通信原理隨機過程

會計學1通信原理通信原理 隨機過程隨機過程 安慶師范學院物理與電氣工程學院2不相關相互獨立YXXYCYEXEYXEyx,0,推論：推論：相互獨立不相關但是YXY：X,3.1 概率分布知識回顧概率分布知識回顧 3隨機變量的數(shù)字特征第2頁/共88頁安慶師范學院物理與電氣工程學院3二、正態(tài)隨機變量二、正態(tài)隨機變量1、概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)若隨機變量的概率密度函數(shù)若隨機變量的概率密度函數(shù)表示為表示為則稱之為服從正態(tài)分布的隨機變量。其中則稱之為服從正態(tài)分布的隨機變量。其中a和和 2分分別為其均值和方差。別為其均值和方差。)53 . 3(2)(exp21)(22axxfxf(x)a3.1 概率分布知識回顧概率分布知識回顧 4正態(tài)隨機變量正態(tài)隨機變量 概率密度函數(shù)曲線與橫軸包圍的面積為概率密度函數(shù)曲線與橫軸包圍的面積為“1 1”習題習題1第3頁/共88頁4)93 . 3()()()(000 xXdxxfxXPxF-4-20 x1x26 8 1000.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2P2=0.53281xp(x)2、概率概率若隨機變量若隨機變量服從正態(tài)分服從正態(tài)分布，布，Xt1,并并令令t2=t1+,則相關函數(shù)則相關函數(shù) 可表示為可表示為),(21ttR),(11ttR說明自說明自相關函數(shù)相關函數(shù)依賴于依賴于起始時刻起始時刻t1及及時間間隔時間間隔,即自相關函數(shù)是即自相關函數(shù)是t1和和的函數(shù)的函數(shù)習題2-4第20頁/共88頁平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程:n維概率密度函數(shù)與時間起點無關維概率密度函數(shù)與時間起點無關對對任意正整數(shù)任意正整數(shù)n和和任意實數(shù)任意實數(shù) ti (i=1n) 和時間間隔和時間間隔 ，隨機過程隨機過程(t) ,tT的的n維概率密度函數(shù)滿足維概率密度函數(shù)滿足則稱則稱(t) ,tT為平穩(wěn)隨機過程。為平穩(wěn)隨機過程。) 12 . 3(),;,( ),;,(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf1、數(shù)學期望和方差與時間無關、數(shù)學期望和方差與時間無關,即即 E(t)=a(t)=a， D(t)=E(t)-E(t)2=22、自相關函數(shù)只與時間間隔自相關函數(shù)只與時間間隔 有關有關，與時間起點無關，與時間起點無關，即，即R(t1,t2)= R(t1,t1 + )= R( )通信系統(tǒng)中遇到的信號及噪聲通信系統(tǒng)中遇到的信號及噪聲, ,大多數(shù)可視為大多數(shù)可視為平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程嚴平穩(wěn)隨機過程嚴平穩(wěn)隨機過程廣義平穩(wěn)隨機過程廣義平穩(wěn)隨機過程第21頁/共88頁安慶師范學院物理與電氣工程學院22各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性隨機過程的一個隨機過程的一個樣本函數(shù)樣本函數(shù)取取時間時間的的平均值平均值設設x(t)為隨機過程的為隨機過程的一個樣本一個樣本,則它的則它的時間平均時間平均值值,時時間平均間平均方差和方差和時間平均時間平均自相關函數(shù)自相關函數(shù):2/2/2/2/2222/2/)()(1lim)()()()(1lim)()(1lim)(TTTTTTTTTdttxtxTtxtxRdtatxTatxdttxTtxa第22頁/共88頁23若平穩(wěn)若平穩(wěn)隨機過程隨機過程各個各個統(tǒng)計平均值統(tǒng)計平均值等于它的任何一個等于它的任何一個樣本對應的樣本對應的時間平均值時間平均值, 