2022年高考數(shù)學專題復習 第20講 函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象及三角函數(shù)模型的應用練習 新人教A版

2022年高考數(shù)學專題復習 第20講 函數(shù)yAsin（x）的圖象及三角函數(shù)模型的應用練習 新人教A版考情展望1.考查函數(shù)yAsin(x)的圖象變換.2.考查函數(shù)yAsin(x)的圖象畫法或解析式的求法.3.以新問題新情景為切入點，考查三角函數(shù)模型的應用一、yAsin(x)的有關(guān)概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一個振動量時振幅周期頻率相位初相ATfx二、用五點法畫yAsin(x)一個周期內(nèi)的簡圖用五點法畫yAsin(x)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個關(guān)鍵點，如下表所示xx02yAsin(x)0A0A0 三、由ysin x的圖象變換得到y(tǒng)Asin(x)(其中A0，0)的圖象(1)先平移后伸縮(2)先伸縮后平移兩種變換的差異先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|個單位；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是(0)個單位原因是相位變換和周期變換都是針對x而言的1已知簡諧運動f(x)2sin的圖象經(jīng)過點(0,1)，則該簡諧運動的最小正周期T和初相分別為()AT6，BT6，CT6， DT6，【解析】由題意知f(0)2sin 1，sin ，又|，又T6，故選A.【答案】A2函數(shù)ysin在區(qū)間上的簡圖是下列選項中的()【解析】當x時，ysin0；當x時，ysin，從而排除B、C、D，選A.【答案】A3將函數(shù)ysin x的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再把所得圖象上所有的點向右平行移動個單位，得到圖象的函數(shù)解析式為()Aysin BysinCysin Dysin【解析】將ysin x的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)得到的圖象解析式為ysin x，再把所得圖象上所有點向右平移個單位，得到的圖象解析式為ysin sin.【答案】D圖3414已知函數(shù)yAsin(x)(0，|)的部分圖象如圖341所示，則()A1，B1，C2，D2，【解析】由圖象知A1，T4，2，排除A，B，再由2×，得.【答案】D5(xx·安徽高考)要得到函數(shù)ycos(2x1)的圖象，只要將函數(shù)ycos 2x的圖象()A向左平移1個單位 B向右平移1個單位C向左平移個單位 D向右平移個單位【解析】ycos(2x1)cos 2，只要將函數(shù)ycos 2x的圖象向左平移個單位即可，故選C.【答案】C6(xx·四川高考)函數(shù)f(x)2sin(x)的部分圖象如圖342所示，則，的值分別是()圖342A2， B2，C4， D4，【解析】，T.又T(>0)，2.由五點作圖法可知當x時，x，即2×，.故選A.【答案】A考向一 056作函數(shù)yAsin(x)的圖象已知函數(shù)f(x)cos2x2sin xcos xsin2x.(1)將f(x)化為yAcos(x)的形式；(2)用“五點法”在給定的坐標中，作出函數(shù)f(x)在0，上的圖象【思路點撥】(1)運用二倍角公式及兩角和與差的余弦公式化為yAcos(x)的形式；(2)在表中列出0，上的特殊點及兩個區(qū)間端點，根據(jù)變化趨勢畫出圖象【嘗試解答】(1)f(x)cos2xsin2x2sin xcos xcos 2xsin 2xcos.(2)列表：2x2x0f(x)1001圖象為：規(guī)律方法11.尋找0，上的特殊點時，可先求出2x的范圍，在此范圍內(nèi)找出特殊點，再求出對應的x值.2.用“五點法”作圖應注意四點：(1)將原函數(shù)化為yAsin(x)(A0，0)或yAcos(x)(A0，0)的形式；(2)求出周期T；(3)求出振幅A；(4)列出一個周期內(nèi)的五個特殊點，當畫出某指定區(qū)間上的圖象時，應列出該區(qū)間內(nèi)的特殊點和區(qū)間端點.對點訓練已知函數(shù)f(x)sin.畫出函數(shù)yf(x)在區(qū)間0，上的圖象【解】0x，2x.列表如下：2x2x0y1010畫出圖象如圖所示考向二 057函數(shù)yAsin(x)的圖象變換(1)(xx·浙江高考)把函數(shù)ycos 2x1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，然后向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖象是()(2)(xx·課標全國卷)函數(shù)ycos(2x)()的圖象向右平移個單位后，與函數(shù)ysin的圖象重合，則_.【思路點撥】(1)寫出變換后的函數(shù)解析式，再根據(jù)圖象變換找圖象；(2)先進行平移，得出的三角函數(shù)與所給的三角函數(shù)進行比較，求出的值. 【嘗試解答】(1)ycos 2x1ycos x1ycos(x1)1ycos(x1)結(jié)合選項可知應選A.(2)ycos(2x)的圖象向右平移個單位得到y(tǒng)cos的圖象，整理得ycos(2x)其圖象與ysin(2x)的圖象重合，2k，2k，即2k.又，.【答案】(1)A(2)規(guī)律方法2對yAsin(x)進行圖象變換時應注意以下兩點：(1)平移變換時，x變?yōu)閤±a(a0)，變換后的函數(shù)解析式為yAsin(x±a)；(2)伸縮變換時，x變?yōu)?橫坐標變?yōu)樵瓉淼膋倍)，變換后的函數(shù)解析式為yAsin(x).對點訓練(xx·濟南一中等四校聯(lián)考)為了得到函數(shù)ysin 2x的圖象，只需把函數(shù)ysin的圖象()A向左平移個單位B向左平移個單位C向右平移個單位 D向右平移個單位【解析】ysinsin 2，故只需把該函數(shù)的圖象向右平移個單位便可得到函數(shù)ysin 2x的圖象【答案】D考向三 058求函數(shù)yAsin(x)的解析式(1)如圖343是函數(shù)yAsin(x)2(A0，0)的圖象的一部分，它的振幅、周期、初相各是()圖343AA3，T，BA1，T，CA1，T， DA1，T，(2)如圖344是函數(shù)yAsin(x)(A0，0，|)的部分圖象，則該函數(shù)的解析式為_圖344【思路點撥】(1)利用求A，借助T求，利用點求.