（江蘇專版）2019版高考數(shù)學大一輪復習 第五章 平面向量 第28講 平面向量基本定理及坐標運算學案 理

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1、 第28講　平面向量基本定理及坐標運算 考試要求　1.平面向量的基本定理及其意義(A級要求)；2.平面向量的正交分解及其坐標表示(B級要求)；3.用坐標表示平面向量的線性運算及平面向量共線的條件(B級要求). 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底.(　　) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.(　　) (3)設a，b是平面內(nèi)的一組基底，若實數(shù)λ1，μ1，λ2，μ2滿足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以

2、表示成＝.(　　) 解析　(1)共線向量不可以作為基底. (2)同一向量在不同基底下的表示不相同. (4)若b＝(0，0)，則＝無意義. 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.(2017·蘇州期末)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，則2a＋b＝________. 解析　2a＋b＝2(2，4)＋(－1，1)＝(3，9). 答案　(3，9) 3.(2015·江蘇卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________. 解析　由題意得解得故m－n＝2－5＝－3. 答案?。? 4.(2017·山東

3、卷)已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，則λ＝________. 解析　由a∥b可得－1×6＝2λ，故λ＝－3. 答案?。? 5.(必修4P82習題6改編)已知?ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點D的坐標為________. 解析　設D(x，y)，則由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得 答案　(1，5) 知 識 梳 理 1.平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面

4、內(nèi)所有向量的一組基底. 2.平面向量的正交分解 把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐標運算 (1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及運算的模 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐標的求法 ①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標. ②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 4.平面向量共線的坐標表示 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x

5、2y1＝0. 考點一　平面向量基本定理 【例1】 (1)(2018·南通調(diào)研)如圖，在△ABC中，＝，P是BN上的一點，若＝m＋，則實數(shù)m的值為________. (2)(2017·蘇北四市摸底)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分線與AB邊上的中線交于點O，若＝x＋y(x，y∈R)，則x＋y的值為________. 解析　(1)設＝k，k∈R. 因為＝＋＝＋k＝＋k(－) ＝＋k＝(1－k)＋， 且＝m＋， 所以1－k＝m，＝，解得k＝，m＝. (2)如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，CE為AB邊的中線，且AD∩CE＝O.在△AEO中，由正弦定理得

6、＝.在△ACO中，由正弦定理得＝，兩式相除得 ＝.因為AE＝AB＝1，AC＝3，所以＝.所以＝3，即－＝3(－)，即4＝3＋，所以4＝＋，從而＝＋.因為＝x＋y，所以x＝，y＝，于是x＋y＝. 答案　(1)　(2) 規(guī)律方法　(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算. (2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決. 【訓練1】 (1)(2018·南京、鹽城模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，E為線段AO的中點.若＝λ＋μ(

7、λ，μ∈R)，則λ＋μ＝________. (2)如圖，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，則＝________. 解析　(1)由題意可得＝＋＝＋，由平面向量基本定理可得λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝. (2)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. 答案　(1)　(2)a＋b 考點二　平面向量的坐標運算與向量共線的坐 標表示 【例2】 (1)(2018·蘇州暑假測試)設x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(2，y)，且a＋2b＝(5，－3)，則x＋y＝________. (2)(2018·南京學情調(diào)研)已知向量a＝(1，2)，b＝(m，4)，且a∥(2a＋b)，則實數(shù)m的值為___

8、_____. 解析　(1)由題意得a＋2b＝(x＋4，1＋2y)＝(5，－3)，所以解得所以x＋y＝－1. (2)由題意得a＝(1，2)，2a＋b＝(2＋m，8)，因為a∥(2a＋b)，所以1×8－(2＋m)×2＝0，故m＝2. 答案　(1)－1　(2)2 規(guī)律方法　(1)巧借方程思想求坐標：若已知向量兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，解題過程中注意方程思想的應用. (2)向量問題坐標化：向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可以用坐標來進行，實現(xiàn)了向量運算的代數(shù)化，將數(shù)與形結合起來，使幾何問題轉化為數(shù)量運算問題. 【訓練2】 (1)已知點A(－1，5)和向量a＝(2，3)，若＝3