則稱之為具有則稱之為具有各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性)()( 22RRaa時間平均值統(tǒng)計平均值這樣，就這樣，就不必不必作無限次觀測，再取作無限次觀測，再取統(tǒng)計平均值統(tǒng)計平均值，而，而只要對它的只要對它的樣本樣本取取時間平均值時間平均值 就行了。給實驗就行了。給實驗帶來許多的方便。帶來許多的方便。第23頁/共88頁24 例例3-1 設一個隨機相位的正弦波為設一個隨機相位的正弦波為其中，其中，A和和 c均為常數(shù)；均為常數(shù)； 是在是在(0, 2)內(nèi)均勻分布的內(nèi)均勻分布的隨隨機變量機變量。試討論。試討論 (t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。是否具有各態(tài)歷經(jīng)性?！窘饨狻?1)先求先求 (t)的的統(tǒng)計平均值統(tǒng)計平均值：數(shù)學期望數(shù)學期望)cos()(tAtc2021)cos()()(dtAtEtac20)sinsincos(cos2dttAcc0sinsincoscos22020dtdtAcc第24頁/共88頁自相關函數(shù)自相關函數(shù)0)(cos2212)(cos2)(cos22)(cos)(cos2)cos()cos()()(),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEttEttRccccccc)(cos2),(221RAttRc令令t2 t1 = ，得到，得到可見，可見， (t)的數(shù)學期望為常數(shù)，而自相關函數(shù)與的數(shù)學期望為常數(shù)，而自相關函數(shù)與t 無關無關，只與時間間隔，只與時間間隔 有關，所以有關，所以 (t)是廣義平穩(wěn)過程。是廣義平穩(wěn)過程。第25頁/共88頁 (2) 求求 (t)的樣本時間平均值的樣本時間平均值220)cos(1limTTcTdttATa22)(cos)cos(1lim)(TTccTdttAtATR22222)22cos(cos2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22)()(,RRaa比較統(tǒng)計平均與時間平均，有比較統(tǒng)計平均與時間平均，有因此，因此，隨機相位隨機相位余弦波是余弦波是各態(tài)歷經(jīng)各態(tài)歷經(jīng)的。的。第26頁/共88頁27平穩(wěn)隨機過程的平穩(wěn)隨機過程的自自相關函數(shù)相關函數(shù)：實實平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)R( )具有如下特性：具有如下特性：R( )是是 的偶函數(shù)；的偶函數(shù)；)()()()()(),(2121ttERttEttR改寫成：R(0)=E2(t)(t)=s 是是該隨機過程該隨機過程的的平均功率平均功率)()( RR| R( ) | R(0)； 上界為上界為R(0)：無無時差時差則則相關性最強相關性最強R( )=E2(t) 該隨機過程的該隨機過程的直流功率直流功率；統(tǒng)計獨立與時)()(,)()()()()(lim)(lim2tttEtEtEttER第27頁/共88頁28)()()()()0(22tDtEtERRR(0)- R( ) 隨機過程的隨機過程的交流功率交流功率;平穩(wěn)過程的功率譜密度平穩(wěn)過程的功率譜密度 對于任意的對于任意的確定功率信號確定功率信號f (t)，其功率譜密度，其功率譜密度為為TfFmi lfPTTf2)()(式中，式中，F(xiàn)T ( f )是是f (t)的的截短函數(shù)截短函數(shù)fT (t) 所對應的所對應的頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)第28頁/共88頁29 對于平穩(wěn)隨機過程對于平穩(wěn)隨機過程 (t) :把把f (t)當作是當作是 (t)的一個的一個樣樣本本TfFEmi lfPEfPTTf2)()()(某一樣本的功率譜密度某一樣本的功率譜密度不能不能作為過程的功率譜密作為過程的功率譜密度。