（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 第28講 平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案 理

第28講　平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算考試要求　1.平面向量的基本定理及其意義(A級(jí)要求)；2.平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示(B級(jí)要求)；3.用坐標(biāo)表示平面向量的線性運(yùn)算及平面向量共線的條件(B級(jí)要求).診 斷 自 測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底.(　　)(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.(　　)(3)設(shè)a，b是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù)λ1，μ1，λ2，μ2滿足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成＝.(　　)解析　(1)共線向量不可以作為基底.(2)同一向量在不同基底下的表示不相同.(4)若b＝(0，0)，則＝無(wú)意義.答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2.(2017·蘇州期末)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，則2a＋b＝________.解析　2a＋b＝2(2，4)＋(－1，1)＝(3，9).答案　(3，9)3.(2015·江蘇卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為_(kāi)_______.解析　由題意得解得故m－n＝2－5＝－3.答案?。?4.(2017·山東卷)已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，則λ＝________.解析　由a∥b可得－1×6＝2λ，故λ＝－3.答案?。?5.(必修4P82習(xí)題6改編)已知?ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______.解析　設(shè)D(x，y)，則由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得答案　(1，5)知 識(shí) 梳 理1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.2.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.4.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.考點(diǎn)一　平面向量基本定理【例1】 (1)(2018·南通調(diào)研)如圖，在△ABC中，＝，P是BN上的一點(diǎn)，若＝m＋，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______.(2)(2017·蘇北四市摸底)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分線與AB邊上的中線交于點(diǎn)O，若＝x＋y(x，y∈R)，則x＋y的值為_(kāi)_______.解析　(1)設(shè)＝k，k∈R.因?yàn)椋剑剑玨＝＋k(－)＝＋k＝(1－k)＋，且＝m＋，所以1－k＝m，＝，解得k＝，m＝.(2)如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，CE為AB邊的中線，且AD∩CE＝O.在△AEO中，由正弦定理得＝.在△ACO中，由正弦定理得＝，兩式相除得 ＝.因?yàn)锳E＝AB＝1，AC＝3，所以＝.所以＝3，即－＝3(－)，即4＝3＋，所以4＝＋，從而＝＋.因?yàn)椋絰＋y，所以x＝，y＝，于是x＋y＝.答案　(1)　(2)規(guī)律方法　(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.(2)用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.【訓(xùn)練1】 (1)(2018·南京、鹽城模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E為線段AO的中點(diǎn).若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝________.(2)如圖，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，則＝________.解析　(1)由題意可得＝＋＝＋，由平面向量基本定理可得λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.(2)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.答案　(1)　(2)a＋b考點(diǎn)二　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量共線的坐標(biāo)表示【例2】 (1)(2018·蘇州暑假測(cè)試)設(shè)x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(2，y)，且a＋2b＝(5，－3)，則x＋y＝________.(2)(2018·南京學(xué)情調(diào)研)已知向量a＝(1，2)，b＝(m，4)，且a∥(2a＋b)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______.解析　(1)由題意得a＋2b＝(x＋4，1＋2y)＝(5，－3)，所以解得所以x＋y＝－1.(2)由題意得a＝(1，2)，2a＋b＝(2＋m，8)，因?yàn)閍∥(2a＋b)，所以1×8－(2＋m)×2＝0，故m＝2.答案　(1)－1　(2)2規(guī)律方法　(1)巧借方程思想求坐標(biāo)：若已知向量?jī)啥它c(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過(guò)程中注意方程思想的應(yīng)用.(2)向量問(wèn)題坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可以用坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算的代數(shù)化，將數(shù)與形結(jié)合起來(lái)，使幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算問(wèn)題.【訓(xùn)練2】 (1)已知點(diǎn)A(－1，5)和向量a＝(2，3)，若＝3a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_______.(2)已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝________.解析　(1)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x＋1，y－5).由＝3a，得解得∴B(5，14).(2)由a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m－2×(－2)＝0，即m＝－4.從而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8).答案　(1)(5，14)　(2)(－4，－8)考點(diǎn)三　平面向量基本定理及向量共線定理的應(yīng)用(多維探究)命題角度1　求坐標(biāo)【例3－1】 若三點(diǎn)A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______.解析　由已知，＝(a－1，3)，＝(－3，4)，根據(jù)題意∥，∴4(a－1)－3×(－3)＝0，即4a＝－5，∴a＝－.答案?。}角度2　解析法【例3－2】 (2017·江蘇卷)如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量，，的模分別為1，1，，與的夾角為α，且tan α＝7，與的夾角為45°.若＝m＋n(m，n∈R)，則m＋n＝________.解析　如圖 ，以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則由||＝1得A(1，0).由tan α＝7得sin α＝，cos α＝.又||＝，∴C(||cos α，||sin α)，即C.