（浙江專(zhuān)用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 1 第1講 不等關(guān)系與不等式教學(xué)案

第七章 不等式知識(shí)點(diǎn)最新考綱不等關(guān)系與不等式了解不等關(guān)系，掌握不等式的基本性質(zhì).一元二次不等式及其解法了解一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系，會(huì)解一元二次不等式.二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題了解二元一次不等式的幾何意義，掌握平面區(qū)域與二元一次不等式組之間的關(guān)系，并會(huì)求解簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題.基本不等式(a，b0)掌握基本不等式(a，b0)及其應(yīng)用.絕對(duì)值不等式 會(huì)解|xb|c，|xb|c，|xa|xb|c，|xa|xb|c型不等式 了解不等式|a|b|ab|a|b|.第1講不等關(guān)系與不等式1實(shí)數(shù)大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系ab>0a>b；ab0ab；ab<0a<b2不等式的基本性質(zhì)(1)對(duì)稱(chēng)性：abba；(2)傳遞性：ab，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc，ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n1)；(6)可開(kāi)方：ab0(nN，n2)3不等式的一些常用性質(zhì)(1)有關(guān)倒數(shù)的性質(zhì)a>b，ab>0<.a<0<b<.a>b>0，0<c<d>.0<a<x<b或a<x<b<0<<.(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若a>b>0，m>0，則<；>(bm>0)>；<(bm>0)疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有a>b，ab，a<b三種關(guān)系中的一種()(2)若>1，則a>b.()(3)一個(gè)不等式的兩邊同加上或同乘以同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變()(4)一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大，則其倒數(shù)就越小()(5)同向不等式具有可加性和可乘性()(6)兩個(gè)數(shù)的比值大于1，則分子不一定大于分母()答案：(1)(2)×(3)×(4)×(5)×(6)教材衍化1(必修5P74練習(xí)T3改編)若a，b都是實(shí)數(shù)，則“>0”是“a2b2>0”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A.>0>a>ba2>b2，但由a2b2>0/ >0.2(必修5P75A組T2改編)_(填“>”“<”或“”)解析：分母有理化有2，顯然2<，所以<.答案：<3(必修5P75B組T1改編)若0<a<b，且ab1，則將a，b，2ab，a2b2從小到大排列為_(kāi)解析：令a，b，則2ab2××，a2b2，故a<2ab<<a2b2<b.答案：a<2ab<<a2b2<b易錯(cuò)糾偏(1)亂用不等式的相乘性致錯(cuò)；(2)命題的必要性出錯(cuò)；(3)求范圍亂用不等式的加法原理致錯(cuò)1若a>b>0，c<d<0，則下列結(jié)論正確的是()A.>0 B.<0C.> D.<解析：選D.因?yàn)閏<d<0，所以0<d<c，又0<b<a，所以bd<ac，即bd>ac，又因?yàn)閏d>0，所以>，即>.2設(shè)a，bR，則“a>2且b>1”是“ab>3且ab>2”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析：若a>2且b>1，則由不等式的同向可加性可得ab>213，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×12.即“a>2且b>1”是“ab>3且ab>2”的充分條件；反之，若“ab>3且ab>2”，則“a>2且b>1”不一定成立，如a6，b.所以“a>2且b>1”是“ab>3且ab>2”的充分不必要條件答案：充分不必要3若<<<，則的取值范圍是_解析：由<<，<<，<，得<<0.