高考數(shù)學二輪復習 專題訓練八 第2講 坐標系與參數(shù)方程 理

高考數(shù)學二輪復習 專題訓練八 第2講 坐標系與參數(shù)方程 理考情解讀高考主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標方程；參數(shù)方程與普通方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應(yīng)用以極坐標、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識1直角坐標與極坐標的互化把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位如圖，設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點，它的直角坐標、極坐標分別為(x，y)和(，)，則，.2直線的極坐標方程若直線過點M(0，0)，且極軸到此直線的角為，則它的方程為sin()0sin(0)幾個特殊位置的直線的極坐標方程(1)直線過極點：；(2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸：cos a；(3)直線過點M(b，)且平行于極軸：sin b.3圓的極坐標方程若圓心為M(0，0)，半徑為r的圓的方程為220cos(0)r20.幾個特殊位置的圓的極坐標方程(1)當圓心位于極點，半徑為r：r；(2)當圓心位于M(r,0)，半徑為r：2rcos ；(3)當圓心位于M(r，)，半徑為r：2rsin .4直線的參數(shù)方程過定點M(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))5圓的參數(shù)方程圓心在點M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)，02)6圓錐曲線的參數(shù)方程(1)橢圓1的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)拋物線y22px(p>0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))熱點一極坐標與直角坐標的互化例1在以O(shè)為極點的極坐標系中，直線l與曲線C的極坐標方程分別是cos()3和sin28cos ，直線l與曲線C交于點A、B，則線段AB的長為_答案16解析cos()cos cos sin sin cos sin 3，直線l對應(yīng)的直角坐標方程為xy6.又sin28cos ，2sin28cos .曲線C對應(yīng)的直角坐標方程是y28x.解方程組，得或，所以A(2，4)，B(18,12)，所以AB16.即線段AB的長為16.思維升華(1)在由點的直角坐標化為極坐標時，一定要注意點所在的象限和極角的范圍，否則點的極坐標將不唯一(2)在與曲線的方程進行互化時，一定要注意變量的范圍，要注意轉(zhuǎn)化的等價性 (1)在極坐標系(，)(0<2)中，曲線2sin 與cos 1的交點的極坐標為_(2)在極坐標系中，曲線C1：(cos sin )1與曲線C2：a(a>0)的一個交點在極軸上，則a_.答案(1)(，)(填(，)亦可)(2)解析(1)2sin 代入cos 1可得2sin cos 1，即2或2，解得或又(，)與(，)為同一點，故二者可以任填一個(2)(cos sin )1，即cos sin 1對應(yīng)的普通方程為xy10，a(a>0)對應(yīng)的普通方程為x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.將代入x2y2a2得a.熱點二參數(shù)方程與普通方程的互化例2已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，P是橢圓y21上的任意一點，則點P到直線l的距離的最大值為_答案解析由于直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，故直線l的普通方程為x2y0.因為P為橢圓y21上的任意一點，故可設(shè)P(2cos ，sin )，其中R.因此點P到直線l的距離是d.所以當k，kZ時，d取得最大值.思維升華參數(shù)方程化為普通方程，主要用“消元法”消參，常用代入法、加減消元法、利用三角恒等式消元等在參數(shù)方程化為普通方程時，要注意保持同解變形 (xx·廣東)已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，C在點(1,1)處的切線為l，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則l的極坐標方程為_答案cos sin 20解析由(t為參數(shù))，得曲線C的普通方程為x2y22.則在點(1,1)處的切線l的方程為y1(x1)，即xy20.又xcos ，ysin ，l的極坐標方程為cos sin 20.熱點三極坐標與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用例3在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))M是C1上的動點，P點滿足2，點P的軌跡為曲線C2.