2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 三 相似三角形的判定及性質(zhì)同步指導(dǎo)練習(xí) 新人教A版選修4-1
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2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 三 相似三角形的判定及性質(zhì)同步指導(dǎo)練習(xí) 新人教A版選修4-1
2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 三 相似三角形的判定及性質(zhì)同步指導(dǎo)練習(xí) 新人教A版選修4-1一、基礎(chǔ)達標(biāo)1.在ABC中,P為AB上一點,在下列四個條件中:ACPB;APCACB;AC2AP·AB;AB·CPAP·CB.其中,能判定APC與ACB相似的條件是()A. B.C. D.解析如圖,AA,ACPB,APCACB時,都滿足三角形相似的條件;當(dāng)AC2AP·AB時,即,也滿足相似條件;中兩個對應(yīng)邊的夾角不是A,故不相似.答案D2.如圖所示,ABCAEDAFG,DE是ABC的中位線,ABC與AFG的相似比是32,則AED與AFG的相似比是()A.34 B.43C.89 D.98解析因為ABC與AFG的相似比是32,故ABAF32,又ABC與AED的相似比是21,即ABAE21,故AED與AFG的相似比kAEAF·×.故選A.答案A3.在ABC中,D,E分別為AB,AC上的點,且DEBC,ADE的面積是2 cm2,梯形DBCE的面積為6 cm2,則DEBC的值為()A.1 B.12C.13 D.14解析如圖,DEBC,ADEABC,SADESABC2(62)14,DEBC12.答案B4.(2016·黃岡調(diào)考)如圖,在ABCD中,AEEB12,AEF的面積為6,則ADF的面積為_.解析AEDC,AEEB12,AEFCDF,且相似比,又AEF的邊EF上的高與ADF的邊DF上的高相等,.又SAEF6,SADF18.答案185.如圖,在梯形ABCD中,ADBC,ABAD,對角線BDDC,AD3,BC7,則BD2_.解析ADCBCD180°,BDC90°,ADBBCD90°.而ADBABD90°,ABDBCD.又BADBDC90°,RtABDRtDCB.BD2AD·BC3×721.答案216.如圖所示,在ABCD中E,F(xiàn)分別在AD與CB的延長線上,請寫出圖中所有的相似三角形.解ABCD,EDHEAG,CHMAGM,F(xiàn)BGFCH.又ADBC,AEMCFM,EDHFCH,AEGBFG,ABCCDA.圖中的相似三角形有AEMCFM,AGMCHM,EDHEAGFBGFCH,ABCCDA.二、能力提升7.在ABC中,AB9,AC12,BC18,點D為AC上一點,DCAC,在AB上取一點E,得到ADE,若ADE與ABC相似,則DE的長為()A.6 B.8C.6或8 D.14解析當(dāng)ADEACB時,則,DE6,當(dāng)ADEABC時,則,DE8.答案C8.如圖,BDAE,C90°,AB4,BC2,AD3.則DE_,CE_.解析在RtACE和RtADB中,A是公共角,ACEADB,.AE8.則DEAEAD835.在RtACE中,CE2.答案529.如圖所示,BD,AEBC,ACD90°,且AB6,AC4,AD12,則BE_.解析BD,AEBACD90°,AEBACD,從而得,解得AE2,故BE4.答案410.如圖,已知在正方形ABCD中,P是BC上的點,有BP3PC,Q是CD的中點.求證:ADQQCP.證明在正方形ABCD中,Q是CD的中點,2.3,4.又BC2DQ,2.在ADQ和QCP中,2,CD90°,ADQQCP.11.如圖所示,ABC為正三角形,D,E分別是AC,BC邊上的點(不在頂點),BDE60°.(1)求證:DECBDA;(2)若正三角形ABC的邊長為6,當(dāng)D點在什么位置時,可使BE最短,此時BE長是多少?(1)證明BDE60°,BDCBDECDE60°CDE.又BDC是ABD的一個外角,且A60°,BDCAABD60°ABD,CDEABD.又AC60°,DECBDA.(2)解設(shè)DCx,BEy,則EC6y,AD6x.由(1)可得,整理得,即yx2x6(0<x<6),配方得y(x3)2.0<x<6,當(dāng)x3時,ymin,即DC3,也就是D是邊AC的中點時,BE最短,此時BE的長是.三、探究與創(chuàng)新12.如圖所示,在矩形ABCD中,E為AD中點,EFEC交AB于F,連接FC(AB>AE).(1)AEF與ECF是否相似,若相似,證明你的結(jié)論;若不相似,請說明理由.(2)設(shè)k,是否存在這樣的k值,使得AEF與BCF相似,若存在,證明你的結(jié)論,并求出k的值;若不存在,請說明理由.解(1)相似.在矩形ABCD中,AD90°.EFEC,A,D,E共線,AEFDEC90°.又DECDCE90°,AEFDCE.AEFDCE.AEDE,.又AFEC90°,AEFECF.(2)存在.由于AEF90°AFE<180°CFEAFEBFC,只能是AEFBCF.AEFBCF.由(1)知AEFDCEECF,AEFDCEECFBCF,又DCEECFBCF90°,DCE30°,即k.反過來,當(dāng)k時,DCE30°,AEFDCE30°,ECFAEF30°,BCF90°30°30°30°AEF.AEFBCF.