度。隨機過程隨機過程的功率譜密度的功率譜密度應看作是對所有應看作是對所有樣本樣本的功率譜的功率譜的的統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均，故，故 (t)的功率譜密度可以定義為的功率譜密度可以定義為:功率譜性質(zhì)功率譜性質(zhì)：0)(, 0)(. 1PfP或非負性，)()(. 2fPfP偶函數(shù)雙邊帶與單邊帶功率譜. 30)(2)(ffPfP，雙邊帶單邊帶第29頁/共88頁安慶師范學院物理與電氣工程學院30 維納維納-辛欽關系辛欽關系)()(RP d)(21)(d)()(jjePReRPR R( ( ) )的傅里葉變換等于該隨機過程的功率譜密度的傅里葉變換等于該隨機過程的功率譜密度維納維納-辛欽關系辛欽關系在平穩(wěn)隨機過程的理論和應用中是一個在平穩(wěn)隨機過程的理論和應用中是一個非常重要的工具，它是聯(lián)系非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域頻域和和時域時域兩種分析方法兩種分析方法的基本關系式的基本關系式第30頁/共88頁安慶師范學院物理與電氣工程學院31例例：判斷判斷隨機相位隨機相位正弦波正弦波 (t)=sin( ct+ )是否平穩(wěn)隨是否平穩(wěn)隨機過程。并求該隨機過程的功率譜密度函數(shù)機過程。并求該隨機過程的功率譜密度函數(shù). 21)(p解：解： (t)的的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)0d21)sin(d )()()(2020tpttEac平穩(wěn)隨機過程條件平穩(wěn)隨機過程條件：數(shù)學期望數(shù)學期望與時間無關與時間無關, ,自相關函數(shù)只與時間間隔自相關函數(shù)只與時間間隔 有有關關方差：方差：DX(t)=EX2(t) -EX(t)2=R(0)-EX(t)2可不做為條件可不做為條件其中，其中， c c為常數(shù)，為常數(shù)， 是在區(qū)間是在區(qū)間( (0 0，2 2 ) )上上均勻分布均勻分布的隨機變量。的隨機變量。第31頁/共88頁32cccccccccddtttttEttRcos21)cos(2121)cos(2121d)22cos()cos(2121d21)sin()sin()()(),(20202020 ( (t t) )的數(shù)學期望為常數(shù)的數(shù)學期望為常數(shù)，自相關函數(shù)只與自相關函數(shù)只與 有關有關。所以是平穩(wěn)隨機過程所以是平穩(wěn)隨機過程。第32頁/共88頁安慶師范學院物理與電氣工程學院33)(2)(2cos21)()(ccjcjdedeRP當然由當然由R( )該隨機過程的該隨機過程的平均功率平均功率為為R(0)=0.5)()(R：P由習題習題5第33頁/共88頁安慶師范學院物理與電氣工程學院34 高斯隨機過程高斯隨機過程定義定義njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/ 1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；22)(),(kkkkkatEtEa如果隨機過程如果隨機過程(t) ,tT的任意的任意n維（維（n =1,2,.）分布）分布均服從均服從正態(tài)分布正態(tài)分布，則稱它為，則稱它為正態(tài)正態(tài)過程過程或高斯過程?；蚋咚惯^程。