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2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第2節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)案 理 北師大版

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2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第2節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)案 理 北師大版

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性最新考綱1.了解函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不會超過三次)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件結(jié)論函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)f(x)0f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增f(x)0f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減f(x)0f(x)在(a,b)內(nèi)是常數(shù)函數(shù)1在某區(qū)間內(nèi)f(x)0(f(x)0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件2可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對任意x(a,b),都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a,b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零一、思考辨析(正確的打“”,錯誤的打“×”)(1)若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,那么一定有f(x)0.()(2)如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0,則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性()(3)在(a,b)內(nèi)f(x)0且f(x)0的根有有限個,則f(x)在(a,b)內(nèi)是減函數(shù)()答案(1)×(2)(3)二、教材改編1如圖是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖像,則下面判斷正確的是()A在區(qū)間(3,1)上f(x)是增函數(shù)B在區(qū)間(1,3)上f(x)是減函數(shù)C在區(qū)間(4,5)上f(x)是增函數(shù)D在區(qū)間(3,5)上f(x)是增函數(shù)C由圖像可知,當(dāng)x(4,5)時,f(x)0,故f(x)在(4,5)上是增函數(shù)2函數(shù)f(x)cos xx在(0,)上的單調(diào)性是()A先增后減B先減后增C增函數(shù) D減函數(shù)D因為f(x)sin x10在(0,)上恒成立,所以f(x)在(0,)上是減函數(shù),故選D.3函數(shù)f(x)xln x的單調(diào)遞減區(qū)間為_(0,1函數(shù)f(x)的定義域為x|x0,由f(x)10,得0x1,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,14已知f(x)x3ax在1,)上是增函數(shù),則實數(shù)a的最大值是_3f(x)3x2a0,即a3x2,又因為x1, ),所以a3,即a的最大值是3.考點1不含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域(2)求f(x)(3)在定義域內(nèi)解不等式f(x)0,得單調(diào)遞增區(qū)間(4)在定義域內(nèi)解不等式f(x)0,得單調(diào)遞減區(qū)間1.函數(shù)f(x)1xsin x在(0,2)上是()A單調(diào)遞增B單調(diào)遞減C在(0,)上增,在(,2)上減D在(0,)上減,在(,2)上增Af(x)1cos x0在(0,2)上恒成立,所以在(0,2)上單調(diào)遞增2函數(shù)yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為()A(1,1B(0,1C1,) D(0,)Byx2ln x,x(0,),yx.由y0可解得0x1,yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1,故選B.3已知定義在區(qū)間(,)上的函數(shù)f(x)xsin xcos x,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是_和f(x)sin xxcos xsin xxcos x,令f(x)xcos x0,則其在區(qū)間(,)上的解集為和,即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,一定要樹立函數(shù)的定義域優(yōu)先的原則,否則極易出錯如T2.考點2含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時,需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論(1)討論分以下四個方面二次項系數(shù)討論;根的有無討論;根的大小討論;根在不在定義域內(nèi)討論(2)討論時要根據(jù)上面四種情況,找準參數(shù)討論的分類(3)討論完畢須寫綜述已知函數(shù)f(x)x22aln x(a2)x,當(dāng)a0時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性解函數(shù)的定義域為(0,),f(x)xa2.當(dāng)a2,即a2時,f(x)0,f(x)在(0,)上單調(diào)遞增當(dāng)0a2,即2a0時,0xa或x2時,f(x)0;ax2時,f(x)0,f(x)在(0,a),(2,)上單調(diào)遞增,在(a,2)上單調(diào)遞減當(dāng)a2,即a2時,0x2或xa時,f(x)0;2xa時,f(x)0,f(x)在(0,2),(a,)上單調(diào)遞增,在(2,a)上單調(diào)遞減綜上所述,當(dāng)2a0時,f(x)在(0,a),(2,)上單調(diào)遞增,在(a,2)上單調(diào)遞減;當(dāng)a2時,f(x)在(0,)上單調(diào)遞增;當(dāng)a2時,f(x)在(0,2),(a,)上單調(diào)遞增,在(2,a)上單調(diào)遞減含參數(shù)的問題,應(yīng)就參數(shù)范圍討論導(dǎo)數(shù)大于(或小于)零的不等式的解,在劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,要在函數(shù)定義域內(nèi)確定導(dǎo)數(shù)為零的點和函數(shù)的間斷點已知函數(shù)f(x)ln(ex1)ax(a0),討論函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間解f(x)a1a.當(dāng)a1時,f(x)0恒成立,當(dāng)a1,)時,函數(shù)yf(x)在R上單調(diào)遞減當(dāng)0a1時,由f(x)0,得(1a)(ex1)1,即ex1,解得xln ,由f(x)0,得(1a)(ex1)1,即ex1,解得xln .