交點(15,55)時，z280x200y取到最大值，因此，甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱時，每天能夠獲得的利潤最大【答案】B4在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是_【解析】不等式組表示的區(qū)域如圖中的陰影部分所示，由得A(1，1)，由得B(1，3)，由得C(2，2)，|AB|2，SABC×2×11.【答案】15(xx·福建高考)若變量x，y滿足約束條件則z2xy的最大值和最小值分別為()A4和3B4和2C3和2 D2和0【解析】作出可行域如圖陰影部分作直線2xy0，并向右上平移，過點A時z取最小值，過點B時z取最大值，可求得A(1,0)，B(2,0)，zmin2，zmax4.【答案】B6(xx·山東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則直線OM斜率的最小值為()A2 B1C D【解析】如圖所示，所表示的平面區(qū)域為圖中的陰影部分由得A(3，1)當(dāng)M點與A重合時，OM的斜率最小，kOM.【答案】C考向一 109二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域(1)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為()A4B1C5D6(2)若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線ykx分為面積相等的兩部分，則k的值是()A. B. C. D.【思路點撥】(1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，確定平面區(qū)域的形狀，從而求出面積(2)畫出平面區(qū)域，顯然點在已知的平面區(qū)域內(nèi)，直線系過定點，結(jié)合圖形尋找直線平分平面區(qū)域面積的條件即可【嘗試解答】(1)不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，ABC的面積即為所求，求出點A，B，C的坐標(biāo)分別為A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，則ABC的面積為S×(21)×21.(2)不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示由于直線ykx過定點.因此只有直線過AB中點時，直線ykx能平分平面區(qū)域因為A(1,1)，B(0,4)，所以AB中點D.當(dāng)ykx過點時，所以k.【答案】(1)B(2)A規(guī)律方法11.解答本例(2)的關(guān)鍵是根據(jù)直線ykx過定點，利用面積相等確定直線所經(jīng)過的邊界上的點.2.二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判定方法：(1)同號上，異號下.當(dāng)B(AxByC)>0時，區(qū)域為直線AxByC0的上方，當(dāng)B(AxByC)<0時，區(qū)域為直線AxByC0的下方.(2)直線定界、特殊點定域.應(yīng)注意是否包括邊界，若不包括邊界，則應(yīng)將邊界畫成虛線；若直線不過原點，特殊點常選取原點.對點訓(xùn)練已知關(guān)于x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為4，則k的值為()A1B3C1或3D0【解析】其中平面區(qū)域kxy20是含有坐標(biāo)原點的半平面，直線kxy20又過定點(0,2)，這樣就可以根據(jù)平面區(qū)域的面積為4，確定一個封閉的區(qū)域，作出平面區(qū)域即可求解平面區(qū)域如圖所示，根據(jù)平面區(qū)域面積為4，得A(2,4)，代入直線方程，得k1.【答案】A考向二 110求目標(biāo)函數(shù)的最值(xx·課標(biāo)全國卷改編)設(shè)x，y滿足約束條件(1)求z2xy的最大值(2)若z，求z的取值范圍【思路點撥】明確目標(biāo)函數(shù)z的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找最優(yōu)解，代入求值【嘗試解答】(1)作出可行域，進一步探索最大值作出可行域如圖陰影部分作直線2xy0，并向右平移，當(dāng)平移至直線過點B時，z2xy取最大值而由得B(3,3)zmax2×333.(2)z表示可行域內(nèi)的點到原點的距離，觀察可行域知，可行域內(nèi)的點A和點C到原點的距離分別為最大和最小又由得A(1,1)由得C(3,4)故|OA|，|OC|5.z的取值范圍為，5 規(guī)律方法21.本例求解的關(guān)鍵在于：(1)準(zhǔn)確作出可行域；(2)明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義.2.(1)線性目標(biāo)函數(shù)zaxby的幾何意義與直線axbyz0在y軸上的截距有關(guān)，當(dāng)b0時，直線axbyz0在y軸上的截距越大，z值越大；當(dāng)b0時，情況相反.(2)常見的非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義：表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率；表示點(x，y)與點(a，b)的距離.對點訓(xùn)練設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z3xy的取值范圍是_【解析】作不等式組表示的可行域，如圖所示，作直線l0：3xy0，并上下平移當(dāng)直線過點A、B時，z分別取得最大值、最小值由得A(2,0)由得點B，zmax3×206，zmin3×3.