n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為：式式中中第34頁/共88頁35式中式中 |B| 歸一化歸一化協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣的行列式，即的行列式，即|B|jk 行列式行列式|B|中元素中元素bjk的的代數(shù)余因子代數(shù)余因子11121221112nnnnbbbbbbB kjkkjjjkatatEb)()(bjk 為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即 第35頁/共88頁36 如果高斯隨機過程在如果高斯隨機過程在不同時刻不同時刻的取值是不的取值是不相關的，即對所有相關的，即對所有 j k，有，有bjk =0，則，則),.,;,.,(2121nnntttxxxfnax1k2k2kkk2)(exp21),(),(),(2211nntxftxftxf這表明，如果高斯過程在不同時刻的取值是這表明，如果高斯過程在不同時刻的取值是不相不相關關的，那么它們也是的，那么它們也是統(tǒng)計獨立的統(tǒng)計獨立的。100010001B則其概率密度可以簡化為則其概率密度可以簡化為第36頁/共88頁安慶師范學院物理與電氣工程學院373、通過線性系統(tǒng)的高斯隨機過程，輸出仍是高斯、通過線性系統(tǒng)的高斯隨機過程，輸出仍是高斯過程過程高斯隨機過程有以下重要性質(zhì)高斯隨機過程有以下重要性質(zhì)：1、是廣義平穩(wěn)（、是廣義平穩(wěn)（均值、方差與時間無關，自相關只與時間間隔均值、方差與時間無關，自相關只與時間間隔有關有關）也是狹義平穩(wěn)）也是狹義平穩(wěn)2、隨機變量之間互不相關、隨機變量之間互不相關RX(t1,t2)=0 等價于等價于 隨機隨機變量變量相互獨立相互獨立:P(x1,x2)= P(x1) P(x2)數(shù)學期望和方差與數(shù)學期望和方差與時間時間無關；無關；自相關函數(shù)只與自相關函數(shù)只與時間間隔時間間隔有關有關第37頁/共88頁安慶師范學院物理與電氣工程學院38通信系統(tǒng)中某些通信系統(tǒng)中某些噪聲噪聲統(tǒng)計特性符合高斯隨機統(tǒng)計特性符合高斯隨機過程的統(tǒng)計特性。這些噪聲稱之為過程的統(tǒng)計特性。這些噪聲稱之為“高斯噪高斯噪聲聲”。各維各維概率分布函數(shù)都服從正態(tài)分布的隨機過程。概率分布函數(shù)都服從正態(tài)分布的隨機過程。又稱正態(tài)隨機過程。又稱正態(tài)隨機過程。第38頁/共88頁39平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng) 輸入輸入確定信號確定信號vi(t)，線性系統(tǒng)輸出，線性系統(tǒng)輸出vo(t)為為vi(t) 與與系統(tǒng)單位沖激響應系統(tǒng)單位沖激響應h(t)的卷積。的卷積。 dthvthtvtviio)()()(*)(線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)vi (t)vo(t) 輸入輸入隨機過程隨機過程i(t) ，線性系統(tǒng)輸出隨機過程，線性系統(tǒng)輸出隨機過程o(t) 為輸入隨機過程為輸入隨機過程i(t) 與系統(tǒng)單位沖激響應與系統(tǒng)單位沖激響應h(t)的的卷積。卷積。 dththttiio)()()(*)()f ()f ()f (0iVHV第39頁/共88頁401 1、輸出隨機過程的、輸出隨機過程的數(shù)學期望數(shù)學期望dhaatEi)()(由信號分析知：由信號分析知： )0()()(0aHdethadthatEtjo得：得：輸出隨機過程的數(shù)學期望與時間輸出隨機過程的數(shù)學期望與時間 t 無關。無關。等于等于輸入隨機過程的數(shù)學期望乘以輸入隨機過程的數(shù)學期望乘以H(0)。 