(1)C2的參數(shù)方程為_；(2)在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，則|AB|_.答案(1)(為參數(shù))(2)2解析(1)設(shè)P(x，y)，則由條件知M.由于M點在C1上，所以即從而C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)曲線C1的極坐標方程為4sin ，曲線C2的極坐標方程為8sin .射線與C1的交點A的極徑為14sin ，射線與C2的交點B的極徑為28sin.所以|AB|21|2.思維升華(1)曲線參數(shù)方程有很多優(yōu)點：曲線上任一點坐標都可用一個參數(shù)表示，變元只有一個特別對于圓、橢圓、雙曲線有很大用處很多參數(shù)都有實際意義，解決問題更方便比如：直線參數(shù)方程(為傾斜角，t為參數(shù))，其中|t|PM|，P(x，y)為動點，M(x0，y0)為定點(2)求兩點間距離時，用極坐標也比較方便，這兩點與原點共線時，距離為|12|，這兩點與原點不共線時，用余弦定理求解無論哪種情形，用數(shù)形結(jié)合的方法易得解題思路 (1)(xx·湖北)在直角坐標系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)，a>b>0)，在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，直線l與圓O的極坐標方程分別為sin()m(m為非零常數(shù))與b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為_答案解析橢圓C的標準方程為1，直線l的標準方程為xym，圓O的方程為x2y2b2，由題意知，a2b22b2，a23b2，e.(2)在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線C2的極坐標方程為(cos sin )1，若曲線C1與C2相交于A、B兩點|AB|的值為_；點M(1,2)到A、B兩點的距離之積為_答案2解析由曲線C1的參數(shù)方程可得曲線C1的普通方程為yx2(x0)，由曲線C2的極坐標方程可得曲線C2的直角坐標方程為xy10，則曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，將其代入曲線C1的普通方程得t2t20，設(shè)A、B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則t1t2，t1t22，所以|AB|t1t2|.由可得|MA|·|MB|t1t2|2.1主要題型有極坐標方程、參數(shù)方程和普通方程的互化，在極坐標方程或參數(shù)方程背景下的直線與圓的相關(guān)問題2規(guī)律方法方程解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問題，將極坐標方程化為直角坐標方程或?qū)?shù)方程化為普通方程，有助于對方程所表示的曲線的認識，從而達到化陌生為熟悉的目的，這是化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用在涉及圓、橢圓的有關(guān)最值問題時，若能將動點的坐標用參數(shù)表示出來，借助相應(yīng)的參數(shù)方程，可以有效地簡化運算，從而提高解題的速度3極坐標方程與普通方程互化核心公式，.4過點A(0，0) 傾斜角為的直線方程為.特別地，過點A(a,0)，垂直于極軸的直線l的極坐標方程為cos a.平行于極軸且過點A(b，)的直線l的極坐標方程為sin b.5圓心在點A(0，0)，半徑為r的圓的方程為r2220cos(0)6重點掌握直線的參數(shù)方程(t為參數(shù))，理解參數(shù)t的幾何意義.真題感悟1(xx·陜西)在極坐標系中，點(2，)到直線sin()1的距離是_答案1解析點(2，)化為直角坐標為(，1)，直線sin()1化為(sin cos )1，yx1，xy10，點(，1)到直線xy10的距離為1.2(xx·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與拋物線y24x相交于A，B兩點，線段AB的長為_答案8解析將直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程y24x，得24，解得t10，t28.所以AB|t1t2|8.押題精練1在直角坐標系中圓C的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，若以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則圓C的極坐標方程為_答案4sin 解析由參數(shù)方程消去得圓C的方程為x2(y2)24，將xcos ，ysin ，代入得(cos )2(sin 2)24，整理得4sin .2已知極坐標系的極點在平面直角坐標系的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同直線l的極坐標方程為，點P(1cos ，sin )，參數(shù)0,2)(1)點P軌跡的直角坐標方程為_；(2)點P到直線l距離的最小值為_答案(1)(x1)2y21(2)41解析(1)由得點P的軌跡方程(x1)2y21.(2)由，得，sin cos 9.