答案：(，0)用不等式(組)表示不等關(guān)系 某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷(xiāo)產(chǎn)品，甲、乙產(chǎn)品都需要在A，B兩臺(tái)設(shè)備上加工，在A，B設(shè)備上加工一件甲產(chǎn)品所需工時(shí)分別為1小時(shí)、2小時(shí)，加工一件乙產(chǎn)品所需工時(shí)分別為2小時(shí)、1小時(shí)，A，B兩臺(tái)設(shè)備每月有效使用時(shí)數(shù)分別為400和500.寫(xiě)出滿(mǎn)足上述所有不等關(guān)系的不等式【解】設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品的月產(chǎn)量分別為x，y，則由題意可知用不等式(組)表示不等關(guān)系(1)分析題中有哪些未知量(2)選擇其中起關(guān)鍵作用的未知量，設(shè)為x或x，y，再用x或x，y來(lái)表示其他未知量(3)根據(jù)題目中的不等關(guān)系列出不等式(組)提醒在列不等式(組)時(shí)要注意變量自身的范圍 某汽車(chē)公司因發(fā)展需要需購(gòu)進(jìn)一批汽車(chē)，計(jì)劃使用不超過(guò)1 000萬(wàn)元的資金購(gòu)買(mǎi)單價(jià)分別為40萬(wàn)元、90萬(wàn)元的A型汽車(chē)和B型汽車(chē)，根據(jù)需要，A型汽車(chē)至少買(mǎi)5輛，B型汽車(chē)至少買(mǎi)6輛，寫(xiě)出滿(mǎn)足上述所有不等關(guān)系的不等式解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)A型汽車(chē)和B型汽車(chē)分別為x輛、y輛，則即不等式的性質(zhì)及應(yīng)用(高頻考點(diǎn))不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用是高考命題的熱點(diǎn)不等式性質(zhì)的應(yīng)用是高考的常考點(diǎn)，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)主要命題角度有：(1)判斷命題的真假；(2)與充要條件相結(jié)合命題的判斷；(3)求代數(shù)式的取值范圍角度一判斷命題的真假 (1)設(shè)a，b，cR，且a>b，則()Aac>bc B.<Ca2>b2 Da3>b3(2)下列命題中，正確的是()A若a>b，c>d，則ac>bdB若ac>bc，則a>bC若<，則a<bD若a>b，c>d，則ac>bd【解析】(1)A項(xiàng)，c0時(shí)，由a>b不能得到ac>bc，故不正確；B項(xiàng)，當(dāng)a>0，b<0(如a1，b2)時(shí)，由a>b不能得到<，故不正確；C項(xiàng)，由a2b2(ab)(ab)及a>b可知當(dāng)ab<0時(shí)(如a2，b3或a2，b3)均不能得到a2>b2，故不正確；D項(xiàng)，a3b3(ab)(a2abb2)(ab)·，因?yàn)閎2 >0，所以可由a>b知a3b3>0，即a3>b3，故正確(2)A：取a2，b1，c1，d2，可知A錯(cuò)誤；B：當(dāng)c<0時(shí)，ac>bca<b，所以B錯(cuò)誤；C：因?yàn)?lt;，所以c0，又c2>0，所以a<b，C正確；D：取ac2，bd1，可知D錯(cuò)誤，故選C.【答案】(1)D(2)C角度二與充要條件相結(jié)合命題的判斷 (1)設(shè)a，bR，則“(ab)·a2<0”是“a<b”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件(2)設(shè)a，bR，則“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件【解析】(1)(ab)·a2<0，則必有ab<0，即a<b；而a<b時(shí)，不能推出(ab)·a2<0，如a0，b1，所以“(ab)·a2<0”是“a<b”的充分不必要條件(2)當(dāng)b<0時(shí)，顯然有a>ba|a|>b|b|；當(dāng)b0時(shí)，顯然有a>ba|a|>b|b|；當(dāng)b>0時(shí)，由a>b有|a|>|b|，所以a>ba|a|>b|b|.綜上可知a>ba|a|>b|b|，故選C.【答案】(1)A(2)C角度三求代數(shù)式的取值范圍 (2020·臺(tái)州高三模擬)若，滿(mǎn)足則3的取值范圍為_(kāi)【解析】設(shè)3x()y(2)(xy)(x2y).則解得因?yàn)?()1，22(2)6，兩式相加，得137.