dhtEdhtEtEiio)()()()(理解：理解：平穩(wěn)隨機過程的數(shù)學期望是該過程中的平穩(wěn)隨機過程的數(shù)學期望是該過程中的直流分直流分量量,線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)輸出的直流分量輸出的直流分量等于等于輸入輸入直流分量直流分量乘乘以系統(tǒng)的以系統(tǒng)的直流增益直流增益H(0) 。第40頁/共88頁412 2、輸出隨機過程的、輸出隨機過程的自相關函數(shù)自相關函數(shù) ddttEhhdthdthEttEttRiiiiooo)()()()()()()()()()(),(21212121得：得：輸出隨機過程的自相關函數(shù)只與輸出隨機過程的自相關函數(shù)只與時間差時間差有關，有關，所以，當輸入隨機過程是廣義平穩(wěn)時，輸出亦然。所以，當輸入隨機過程是廣義平穩(wěn)時，輸出亦然。)()()()(12oiRddRhhtt )()()(),(:12122121)()()( ttRttEttRiiiiiddttRhh得輸入隨機過程的平穩(wěn)性第41頁/共88頁423 3、輸出隨機過程的功率譜密度、輸出隨機過程的功率譜密度 deRhhdddeddRhhdeRPjjjiioo)()()()()()()()() ()()(deRdehdehjjji功率譜密度功率譜密度P(w)自相關函數(shù)自相關函數(shù)R( )()()(*iPHH)()(2iPH輸入功輸入功率譜率譜第42頁/共88頁43)()()(:2ioPHP即得：得：輸出隨機過程的功率譜等于輸入隨機過程的功輸出隨機過程的功率譜等于輸入隨機過程的功率譜與率譜與系統(tǒng)傳遞函數(shù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)模值平方模值平方的乘積。的乘積。)(H2)(H理解：理解： 代表系統(tǒng)的電壓代表系統(tǒng)的電壓( (或電流或電流) )的增益頻率的增益頻率特性，特性， 實際上就是系統(tǒng)的實際上就是系統(tǒng)的功率增益頻率特性功率增益頻率特性)()0()3()()()2()()()() 1 (:)(222tERRPPHPoooooio求解步驟方差輸出隨機過程交流功率所以：所以：高斯隨機過程通過線性系統(tǒng)時，輸出仍是高高斯隨機過程通過線性系統(tǒng)時，輸出仍是高斯隨機過程，只是數(shù)字特征和功率譜有所變化。斯隨機過程，只是數(shù)字特征和功率譜有所變化。習題習題6,7,9,10-16第43頁/共88頁4410、設、設RL低通濾波器如下圖所示，當輸入一個均值為低通濾波器如下圖所示，當輸入一個均值為0，功率譜密度為，功率譜密度為n0/2的高斯白噪聲時，求：的高斯白噪聲時，求：（1）輸出噪聲）輸出噪聲no(t)的自相關函數(shù)；的自相關函數(shù)；（2）輸出噪聲）輸出噪聲no(t)的方差。的方差。解：解：(1)輸入過程功率譜密度為：輸入過程功率譜密度為：LR輸入端輸出端2)(0nPiLjRRH)(2202220224)(2)()()(LRLRLRnLRRnHPPioLRoeLRnR4)(0LR低通濾波器的傳遞函數(shù)為：低通濾波器的傳遞函數(shù)為：所以輸出噪聲的功率譜密度為：所以輸出噪聲的功率譜密度為：由維納由維納-辛欽關系，其自相關函數(shù)：辛欽關系，其自相關函數(shù)： 第44頁/共88頁4510、設、設RL低通濾波器如下圖所示，當輸入一個均值為低通濾波器如下圖所示，當輸入一個均值為0，功率譜密度為，功率譜密度為n0/2的高斯白噪聲時，求：的高斯白噪聲時，求：（1）輸出噪聲）輸出噪聲no(t)的自相關函數(shù)；的自相關函數(shù)；（2）輸出噪聲）輸出噪聲no(t)的方差。的方差。