高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題 1．已知等差數(shù)列{an}前n項和為Sn，若a1＋a2 012＝1，a2 013＝－1 006，則使Sn取最值時n的值為(　　) A．1 005 B．1 006 C．1 007 D．1 006或1 007 答案：D 2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝－11，a3＋a7＝－6，則當(dāng)Sn取最小值時，n＝(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 答案：D 3．等比數(shù)列{an}前n項的積為Tn，若a3a6a18是一個確定的常數(shù)，那么數(shù)列T10，T13，T17，T25中也是常數(shù)的項是(　　) A．T10 B．T13 C．T17 D．T25 解析：∵a3a6a18＝a1q2·a1q5·a1q17＝(a1q8)3＝(a9)3為定值． ∴T17＝a1a2…a17＝(a1q8)17＝(a9)17也是定值． 答案：C 4．已知等比數(shù)列{an}滿足an＞0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，則當(dāng)n≥1時，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　) A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2 解析：由a5·a2n－5＝22n(n≥3)得a＝22n，an＞0，則an＝2n，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.故選C. 答案：C 5．公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4是a3與a7的等比中項， S8＝32，則S10＝(　　) A．18 B．24 C．60 D．90 解析：由a＝a3a7，得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，得2a1＋3d＝0，再由S8＝8a1＋d＝32，得2a1＋7d＝8，則d＝2，a1＝－3，所以S10＝10a1＋d＝60.故選C. 答案：C 6．已知函數(shù)f(x)＝把函數(shù)g(x)＝f(x)－x的零點按從小到大的順序排列成一個數(shù)列，則該數(shù)列的通項公式為(　　) A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝n－1 C．a(chǎn)n＝n(n－1) D．a(chǎn)n＝2n－2 解析：若0<x≤1，則－1<x－1<0，得f(x)＝f(x－1)＋1＝2x－1, 若1<x≤2，則0<x－1≤1，得f(x)＝f(x－1)＋1＝2x－2＋1， 若2<x≤3，則1<x－1≤2，得f(x)＝f(x－1)＋1＝2x－3＋2， 若3<x≤4，則2<x－1<3，得f(x)＝f(x－1)＋1＝2x－4＋3. 以此類推，若n<x≤n＋1(其中n∈N)，則f(x)＝f(x－1)＋1＝2x－n－1＋n, 下面分析函數(shù)f(x)＝2x的圖象與直線y＝x＋1的交點． 很顯然，它們有兩個交點(0，1)和(1，2)， 由于指數(shù)函數(shù)f(x)＝2x為增函數(shù)且圖象下凸，故它們只有這兩個交點． ①將函數(shù)f(x)＝2x和y＝x＋1的圖象同時向下平移一個單位即得到函數(shù)f(x)＝2x－1和y＝x的圖象， 取x≤0的部分，可見它們有且僅有一個交點(0，0)． 即當(dāng)x≤0時，方程f(x)－x＝0有且僅有一個根x＝0. ②?、僦泻瘮?shù)f(x)＝2x－1和y＝x圖象－1<x≤0的部分，再同時向上和向右各平移一個單位， 即得f(x)＝2x－1和y＝x在0<x≤1上的圖象，顯然，此時它們?nèi)匀恢挥幸粋€交點(1，1)． 即當(dāng)0<x≤1時，方程f(x)－x＝0有且僅有一個根x＝1. ③取②中函數(shù)f(x)＝2x－1和y＝x在0<x≤1上的圖象，繼續(xù)按照上述步驟進行， 即得到f(x)＝2x－2＋1和y＝x在1<x≤2上的圖象，顯然，此時它們?nèi)匀恢挥幸粋€交點(2，2)． 即當(dāng)1<x≤2時，方程f(x)－x＝0有且僅有一個根x＝2. ④以此類推，函數(shù)y＝f(x)與y＝x在(2，3]，(3，4]，…，(n，n＋1]上的交點依次為(3，3)，(4，4)，…，(n＋1，n＋1)． 