所以3的取值范圍是1，7【答案】1，7(1)判斷不等式命題真假的方法判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說(shuō)明常用的推理判斷需要利用不等式性質(zhì)在判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題真假時(shí)，先把判斷的命題和不等式性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)考慮，找到與命題相近的性質(zhì)，并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題真假(2)充要條件的判斷方法利用兩命題間的關(guān)系，看p能否推出q，再看q能否推出p，充分利用不等式性質(zhì)或特值求解(3)求代數(shù)式的取值范圍利用不等式性質(zhì)求某些代數(shù)式的取值范圍時(shí)，多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大變量的取值范圍，解決此類(lèi)問(wèn)題，一般是利用整體思想，通過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體范圍，是避免錯(cuò)誤的有效途徑 已知ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足bc2a，ca2b，則的取值范圍是_解析：因?yàn)閎c2a，ca2b，cab，cba，所以問(wèn)題等價(jià)于不等式組有解，所以，即的取值范圍是.答案：比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小 (1)設(shè)函數(shù)f(x)x3，x0，1證明：f(x)1xx2；(2)若a，b，比較a與b的大小【解】(1)證明：因?yàn)?xx2x3，由于x0，1，有，即1xx2x3，所以f(x)1xx2.(2)因?yàn)閍0，b0，所以·log8 91，所以ab. 1設(shè)m(x2)(x3)，n2x25x9，則m與n的大小關(guān)系為()Am>n Bm<nCmn Dmn解析：選B.mnx25x6(2x25x9)x23<0，所以m<n.故選B.2比較與ab(a>0，b>0)兩個(gè)代數(shù)式的大小解：因?yàn)?ab).又因?yàn)閍>0，b>0，所以0，故ab.基礎(chǔ)題組練1(2020·嘉興期中)若xy，mn，下列不等式正確的是()AmynxBxmynC. Dxmyn解析：選A.對(duì)于B，x1，y2，m1，n2時(shí)不成立，對(duì)于C，x1，y2，m1，n2時(shí)不成立，因?yàn)閤y，mn，所以xmyn，所以mynx.A正確，易知D不成立，故選A.2(2020·義烏質(zhì)檢)設(shè)，那么2的取值范圍是()A. B.C(0，) D.解析：選D.由題設(shè)得0<2<，0，所以0，所以<2<.3設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足0xy1且0xy1xy，那么x，y的取值范圍是()Ax1且y1 B0x1且y1C0x1且0y1 Dx1且0y1解析：選C.又xy1xy，所以1xyxy0，即(x1)(y1)0，所以或(舍去)，所以4(2020·溫州校級(jí)月考)下列不等式成立的是()A若|a|b，則a2b2B若|a|b，則a2b2C若ab，則a2b2D若a|b|，則a2b2解析：選D.若|a|b，則a2b2，故A錯(cuò)誤；若ab0，則|a|b，則a2b2，故B錯(cuò)誤；若ab0，則ab，則a2b2，故C錯(cuò)誤；若a|b|，則a2b2，故D正確故選D.5已知a，b，cR，那么下列命題中正確的是()A若ab，則ac2bc2B若，則abC若a3b3且ab0，則D若a2b2且ab0，則解析：選C.當(dāng)c0時(shí)，可知A不正確；當(dāng)c0時(shí)，可知B不正確；由a3b3且ab0知a0且b0，所以成立，C正確；當(dāng)a0且b0時(shí)，可知D不正確6已知實(shí)數(shù)a，b，c.()A若|a2bc|ab2c|1，則a2b2c2<100B若|a2bc|a2bc|1，則a2b2c2<100C若|abc2|abc2|1，則a2b2c2<100D若|a2bc|ab2c|1，則a2b2c2<100解析：選D.取a10，b10，c110，可排除選項(xiàng)A；取a10，b100，c0，可排除選項(xiàng)B；取a10，b10，c0，可排除選項(xiàng)C.故選D.7(2020·嚴(yán)州模擬)若a1<a2，b1<b2，則a1b1a2b2與a1b2a2b1的大小關(guān)系是_解析：作差可得(a1b1a2b2)(a1b2a2b1)(a1a2)·(b1b2)，因?yàn)閍1<a2，b1<b2，所以(a1a2)(b1b2)>0，即a1b1a2b2>a1b2a2b1.