曲線C的直角坐標方程為xy9.圓(x1)2y21的圓心(1,0)到直線xy9的距離為4，所以|PQ|min41.(推薦時間：40分鐘)1(xx·安徽改編)以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標方程是4cos ，則直線l被圓C截得的弦長為_答案2解析直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為直角坐標方程是yx4，圓C的極坐標方程4cos 化為直角坐標方程是x2y24x0.圓C的圓心(2,0)到直線xy40的距離為d.又圓C的半徑r2，因此直線l被圓C截得的弦長為22.2圓心為C(3，)，半徑為3的圓的極坐標方程為_答案6cos()解析設(shè)極點為O，M(，)為圓上任意一點，過OC的直線與圓交于另一點O，直角三角形OMO中，6cos|，即6cos()3已知點M的極坐標為(6，)，則點M關(guān)于y軸對稱的點的直角坐標為_答案(3，3)解析點M的直角坐標為xcos 6cos 3，ysin 6sin 3.即M(3，3)，所以它關(guān)于y軸對稱的點為(3，3)4直線cos 2關(guān)于直線對稱的直線的極坐標方程為_答案sin 2解析直線cos 2的直角坐標方程為x2，直線的直角坐標方程為yx，所以所求的直線方程為y2.其極坐標方程為sin 2.5若直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直線的傾斜角為_答案150°解析由直線的參數(shù)方程知，斜率ktan ，為直線的傾斜角，所以該直線的傾斜角為150°.6將參數(shù)方程(0t5)化為普通方程為_答案x3y50，x2,77解析化為普通方程為x3(y1)2，即x3y50，由于x3t222,77，故曲線為線段7(xx·陜西)直線2cos 1與圓2cos 相交的弦長為_答案解析直線2cos 1可化為2x1，即x；圓2cos 兩邊同乘得22cos ，化為直角坐標方程是x2y22x.將x代入x2y22x得y2，y±.弦長為2×.8已知曲線C：(參數(shù)R)經(jīng)過點(m，)，則m_.答案±解析將曲線C：(參數(shù)R)化為普通方程為x21，將點(m，)代入該橢圓方程，得m21，即m2，所以m±.9(xx·重慶)在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系若極坐標方程為cos 4的直線與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點，則|AB|_.答案16解析將極坐標方程cos 4化為直角坐標方程得x4，將x4代入得t±2，從而y±8.所以A(4,8)，B(4，8)所以|AB|8(8)|16.10(xx·天津)已知拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中p>0，焦點為F，準線為l.過拋物線上一點M作l的垂線，垂足為E.若|EF|MF|，點M的橫坐標是3，則p_.答案2解析根據(jù)拋物線的參數(shù)方程可知拋物線的標準方程是y22px，所以y6p，所以E，F(xiàn)，所以3，所以p24p120，解得p2(負值舍去)11已知曲線C：(為參數(shù))和直線l：(t為參數(shù)，b為實數(shù))，若曲線C上恰有3個點到直線l的距離等于1，則b_.答案±解析將曲線C和直線l的參數(shù)方程分別化為普通方程為x2y24和yxb，依題意，若要使圓上有3個點到直線l的距離為1，只要滿足圓心到直線的距離為1即可，得到1，解得b±.12已知曲線C1的極坐標方程為4sin ，曲線C2的極坐標方程為(R)，曲線C1，C2相交于點M，N，則線段MN的長為_答案2解析由4sin ，得24sin ，即曲線C1的直角坐標方程為x2y24y0，由(R)得，曲線C2的直角坐標方程為yx.把yx代入x2y24y0，得x2x2x0，即x2x0，解得x10，x2，y10，y21.|MN|2.即線段MN的長為2.13在極坐標系中，直線sin與圓2cos 的位置關(guān)系是_答案相離解析直線的直角坐標方程為xy10，圓的直角坐標方程為(x1)2y21，圓心為C(1,0)，半徑為r1，圓心到直線的距離d>1.故直線與圓相離14已知極坐標系中，極點為O，將點A繞極點逆時針旋轉(zhuǎn)得到點B，且OAOB，則點B的直角坐標為_答案(，)解析依題意，點B的極坐標為，cos coscos cos sin sin ××，sin sinsin cos cos sin ××，xcos 4×，ysin 4×.15(xx·遼寧改編)在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系圓C1，直線C2的極坐標方程分別為4sin ，cos2.(1)C1與C2交點的極坐標為_；(2)設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點連線的中點已知直線PQ的參數(shù)方程為(tR為參數(shù))，則a，b的值分別為_答案(1)，(2)1,2解析(1)圓C1的直角坐標方程為x2(y2)24，直線C2的直角坐標方程為xy40.解得所以C1與C2交點的極坐標為，注：極坐標系下點的表示不唯一(2)由(1)可得，P點與Q點的直角坐標分別為(0,2)，(1,3)故直線PQ的直角坐標方程為xy20，由參數(shù)方程可得yx1，所以解得a1，b2.