又∠BOC＝45°，∴cos∠AOB＝cos(α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45°＝×－×＝－，同理，sin∠AOB＝，又||＝1，∴B，故由＝m＋n得解得故m＋n＝3.答案　3命題角度3　求范圍(最值)【例3－3】 (1)(2018·常州一模)在△ABC中，∠C＝45°，O是△ABC的外心，若＝m＋n(m，n∈R)，則m＋n的取值范圍是________.(2)(2017·常州期末)如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上，且滿足＝m＋n(m，n均為正實(shí)數(shù))，則＋的最小值為_(kāi)_______.解析(1)在△ABC中，∠C＝45°，所以∠AOB＝90°(圓心角是同弧所對(duì)的圓周角的2倍).建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(r，0)，B(0，r)，C(rcos α，rsin α)，其中r>0，90°<α<360°.(∵∠AOB＝90°，∴點(diǎn)C在優(yōu)弧上任一點(diǎn)一定有∠C＝45°，滿足題意.)由＝m＋n，得m＝cos α，n＝sin α，所以m＋n＝cos α＋sin α＝sin(α＋45°)∈[－，1).(2)如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則＝(4，0)，＝(0，4).設(shè)＝(x，y)，則BC所在直線4x＋3y＝16.由(x，y)＝m(4，0)＋n(0，4)，得x＝4m，y＝4n(m，n>0)，所以16m＋12n＝16，即m＋n＝1，那么＋＝＝＋＋≥＋2＝＋＝.當(dāng)且僅當(dāng)3n2＝4m2時(shí)取等號(hào).答案　(1)[－，1)　(2)規(guī)律方法　1.對(duì)平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理實(shí)際上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).(2)平面向量一組基底是兩個(gè)不共線向量，平面向量基底可以有無(wú)窮多組.(3)用平面向量基本定理可將平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式.2.向量共線的作用向量共線常常用來(lái)解決交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題和三點(diǎn)共線問(wèn)題，向量共線的充要條件用坐標(biāo)可表示為x1y2－x2y1＝0.【訓(xùn)練3】 (1)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量a，b，c滿足c＝xa＋yb(x，y∈R)，則x＋y＝________.(2)(必修4P82習(xí)題6)已知A(2，3)，B(4，－3)，點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，且AP＝BP，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______.(3) 給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的上運(yùn)動(dòng).若＝x＋y，其中x，y∈R，則x＋y的最大值為_(kāi)_______.解析　(1)如圖，取單位向量i，j，則a＝i＋2j，b＝2i－j，c＝3i＋4j.∴c＝xa＋yb＝x(i＋2j)＋y(2i－j)＝(x＋2y)i＋(2x－y)j，∴∴∴x＋y＝.(2)設(shè)P(x，y)，由點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，則＝，得(x－2，y－3)＝(x－4，y＋3)，即解得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8，－15).(3)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(1，0)，B，設(shè)∠AOC＝α(α∈)，則C(cos α，sin α)，由＝x＋y，得所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，又α∈，所以當(dāng)α＝時(shí)，x＋y取得最大值2.答案　(1)(2)(8，－15)　(3)2一、必做題1.(2016·全國(guó)Ⅱ卷)已知向量a＝(m，4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________.解析　因?yàn)閍∥b，所以由(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.答案?。?2.(2018·南京學(xué)情調(diào)研)設(shè)向量a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b.若a∥c，則實(shí)數(shù)x的值是________.解析　因?yàn)閍＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b＝(－2，－4＋3x).又a∥c，所以－4＋3x－8＝0，解得x＝4.答案　43.(2017·無(wú)錫期末)已知在?ABCD中，＝(2，8)，＝(－3，4)，則＝________.解析　因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以＝＋＝(－1，12).答案　(－1，12)4.(2015·全國(guó)Ⅰ卷改編)已知點(diǎn)A(0，1)，B(3，2)，＝(－4，－3)，則＝________.解析　根據(jù)題意得＝(3，1)，∴＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4).答案　(－7，－4)5.(2018·南通調(diào)研)如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，＝x＋y，且＝2 ，則x＝________，y＝________.解析　由題意知＝＋，又＝，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.答案　　6.(2018·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)已知點(diǎn)M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，且＝2，則＝________(用，表示).解析　如圖，∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.答案?。?.(2018·江蘇押題卷)如圖，在△ABC中，AH⊥BC于H，M∈AH，AM＝AH，若＝x＋y，則x＋y的值為_(kāi)_______.解析　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0，a)，B(b，0)，H(0，0)，C(c，0)，M，則＝，＝(b，－a)，＝(c，－a)，故由＝x＋y可得－a＝－ax＋y(－a)，即x＋y＝.答案　8.(2017·蘇北四市期末)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的________條件(從“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中選填一個(gè)).解析　由題意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，反之亦成立，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要條件.答案　充要9.(2018·江蘇大聯(lián)考)A，B，C為單位圓上三個(gè)不同的點(diǎn)，若∠ABC＝，＝m＋n(m，n∈R)，則m＋n最小值為_(kāi)_______.解析　因?yàn)椤螦BC＝，所以∠AOC＝(圓周角是同弧所對(duì)圓心角的一半)，不妨設(shè)A(1，0)，C(0，1)，B(cos θ，sin θ)，θ∈，則cos θ＝m，sin θ＝n?m＋n＝cos θ＋sin θ＝sin≥－，當(dāng)且僅當(dāng)θ＝時(shí)取等號(hào).答案?。?0.(2018·揚(yáng)州中學(xué)質(zhì)檢)在矩形ABCD中，AB＝，BC＝，P為矩形內(nèi)一點(diǎn)， 且AP＝，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的最大值為_(kāi)_______.解析　以矩形相鄰兩邊所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，則A(0，0)，B(，0)，D(0，)，設(shè)∠PAB＝α，則P.因?yàn)椋溅耍蹋裕溅?，0)＋μ(0，)，所以λ＝cos α，μ＝sin α，故λ＋μ＝cos α＋sin α＝sin，由已知得0<α<，所以<α＋<π，所以