當(dāng)a(0,1)時,函數(shù)yf(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減綜上,當(dāng)a1,)時,f(x)在R上單調(diào)遞減;當(dāng)a(0,1)時,f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減考點3已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般方法(1)利用集合間的包含關(guān)系處理:yf(x)在(a,b)上單調(diào),則區(qū)間(a,b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x(a,b)都有f(x)0且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上,f(x)不恒為零,應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略,否則漏解(3)函數(shù)在某個區(qū)間存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題已知函數(shù)f(x)ln x,g(x)ax22x(a0)(1)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;(2)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1,4上單調(diào)遞減,求a的取值范圍解(1)h(x)ln xax22x,x(0,),所以h(x)ax2,由于h(x)在(0,)上存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以當(dāng)x(0,)時,ax20有解,即a有解設(shè)G(x),所以只要aG(x)min即可而G(x)21,所以G(x)min1.所以a1且a0,即a的取值范圍是(1,0)(0,)(2)由h(x)在1,4上單調(diào)遞減得,當(dāng)x1,4時,h(x)ax20恒成立,即a恒成立所以aG(x)max,而G(x)21,因為x1,4,所以,所以G(x)max(此時x4),所以a且a0,即a的取值范圍是(0,)母題探究1(變問法)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1,4上單調(diào)遞增,求a的取值范圍解由h(x)在1,4上單調(diào)遞增得,當(dāng)x1,4時,h(x)0恒成立,所以當(dāng)x1,4時,a恒成立,又當(dāng)x1,4時,min1(此時x1),所以a1且a0,即a的取值范圍是(,12(變問法)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1,4上存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍解h(x)在1,4上存在單調(diào)遞減區(qū)間,則h(x)0在1,4上有解,所以當(dāng)x1,4時,a有解,又當(dāng)x1,4時,min1,所以a1且a0,即a的取值范圍是(1,0)(0,)3(變條件)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1,4上不單調(diào),求a的取值范圍解因為h(x)在1,4上不單調(diào),所以h(x)0在(1,4)上有解,即a有解,令m(x),x(1,4),則1m(x),所以實數(shù)a的取值范圍為.(1)f(x)在D上單調(diào)遞增(減),只要滿足f(x)0(0)在D上恒成立即可如果能夠分離參數(shù),則可分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為參數(shù)值與函數(shù)最值之間的關(guān)系(2)二次函數(shù)在區(qū)間D上大于零恒成立,討論的標準是二次函數(shù)的圖像的對稱軸與區(qū)間D的相對位置,一般分對稱軸在區(qū)間左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)進行討論已知函數(shù)f(x)2x2ln x在區(qū)間1,2上為單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍解f(x)4x,若函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為單調(diào)函數(shù),即在1,2上,f(x)4x0或f(x)4x0,即4x0或4x0在1,2上恒成立,即4x或4x.令h(x)4x,因為函數(shù)h(x)在1,2上單調(diào)遞增,所以h(2)或h(1),即或3,解得a0或0a或a1.考點4利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式,常常要構(gòu)造新函數(shù),把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的問題,再由單調(diào)性比較大小或解不等式常見構(gòu)造的輔助函數(shù)形式有:(1)f(x)g(x)F(x)f(x)g(x);(2)xf(x)f(x)xf(x);(3)xf(x)f(x);(4)f(x)f(x)exf(x);(5)f(x)f(x).(1)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),若對任意x0都有2f(x)xf(x)0成立,則()A4f(2)9f(3) B4f(2)9f(3)C2f(3)3f(2) D3f(3)2f(2)(2)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(2)0,當(dāng)x0時,有0恒成立,則不等式x2f(x)0的解集是_(1)A(2)(,2)(0,2)(1)根據(jù)題意,令g(x)x2f(x),其導(dǎo)數(shù)g(x)2xf(x)x2f(x),又對任意x0都有2f(x)xf(x)0成立,則當(dāng)x0時,有g(shù)(x)x(2f(x)xf(x)0恒成立,即函數(shù)g(x)在(0,)上為增函數(shù),又由函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),則f(x)f(x),則有g(shù)(x)(x)2f(x)x2f(x)g(x),即函數(shù)g(x)也為偶函數(shù),則有g(shù)(2)g(2),且g(2)g(3),則有g(shù)(2)g(3),即有4f(2)9f(3)故選A.(2)令(x),當(dāng)x0時,0,(x)在(0,)上為減函數(shù),又(2)0,在(0,)上,當(dāng)且僅當(dāng)0x2時,(x)0,此時x2f(x)0.又f(x)為奇函數(shù),h(x)x2f(x)也為奇函數(shù)故x2f(x)0的解集為(,2)(0,2)如本例(1)已知條件“2f(x)xf(x)0”,需構(gòu)造函數(shù)g(x)x2f(x),求導(dǎo)后得x0時,g(x)0,即函數(shù)g(x)在(0,)上為增函數(shù),從而問題得以解決而本例(2)則需構(gòu)造函數(shù)(x)解決1.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)f(x)恒成立,若x1x2,則ex1f(x2)與ex2f(x1)的大小關(guān)系為()Ae x1f(x2)e x2f(x1)Be x1f(x2)e x2f(x1)Ce x1f(x2)e x2f(x1)De x1f(x2)與e x2f(x1)的大小關(guān)系不確定A設(shè)g(x),則g(x),由題意得g(x)0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增,當(dāng)x1x2時,g(x1)g(x2),即,所以e x1f(x2)e x2f(x1)2已知函數(shù)f(x)(xR)滿足f(1)1,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x),則不等式f(x2)的解集為_(,1)(1,)由題意構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)x,則F(x)f(x).因為f(x),所以F(x)f(x)0,即函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞減因為f(x2),f(1)1,所以f(x2)f(1),所以F(x2)F(1),又函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞減,所以x21,即x(,1)(1,)8

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本文(2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第2節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)案 理 北師大版)為本站會員(彩***)主動上傳,裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。 若此文所含內(nèi)容侵犯了您的版權(quán)或隱私,請立即通知裝配圖網(wǎng)(點擊聯(lián)系客服),我們立即給予刪除!

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