(2)借助圖象特征求A及T，進而求出，利用點或(，0)，等條件確定的值【嘗試解答】(1)由圖象知，A1，T，由×2k，得2k，kZ，令k0得，故選C.【答案】C(2)由圖知A5，由，得T3，此時y5sin.下面求初相.法一(單調(diào)性法)：點(，0)在遞減的那段曲線上，(kZ)由sin0得2k(kZ)，2k(kZ)|，.該函數(shù)的解析式為y5sin.法二(最值點法)：將最高點坐標代入y5sin，得5sin5，2k(kZ)，2k(kZ)又|，.該函數(shù)的解析式為y5sin.法三(起始點法)：函數(shù)yAsin(x)的圖象一般由“五點法”作出，而起始點的橫坐標x正是由x0解得的故只需找出起始點橫坐標x0，就可以迅速求得.由圖象易得x0，x0×.該函數(shù)的解析式為y5sin.法四(平移法)：由圖象知，將y5sin的圖象沿x軸向左平移個單位，就得到本題圖象，故所求函數(shù)解析式為y5sin.規(guī)律方法31.求參數(shù)是確定函數(shù)解析式的關(guān)鍵，由特殊點求時，一定要分清特殊點是“五點法”的第幾個點.2.用五點法求值時，往往以尋找“五點法”中的第一個點為突破口.“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)時x0.“第二點”(即圖象的“峰點”)時，x；“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)時x；“第四點”(即圖象的“谷點”)時x；“第五點”時x2.對點訓練(xx·大綱全國卷)若函數(shù)ysin(x)(0)的部分圖象如圖345，則()圖345A5B4C3D2【解析】設(shè)函數(shù)的最小正周期為T，由函數(shù)圖象可知x0，所以T.又因為T，可解得4.【答案】B考向四 059三角函數(shù)模型的簡單應用圖346如圖346為一個纜車示意圖，該纜車半徑為4.8 m，圓上最低點與地面距離為0.8 m,60秒轉(zhuǎn)動一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時針轉(zhuǎn)動角到OB，設(shè)B點與地面間的距離為h.(1)求h與間關(guān)系的函數(shù)解析式；(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過t秒后到達OB，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求纜車到達最高點時用的最少時間是多少？【思路點撥】【嘗試解答】(1)以圓心O為原點，建立如圖所示的直角坐標系，則以O(shè)x為始邊，OB為終邊的角為.故點B的坐標為，h5.64.8sin.(2)點A在圓上轉(zhuǎn)動的角速度是，故t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為t，h5.64.8sin，t0，)到達最高點時，h10.4 m.由sin1且用時最少得t，t30，纜車到達最高點時，用的時間最少為30秒規(guī)律方法41.三角函數(shù)模型在實際中的應用體現(xiàn)在兩個方面：一是已知三角函數(shù)模型，準確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對應法則，二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題，其關(guān)鍵是合理建模2建模的方法是，認真審題，把問題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學語言”，這個過程就是數(shù)學建模的過程對點訓練圖347(xx·鄭州模擬)如圖347所示，質(zhì)點P在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為P0(，)，角速度為1，那么點P到x軸距離d關(guān)于時間t的函數(shù)圖象大致為()【解析】P0(，)，P0Ox.按逆時針轉(zhuǎn)時間t后，得POP0t，POxt.由三角函數(shù)定義，知點P的縱坐標為2sin，因此d2.當點P在P0處時，t0，d，排除A、D；當t時，點P在x軸上，此時d0，排除B.【答案】C規(guī)范解答之四三角函數(shù)的圖象性質(zhì)及平移變換1個示范例1個規(guī)范練(12分)(xx·山東高考)已知向量m(sin x,1)，n(A>0)，函數(shù)f(x)m·n的最大值為6.(1)求A；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求g(x)在上的值域【規(guī)范解答】(1)f(x)m·nAsin xcos xcos 2xAAsin.4分因為A>0，由題意知A6.6分(2)由(1)得f(x)6sin.將函數(shù)yf(x)的圖象向左平移個單位后得到y(tǒng)6sin6sin的圖象；8分再將得到的圖象上各點橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到y(tǒng)6sin的圖象.10分因此g(x)6sin.因為x，所以4x，故g(x)在上的值域為3,6.12分【名師寄語】(1)伸縮變換時，只是x的系數(shù)發(fā)生變化，橫坐標縮短為原來的倍，則x變?yōu)?x，其他量不變.(2)求yAsin(x)的值域問題，應先根據(jù)x的范圍，確定x的范圍，再數(shù)形結(jié)合求值域.(xx·安徽高考)設(shè)函數(shù)f(x)sin xsin.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；(2)不畫圖，說明函數(shù)yf(x)的圖象可由ysin x的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到【解】(1)因為f(x)sin xsin xcos xsin xcos xsin(x)，所以當x2k(kZ)，即x2k(kZ)時，f(x)取得最小值.此時x的取值集合為.(2)先將ysin x的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的倍(橫坐標不變)，得ysin x的圖象；再將ysin x的圖象上所有的點向左平移個單位，得yf(x)的圖象