故z的取值范圍是.【答案】考向三 111線性規(guī)劃的實際應(yīng)用某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動力、煤和電耗如下表：產(chǎn)品品種勞動力(個)煤(噸)電(千瓦)A產(chǎn)品394B產(chǎn)品1045已知生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品的利潤是7萬元，生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品的利潤是12萬元，現(xiàn)因條件限制，該企業(yè)僅有勞動力300個，煤360噸，并且供電局只能供電200千瓦，試問該企業(yè)如何安排生產(chǎn)，才能獲得最大利潤？【思路點撥】題目的設(shè)問是“該企業(yè)如何安排生產(chǎn)，才能獲得最大利潤”，這個利潤是由兩種產(chǎn)品的利潤所決定的，因此A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量決定著該企業(yè)的總利潤，故可以設(shè)出A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量，列不等式組和建立目標(biāo)函數(shù)【嘗試解答】設(shè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品分別為x噸，y噸，利潤為z萬元，依題意，得目標(biāo)函數(shù)為z7x12y.作出可行域，如圖陰影所示當(dāng)直線7x12y0向右上方平行移動時，經(jīng)過M時z取最大值解方程組得因此，點M的坐標(biāo)為(20,24)該企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品分別為20噸和24噸時，才能獲得最大利潤規(guī)律方法31.求解本例的關(guān)鍵是找出線性約束條件，寫出所研究的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為簡單的線性規(guī)劃問題.為尋找各量之間的關(guān)系，最好是列出表格.2.解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟是：(1)分析題意，設(shè)出未知量；(2)列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)；(3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解；(4)作答.對點訓(xùn)練某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤(總利潤總銷售收入總種植成本)最大，求黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別是多少畝？【解】 設(shè)種植黃瓜x畝，韭菜y畝，由題意得即設(shè)總利潤為z，則zx0.9y.作可行域如圖所示，由得A(30,20)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線l向右平移，移至點A(30,20)處時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即當(dāng)黃瓜種植30畝，韭菜種植20畝時，種植總利潤最大黃瓜和韭菜分別種植30畝、20畝時，一年種植的總利潤最大思想方法之十五數(shù)形結(jié)合破解線性規(guī)劃中參變量問題線性規(guī)劃問題是在約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值問題，從圖形上找思路恰好體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用含參變量的線性規(guī)劃問題，其參變量的設(shè)置形式通常有以下兩種：(1)條件中的參變量：條件不等式組中含有參變量，由于不能明確可行域的形狀，因此增加了解題時畫圖分析的難度求解這類問題時要有全局觀念，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)逆向分析題意，整體把握解題的方向(2)目標(biāo)函數(shù)中的參變量：目標(biāo)函數(shù)中設(shè)置參變量，旨在增加探索問題的動態(tài)性和開放性從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手，對圖形的動態(tài)進行分析，對變化過程中的相關(guān)量準(zhǔn)確定位，這是求解這類問題的主要思維方法1個示范例1個對點練(xx·課標(biāo)全國卷)已知a0，x，y滿足約束條件若z2xy的最小值為1，則a()A.B.C1D2【解析】作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分)易知直線z2xy過交點A時，z取最小值，由得zmin22a1，解得a，故選B.(xx·大綱全國卷)記不等式組所表示的平面區(qū)域為D，若直線ya(x1)與D有公共點，則a的取值范圍是_【解析】直線ya(x1)恒過定點P(1,0)且斜率為a，作出可行域后數(shù)形結(jié)合可解不等式組所表示的平面區(qū)域D為如圖所示陰影部分(含邊界)，且A(1,1)，B(0,4)，C.直線ya(x1)恒過定點P(1,0)且斜率為a.由斜率公式可知kAP，kBP4.若直線ya(x1)與區(qū)域D有公共點，數(shù)形結(jié)合可得a4.【答案】