（全國通用版）2019高考數(shù)學二輪復習 專題五 解析幾何 規(guī)范答題示例7 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系學案 理

規(guī)范答題示例7　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 典例7　(12分)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，且點在橢圓C上． (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)橢圓E：＋＝1，P為橢圓C上任意一點，過點P的直線y＝kx＋m交橢圓E于A，B兩點，射線PO交橢圓E于點Q. ①求的值；②求△ABQ面積的最大值． 審題路線圖　(1)―→ (2)①―→ ② ―→―→ 規(guī) 范 解 答·分 步 得 分 構(gòu) 建 答 題 模 板 解　(1)由題意知＋＝1.又＝， 解得a2＝4，b2＝1.所以橢圓C的方程為＋y2＝1.2分 (2)由(1)知橢圓E的方程為＋＝1. ①設(shè)P(x0，y0)，＝λ，由題意知Q(－λx0，－λy0)． 因為＋y＝1，又＋＝1，即＝1， 所以λ＝2，即＝2.5分 ②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 將y＝kx＋m代入橢圓E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0， 由Δ>0，可得m2<4＋16k2，(*) 則x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|x1－x2|＝. 因為直線y＝kx＋m與y軸交點的坐標為(0，m)， 所以△OAB的面積S＝|m||x1－x2|＝ ＝＝2.8分 設(shè)＝t，將y＝kx＋m代入橢圓C的方程， 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.(**) 由(*)(**)可知0<t≤1，因此S＝2＝2， 故0<S≤2，當且僅當t＝1，即m2＝1＋4k2時取得最大值2. 由①知，△ABQ的面積為3S，所以△ABQ面積的最大值為6. 12分 第一步 求圓錐曲線方程：根據(jù)基本量法確定圓錐曲線的方程． 第二步 聯(lián)立消元：將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立得到方程：Ax2＋Bx＋C＝0，然后研究判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系得等式． 第三步 找關(guān)系：從題設(shè)中尋求變量的等量或不等關(guān)系． 第四步 建函數(shù)：對范圍最值類問題，要建立關(guān)于目標變量的函數(shù)關(guān)系． 第五步 得范圍：通過求解函數(shù)值域或解不等式得目標變量的范圍或最值，要注意變量條件的制約，檢查最值取得的條件. 評分細則　(1)第(1)問中，求a2－c2＝b2關(guān)系式直接得b＝1，扣1分； (2)第(2)問中，求時，給出P，Q的坐標關(guān)系給1分；無“Δ>0”和“Δ≥0”者，每處扣1分；聯(lián)立方程消元得出關(guān)于x的一元二次方程給1分；根與系數(shù)的關(guān)系寫出后再給1分；求最值時，不指明最值取得的條件扣1分． 跟蹤演練7　(2018·全國Ⅰ)設(shè)橢圓C：＋y2＝1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為(2,0)． (1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程； (2)設(shè)O為坐標原點，證明：∠OMA＝∠OMB. (1)解　由已知得F(1,0)，l的方程為x＝1. 由已知可得，點A的坐標為或. 又M(2,0)， 所以AM的方程為y＝－x＋或y＝x－. 即x＋y－2＝0或x－y－2＝0. (2)證明　當l與x軸重合時，∠OMA＝∠OMB＝0°. 當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA＝∠OMB. 當l與x軸不重合也不垂直時，設(shè)l的方程為 y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1<，x2<，直線MA，MB的斜率之和 kMA＋kMB＝＋. 由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，得 kMA＋kMB＝. 將y＝k(x－1)代入＋y2＝1，得 (2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，由題意知Δ>0恒成立， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 則2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0， 從而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的傾斜角互補． 所以∠OMA＝∠OMB.綜上，∠OMA＝∠OMB. 3