9、a，則點B的坐標為________. (2)已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝________. 解析　(1)設點B的坐標為(x，y)，則＝(x＋1，y－5). 由＝3a，得解得∴B(5，14). (2)由a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b， 得1×m－2×(－2)＝0，即m＝－4. 從而b＝(－2，－4)， 那么2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8). 答案　(1)(5，14)　(2)(－4，－8) 考點三　平面向量基本定理及向量共線定理的應用(多維探究) 命題角度1　求坐標 【例3－1】 若三點A(1，－

10、5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線，則實數(shù)a的值為________. 解析　由已知，＝(a－1，3)，＝(－3，4)，根據(jù)題意∥， ∴4(a－1)－3×(－3)＝0，即4a＝－5，∴a＝－. 答案　－ 命題角度2　解析法 【例3－2】 (2017·江蘇卷)如圖，在同一個平面內(nèi)，向量，，的模分別為1，1，，與的夾角為α，且tan α＝7，與的夾角為45°.若＝m＋n(m，n∈R)，則m＋n＝________. 解析　如圖 ，以O為原點，所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則由||＝1得A(1，0). 由tan α＝7得sin α＝， cos α＝. 又||＝，∴C

11、(||cos α，||sin α)，即C. 又∠BOC＝45°， ∴cos∠AOB＝cos(α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45° ＝×－×＝－， 同理，sin∠AOB＝， 又||＝1，∴B，故由＝m＋n得解得故m＋n＝3. 答案　3 命題角度3　求范圍(最值) 【例3－3】 (1)(2018·常州一模)在△ABC中，∠C＝45°，O是△ABC的外心，若＝m＋n(m，n∈R)，則m＋n的取值范圍是________. (2)(2017·常州期末)如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，動點P在邊BC上，且滿足

12、＝m＋n(m，n均為正實數(shù))，則＋的最小值為________. 解析(1)在△ABC中，∠C＝45°，所以∠AOB＝90°(圓心角是同弧所對的圓周角的2倍).建立如圖所示的平面直角坐標系，設A(r，0)，B(0，r)，C(rcos α，rsin α)，其中r>0，90°<α<360°.(∵∠AOB＝90°，∴點C在優(yōu)弧上任一點一定有∠C＝45°，滿足題意.)由＝m＋n，得m＝cos α，n＝sin α，所以m＋n＝cos α＋sin α＝sin(α＋45°)∈[－，1). (2)如圖，建立平面直角坐標系，則＝(4，0)，＝(0，4). 設＝(x，y)，則BC所在直線4x＋3y

13、＝16. 由(x，y)＝m(4，0)＋n(0，4)，得x＝4m，y＝4n(m，n>0)，所以16m＋12n＝16，即m＋n＝1，那么＋＝＝＋＋≥＋2＝＋＝.當且僅當3n2＝4m2時取等號. 答案　(1)[－，1)　(2) 規(guī)律方法　1.對平面向量基本定理的理解 (1)平面向量基本定理實際上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標表示的基礎. (2)平面向量一組基底是兩個不共線向量，平面向量基底可以有無窮多組. (3)用平面向量基本定理可將平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式. 2.向量共線的作用 向量共線常常用來解決交點坐標問題和三點共

14、線問題，向量共線的充要條件用坐標可表示為x1y2－x2y1＝0. 【訓練3】 (1)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，若起點和終點均在格點的向量a，b，c滿足c＝xa＋yb(x，y∈R)，則x＋y＝________. (2)(必修4P82習題6)已知A(2，3)，B(4，－3)，點P在線段AB的延長線上，且AP＝BP，則點P的坐標為________. (3) 給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O為圓心的上運動.若＝x＋y，其中x，y∈R，則x＋y的最大值為________. 解析　(1)如圖，取單位向量i，j，則a＝i＋2j，b＝2i－j，c＝3i＋

15、4j. ∴c＝xa＋yb＝x(i＋2j)＋y(2i－j) ＝(x＋2y)i＋(2x－y)j， ∴∴ ∴x＋y＝. (2)設P(x，y)，由點P在線段AB的延長線上， 則＝，得(x－2，y－3)＝(x－4，y＋3)， 即 解得 所以點P的坐標為(8，－15). (3)以O為坐標原點，所在的直線為x軸建立平面直角坐標系， 如圖所示，則A(1，0)，B， 設∠AOC＝α(α∈)， 則C(cos α，sin α)， 由＝x＋y， 得 所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α， 所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin， 又α∈， 所以當α＝時，x

