高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明基本知能檢測(cè) 新人教B版選修1-2

高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明基本知能檢測(cè) 新人教B版選修1-2一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1(xxxx學(xué)年度河北玉田縣高二期中測(cè)試)推理：因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)邊平行且相等，而矩形是特殊的平行四邊形，所以矩形的對(duì)邊平行且相等，以上推理的方法是()A歸納推理B類比推理C演繹推理D合情推理答案C解析演繹推理是由一般到特殊的推理，當(dāng)前提為真時(shí)，結(jié)論必然為真，上述推理是演繹推理2求證：>.證明：因?yàn)楹投际钦龜?shù)，所以為了證明>，只需證明()2>()2，展開得52>5，即2>0，顯然成立，所以不等式>.上述證明過程應(yīng)用了()A綜合法B分析法C綜合法、分析法配合使用D間接證法答案B解析根據(jù)證明過程可以看出符合執(zhí)果索因的證法，故為分析法3給出下列三個(gè)類比結(jié)論：(ab)nanbn與(ab)n類比，則有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay與sin()類比，則有sin()sinsin；(ab)2a22abb2與(ab)2類比，則有(ab)2a22a·bb2.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A0B1C2D3答案B解析只有正確，故選B.4觀察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(x)()Af(x)Bf(x)Cg(x)Dg(x)答案D解析由例子可看出偶函數(shù)求導(dǎo)后都變成了奇函數(shù)，所以g(x)g(x)5設(shè)a>0，b>0，若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則的最小值為()A8B4C1D.答案B解析(3)23a·3b 3ab，ab1()(ab)2224當(dāng)且僅當(dāng)即ab時(shí)等號(hào)成立，故選B.6a、b、c、d均為正實(shí)數(shù)，設(shè)S，則下列判斷中正確的是()A0<S<1B1<S<2C2<S<3D3<S<4答案B解析令abcd1知S，因1<<2，故選B.7命題“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是鈍角”的結(jié)論的否定是()A有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角B有三個(gè)內(nèi)角是鈍角C至少有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角D沒有一個(gè)內(nèi)角是鈍角答案C解析邏輯中“最多有n個(gè)”的反面是“至少有(n1)個(gè)”，故選C.8下列四個(gè)圖形中，著色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為()Aan3n1Ban3nCan3n2nDan3n12n3答案A解析由a11，a23，a39，a427，故猜an3n1.9在十進(jìn)制中，2 0044×1000×1010×1022×103，那么在5進(jìn)制(逢5進(jìn)1)中數(shù)碼2 004折合成十進(jìn)制為()A29B254C602D2 004答案B解析2 0044×500×510×522×53254.10已知c>1，a，b，則正確的結(jié)論是()Aa>bBa<bCabDa、b大小不定答案B解析如果a>b，則>.>2，c1c12>4c；即>c矛盾，選B.11觀察下列等式：11，131，123, 13239，1236, 13233336，123410, 13233343100，1234515, 1323334353225. 可以推測(cè)：132333n3可表示為()A.n(n1)B.n2(n1)2C.n2(n1)2D.n2(n1)2答案D解析由112,932,3662,100102，知132333n3(123n)22，故選D.12如果函數(shù)f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，存在常數(shù)M，使得不等式|f(x)|M(x)恒成立，那么就稱函數(shù)f(x)為有界泛函數(shù)，下面四個(gè)函數(shù)：f(x)1；f(x)x2；f(x)(sinxcosx)x；f(x).其中屬于有界泛函數(shù)的是()ABCD答案D解析sinxcosxsin(x)，存在常數(shù)M成立|sinxcosx|M，|x(sinxcosx)|M(x)，即|f(x)|M(x)成立，是有界泛函數(shù)；x2x1(x)2，|，存在常數(shù)M，使M(x)，即|f(x)|M(x)成立，是有界泛函數(shù)，因此選D.二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在題中橫線上)13平面上，周長(zhǎng)一定的所有矩形中，正方形的面積最大；周長(zhǎng)一定的所有矩形與圓中，圓的面積最大將這些結(jié)論類比到空間，可以得到的結(jié)論是_答案表面積一定的空間體中，球的體積最大解析平面中的“周長(zhǎng)”類比成空間中的“面積”，“平面圖形”類比成“空間體”，“面積”類比成“體積”，“圓”類比成“球”14已知f(x)是奇函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的值等于_答案1解析因?yàn)閒(x)(xR)是奇函數(shù)，則f(x)f(x)0，所以a1.15已知數(shù)列an，a1，an1，則a2、a3、a4、a5分別為_，猜想an_.