LR輸入端輸出端LRoeLRnR4)(0LRntERoo4)()0(022(2)輸入過程均值為輸入過程均值為0，所以輸出噪聲均值也為，所以輸出噪聲均值也為0，其方差為：，其方差為： 0)0(0HtEo第45頁/共88頁46輸出過程輸出過程 o(t)的概率分布的概率分布因為從積分原理看，因為從積分原理看，kkkkihttk)()(lim)(000dthti)()()(0 i(t)是高斯型的是高斯型的,上式右端的每一項在任一時上式右端的每一項在任一時刻上都是一個高斯隨機變量?？躺隙际且粋€高斯隨機變量。 可以表示為可以表示為： 則輸出過程在任一時則輸出過程在任一時刻上得到的隨機變量就是刻上得到的隨機變量就是無限多個無限多個高斯隨機變量之高斯隨機變量之和和由概率論理論得知，這個由概率論理論得知，這個“和和” 也是高斯隨也是高斯隨機變量，因而輸出過程也為高斯過程。機變量，因而輸出過程也為高斯過程。注意，注意，輸入輸入與與輸出輸出高斯過程數(shù)字特征高斯過程數(shù)字特征期望、方差期望、方差不同不同.如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是統(tǒng)的輸出過程也是高斯型高斯型的。的。 第46頁/共88頁帶寬帶寬 f 遠小于其中心頻率遠小于其中心頻率 fc 的隨機過程的隨機過程f(f)0fc-fc ft(t)包絡包絡: :隨機緩慢變化隨機緩慢變化頻率頻率:近似為中心頻率近似為中心頻率fc0)(,)(cos)()(tatttatc窄帶隨機過程表示式窄帶隨機過程表示式a (t) 隨機包絡隨機包絡, (t) 隨機相位隨機相位, c 中心角頻率中心角頻率a (t)和和 (t)的變化相對于載波的變化相對于載波cos ct的變化緩慢的多的變化緩慢的多第47頁/共88頁捉小蟲捉小蟲,何來螞蟻何來螞蟻第48頁/共88頁49同相和正交分同相和正交分量量變化相對于變化相對于載波載波cos ct的的變化緩慢的多變化緩慢的多中心頻率為中心頻率為 fc，帶寬為，帶寬為 f。如果。如果 f B時時:窄帶白噪聲窄帶白噪聲,同相分量同相分量,正交分量正交分量?第82頁/共88頁 自相關函數(shù)自相關函數(shù)帶通白噪聲的功率譜線帶通白噪聲的功率譜線帶通白噪聲的帶通白噪聲的 自相關函數(shù)曲線自相關函數(shù)曲線1/B1/BdfendfefPRfjBfBffjncc222022)()(dfenfjBfBfcc22202cfBBBn2cossin0第83頁/共88頁84高斯白噪聲高斯白噪聲: :通過中心頻率為通過中心頻率為 fc，帶寬為，帶寬為B（B fc）的帶通濾波器后得到的）的帶通濾波器后得到的窄帶高斯噪聲窄帶高斯噪聲。n0/2ffcPW(f )0-fc高高 斯斯白噪聲白噪聲fcP (f )W0-Wf-fcn0/2高斯窄帶噪聲高斯窄帶噪聲ffcH(f )0-fc1帶帶 通通濾波器濾波器B第84頁/共88頁85fc同相同相,正交功率譜正交功率譜P(f )W0-Wf-fcn0同相同相,正交分量正交分量習題習題8fcP(f )0f-fcn0/2高斯窄帶噪聲高斯窄帶噪聲其他02/2/)()()()(BBPPPPccsc第85頁/共88頁86Pc(f ), Ps(f )B/20-B/2fn0高斯窄帶噪聲高斯窄帶噪聲中的中的同相分同相分量量和和正交分量正交分量的功率譜的功率譜n0，帶寬為帶寬為B/2因此因此高斯窄帶噪聲高斯窄帶噪聲的功率的功率(功率譜功率譜n0/2, 帶寬帶寬為為B)BnBnBnffPffPPBfBfBfBf000)2/()2/(2/2/2121d)(d)(cccc同相同相(正交正交)分量的功率為分量的功率為BnffPPPBBcsc02/2/d)(3.7 白噪聲白噪聲7- 高斯窄帶噪聲高斯窄帶噪聲3fcP(f )0f-fcn0/2高斯窄帶噪聲高斯窄帶噪聲第86頁/共88頁87白噪聲，真無賴白噪聲，真無賴,從負到正都存在從負到正都存在,擠過帶通成窄帶擠過帶通成窄帶;窄帶噪聲要壓制窄帶噪聲要壓制,牢記參數(shù)是關鍵牢記參數(shù)是關鍵:正、負功率譜倆方塊正、負功率譜倆方塊,相位均勻、幅瑞利相位均勻、幅瑞利 ;同相、正交頻率低同相、正交頻率低,幅增一倍、帶寬半。幅增一倍、帶寬半。第87頁/共88頁安慶師范學院物理與電氣工程學院88感謝您的觀看！感謝您的觀看！第88頁/共88頁