16、＋y取得最大值2. 答案　(1) (2)(8，－15)　(3)2 一、必做題 1.(2016·全國Ⅱ卷)已知向量a＝(m，4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________. 解析　因為a∥b，所以由(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6. 答案?。? 2.(2018·南京學情調(diào)研)設向量a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b.若a∥c，則實數(shù)x的值是________. 解析　因為a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b＝(－2，－4＋3x).又a∥c，所以－4＋3x－8＝0，解得x＝4. 答案　4 3.(2017·無錫期末)已知在?ABCD中，

17、＝(2，8)，＝(－3，4)，則＝________. 解析　因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以＝＋＝(－1，12). 答案　(－1，12) 4.(2015·全國Ⅰ卷改編)已知點A(0，1)，B(3，2)，＝(－4，－3)，則＝________. 解析　根據(jù)題意得＝(3，1)，∴＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7， －4). 答案　(－7，－4) 5.(2018·南通調(diào)研)如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點，＝x＋y，且＝2 ，則x＝________，y＝________. 解析　由題意知＝＋，又＝，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝. 答案　　 6.(

18、2018·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)已知點M是△ABC的邊BC的中點，點E在邊AC上，且＝2，則＝________(用，表示). 解析　如圖， ∵＝2， ∴＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋. 答案?。? 7.(2018·江蘇押題卷)如圖，在△ABC中，AH⊥BC于H，M∈AH，AM＝AH，若＝x＋y，則x＋y的值為________. 解析　 建立如圖所示的平面直角坐標系，設A(0，a)，B(b，0)，H(0，0)，C(c，0)，M，則＝，＝(b，－a)，＝(c，－a)，故由＝x＋y可得－a＝－ax＋y(－a)，即x＋y＝. 答案　 8.(2017·蘇北四市期末)已知向量a＝

19、(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的________條件(從“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中選填一個). 解析　由題意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，反之亦成立，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要條件. 答案　充要 9.(2018·江蘇大聯(lián)考)A，B，C為單位圓上三個不同的點，若∠ABC＝，＝m＋n(m，n∈R)，則m＋n最小值為________. 解析　因為∠ABC＝，所以∠AOC＝(圓周角是同弧所對圓心角的一半)，不妨設A(1，0)，C(0，1)，B(cos

20、θ，sin θ)，θ∈，則cos θ＝m，sin θ＝n?m＋n＝cos θ＋sin θ＝sin≥－，當且僅當θ＝時取等號. 答案?。? 10.(2018·揚州中學質(zhì)檢)在矩形ABCD中，AB＝，BC＝，P為矩形內(nèi)一點， 且AP＝，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的最大值為________. 解析　以矩形相鄰兩邊所在直線為坐標軸建立直角坐標系，如圖，則A(0，0)，B(，0)，D(0，)，設∠PAB＝α， 則P. 因為＝λ＋μ，所以＝λ(，0)＋μ(0，)， 所以λ＝cos α，μ＝sin α，故λ＋μ＝cos α＋sin α＝ sin，由已知得0<α<，所以<α＋<π，所以<

21、sin≤1， 所以λ＋μ的最大值為. 答案　 二、選做題 11.(2017·哈師大附中三模改編)已知AB⊥AC，AB＝AC，點M滿足＝t＋(1－t)，若∠BAM＝，則t的值為________. 解析　由題意可得＝t＋－t，則－＝t－t， 即＝t?t＝，其中＝，由正弦定理＝，整理可得t的值為. 答案　 12.(2017·全國Ⅲ卷改編)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為________. 解析　如圖所示，建立平面直角坐標系. 設A(0，1)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，1)，P(x，y)， 根據(jù)等面積公式可得圓的半徑r＝，即圓C的方程是(x－2)2＋y2＝， ＝(x，y－1)，＝(0，－1)，＝(2，0)，若滿足＝λ＋μ＝(2μ，－λ)， 又∵點P在圓C上，∴P點坐標可表示為x＝2＋cos θ＝2μ，y＝sin θ＝1－λ， ∴λ＋μ＝1－sin θ＋1＋cos θ＝2＋sin(α－θ)≤3(其中tan α＝－). 答案　3 13