答案，解析每一項(xiàng)的分子相同，分母是從7開始的自然數(shù)16已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足：a7a62a5，若存在兩項(xiàng)am、an使得4a1，則的最小值為_答案解析an為等比數(shù)列，an>0，a7a62a5，a1q6a1q52a1q4，q2q20，q1或2.an>0，q2.4a1，a1qm1·a1qn116a，qmn216，即2mn224，mn6，(mn)()·(5)，等號(hào)在，即m2，n4時(shí)成立三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本題滿分12分)已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù)求證：a是偶數(shù)證明假設(shè)a不是偶數(shù)，即a是奇數(shù)，則設(shè)a2n1(nZ)a24n24n1.4(n2n)是偶數(shù)，4n24n1是奇數(shù)，這與已知a2是偶數(shù)矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，從而a一定是偶數(shù)18(本題滿分12分)觀察下列數(shù)表：1，2,3，4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，(1)此表第n行的最后一個(gè)數(shù)是多少？(2)此表第n行的各個(gè)數(shù)之和是多少？(3)2 008是第幾行的第幾個(gè)數(shù)？解析(1)由表知，從第二行起每行的第一個(gè)數(shù)為偶數(shù)，所以第n1行的第一個(gè)數(shù)為2n，第n行的最后一個(gè)數(shù)為2n1.(2)由(1)知第n1行的最后一個(gè)數(shù)為2n11，第n行的第一個(gè)數(shù)為2n1，第n行的最后一個(gè)數(shù)為2n1.又觀察知，每行數(shù)字的個(gè)數(shù)與這一行的第一個(gè)數(shù)相同，所以由等差數(shù)列求和公式得Sn22n322n22n2.(3)因?yàn)?101 024,2112 048，又第11行最后一個(gè)數(shù)為21112 047，所以2 008是在第11行中，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得2 0081 024(n1)·1，所以n985，所以2 008是第11行的第985個(gè)數(shù)19(本題滿分12分)已知a、b是不相等的正數(shù)，且a3b3a2b2，求證1<ab<.證明a3b3a2b2，ab，a2abb2ab.又(ab)2a22abb2>a2abb2ab，即(ab)2>ab，且a>0，b>0，ab>1.要證ab<，只需證3(ab)<4，即證3(ab)2<4(ab)，也就是要證3(ab)2<4(a2abb2)，即需證(ab)2>0.而(ab)2>0顯然成立，1<ab<.20(本題滿分12分)先解答(1)，再通過結(jié)構(gòu)類比解答(2)(1)求證：tan(x)；(2)設(shè)xR且f(x1)，試問：f(x)是周期函數(shù)嗎？證明你的結(jié)論解析(1)tan(x).(2)f(x)是以4為其一個(gè)周期的周期函數(shù)f(x2)f(x1)1)，f(x4)f(x2)2)f(x)f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期為4.21(本題滿分12分)已知f(x)x3x1(xR)(1)求證：yf(x)是定義域上的減函數(shù)；(2)求證：滿足f(x)0的實(shí)數(shù)根x至多只有一個(gè)證明(1)f(x)3x21(3x21)<0(xR)，yf(x)是定義域上的減函數(shù)(2)假設(shè)f(x)0的實(shí)數(shù)根x至少有兩個(gè)，不妨設(shè)x1x2，且x1、x2R，f(x1)f(x2)0.yf(x)在R上單調(diào)遞減，當(dāng)x1<x2時(shí)，f(x1)>f(x2)，當(dāng)x1>x2時(shí)，f(x1)<f(x2)，這與f(x1)f(x2)0矛盾，故假設(shè)不成立，所以f(x)0至多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根22(本題滿分14分)(1)已知x、yR，求證下列不等式：x2y22；x2y22；x2y22.(2)根據(jù)上述不等式，請(qǐng)你推出更一般的結(jié)論，并證明你的結(jié)論解析(1)證明：x2y22x2y2x2xyy2x2xyy220，x2y22.x2y22x2y2xy(x22xyy2)(xy)20，x2y22.x2y22x2y2(xy)20，x2y22.(2)一般的結(jié)論是：已知x、yR，a、b都是正數(shù)，且ab1，則(ax2by2)(axby)2.證明：ab1，a1b>0，b1a>0.(ax2by2)(axby)2(aa2)x22abxy(bb2)y2a(1a)x22a(1a)xya(1a)y2a(1a)(x22xyy2)a(1a)(xy)2，又a>0,1a>0，(xy)20，(ax2by2)(axby)20，即ax2by2(axby)2.