即方程f(x)－x＝0在(2，3]，(3，4]，…，(n，n＋1]上的根依次為3，4，…，n＋1. 綜上所述方程f(x)－x＝0的根按從小到大的順序排列所得數(shù)列為0，1，2，3，4，…，n＋1， 其通項公式為an＝n－1.故選B. 答案：B 二、填空題 7．對正整數(shù)n，設(shè)曲線y＝xn(1－x)在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)為an，則的前n項和是________． 解析：曲線y＝xn(1－x)＝xn－xn＋1，曲線導(dǎo)數(shù)為y′＝nxn－1－(n＋1)xn，所以切線斜率為k＝n2n－1－(n＋1)2n＝－(n＋2)2n－1，切點為(2，－2n)，所以切線方程為y＋2n＝－(n＋2)2n－1(x－2)，令x＝0得，y＋2n＝(n＋2)2n，即y＝(n＋1)2n，所以an＝(n＋1)2n，所以＝2n，是以2為首項，q＝2為公比的等比數(shù)列，所以Sn＝＝2n＋1－2. 答案：2n＋1－2 8．等比數(shù)列{an}的公比q＞0, 已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，則{an}的前4項和S4＝________． 解析：由an＋2＋an＋1＝6an得：qn＋1＋qn＝6qn－1，即q2＋q－6＝0，q＞0，解得q＝2，又a2＝1，所以a1＝，S4＝＝. 答案： 三、解答題 9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2an＝S2＋Sn對一切正整數(shù)n都成立． (1)求a1，a2的值． (2)設(shè)a1＞0，數(shù)列的前n項和為Tn，當(dāng)n為何值時，Tn最大？并求出Tn的最大值． 解析：(1)取n＝1，得a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2，① 取n＝2，得a＝2a1＋2a2，② 由②－①，得a2(a2－a1)＝a2，③ 若a2＝0, 由①知a1＝0， 若a2≠0，易知a2－a1＝1.④ 由①④得：a1＝＋1， a2＝2＋或a1＝1－，a2＝2－； 綜上所述，a1＝0，a2＝0或a1＝1＋，a2＝2＋或a1＝1－，a2＝2－. (2)當(dāng)a1>0時，由(1)知， a1＝＋1，a2＝2＋； 當(dāng)n≥2時，有(2＋)an＝S2＋Sn， (2＋)an－1＝S2＋Sn－1. 兩式相減得(1＋)an＝(2＋)an－1. 所以an＝an－1(n≥2)． 所以an＝a1()n－1＝(＋1)×()n－1. 令bn＝lg，則bn＝1－lg()n－1＝lg. 又b1＝1，bn－bn－1＝＝－lg 2， 所以數(shù)列{bn}是以1為首項，－lg 2為公差，且單調(diào)遞減的等差數(shù)列． 則b1>b2>…>b7＝lg＞lg 1＝0. 當(dāng)n≥8時，bn≤b8＝lg ＜lg 1＝0. 所以，n＝7時，Tn取得最大值，且Tn的最大值為 T7＝＝7－lg 2. 10．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝，且[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，n∈N*. (1)求a3，a4，a5，a6的值及數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝a2n－1·a2n，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解析：(1)經(jīng)計算a3＝3，a4＝，a5＝5，a6＝. 當(dāng)n為奇數(shù)時，an＋2＝an＋2，即數(shù)列{an}的奇數(shù)項成等差數(shù)列， ∴a2n－1＝a1＋(n－1)·2＝2n－1. 當(dāng)n為偶數(shù)，an＋2＝an，即數(shù)列{an}的偶數(shù)項成等比數(shù)列， ∴a2n＝a2·＝. 因此，數(shù)列{an}的通項公式為 an＝ (2)∵bn＝(2n－1)×， ∴Sn＝1×＋3×＋5×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×.① Sn＝1×＋3×＋5×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×.② ①②兩式相減，得Sn＝1×＋2[()2＋()3＋…＋()n]－(2n－1)× ＝＋－(2n－1)×＝－(2n＋3)×. ∴Sn＝3－(2n＋3)×.