答案：a1b1a2b2>a1b2a2b18a，bR，ab和同時(shí)成立的條件是_解析：若ab0，由ab兩邊同除以ab得，即；若ab0，則.所以ab和同時(shí)成立的條件是a0b.答案：a0b9用一段長(zhǎng)為30 m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18 cm，要求菜園的面積不小于216 m2，靠墻的一邊長(zhǎng)為x m，其中的不等關(guān)系可用不等式(組)表示為_(kāi)解析：矩形靠墻的一邊長(zhǎng)為x m，則另一邊長(zhǎng)為 m，即 m，根據(jù)題意知答案：10已知二次函數(shù)yf(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且1f(1)2，3f(1)4，則f(2)的取值范圍是_解析：因?yàn)閒(x)過(guò)原點(diǎn)，所以設(shè)f(x)ax2bx(a0)由得所以f(2)4a2b3f(1)f(1)又所以63f(1)f(1)10，即f(2)的取值范圍是6，10答案：6，1011(2020·嘉興期中)已知a，b是正數(shù)，且ab，比較a3b3與a2bab2的大小解：(a3b3)(a2bab2)(a3a2b)(b3ab2)a2(ab)b2(ba)(ab)(a2b2)(ab)2(ab)，因?yàn)閍b，a0，b0，所以(ab)2(ab)0，所以a3b3a2bab2.12已知ab0，m0且ma.試比較：與的大小解：.因?yàn)閍>b>0，m>0.所以ab>0，m(ab)>0.(1)當(dāng)a>m時(shí)，a(am)>0，所以>0，即>0，故>.(2)當(dāng)a<m時(shí)，a(am)<0.所以<0，即<0，故<.綜合題組練1(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)已知a>0且a1，則“ab>1”是“(a1)b>0”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選C.由ab>1或由(a1)b>0或又a>0且a1，所以“ab>1”是“(a1)b>0”的充要條件2若a>b>0，且ab1，則下列不等式成立的是()Aa<<log2(ab)B.<log2(ab)<aCa<log2(ab)<Dlog2(ab)<a<解析：選B.根據(jù)題意，令a2，b進(jìn)行驗(yàn)證，易知a4，log2(ab)log21，因此alog2(ab).3已知存在實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足ab2>a>ab，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_解析：因?yàn)閍b2>a>ab，所以a0，當(dāng)a>0時(shí)，b2>1>b，即解得b<1；當(dāng)a<0時(shí)，b2<1<b，即無(wú)解綜上可得b<1.答案：(，1)4已知1lg(xy)4，1lg 2，則lg 的取值范圍是_解析：由1lg(xy)4，1lg 2得1lg xlg y4，1lg xlg y2，而lg 2lg xlg y(lg xlg y)(lg xlg y)，所以1lg 5.答案：1，55(2020·金華十校聯(lián)考)某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車(chē)前往，甲車(chē)隊(duì)說(shuō)：“如領(lǐng)隊(duì)買(mǎi)全票一張，其余人可享受7.5 折優(yōu)惠”，乙車(chē)隊(duì)說(shuō)：“你們屬團(tuán)體票，按原價(jià)的8折優(yōu)惠”這兩車(chē)隊(duì)的原價(jià)、車(chē)型都是一樣的，試根據(jù)單位的人數(shù)，比較兩車(chē)隊(duì)的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠解：設(shè)該單位職工有n人(nN*)，全票價(jià)為x元，坐甲車(chē)需花y1元，坐乙車(chē)需花y2元，則y1xx·(n1)xnx，y2nx.因?yàn)閥1y2xnxnxxnxx，當(dāng)n5時(shí)，y1y2；當(dāng)n>5時(shí)，y1<y2；當(dāng)n<5時(shí)，y1>y2.因此當(dāng)單位去的人數(shù)為5人時(shí)，兩車(chē)隊(duì)收費(fèi)相同；多于5人時(shí)，選甲車(chē)隊(duì)更優(yōu)惠；少于5人時(shí)，選乙車(chē)隊(duì)更優(yōu)惠6設(shè)不等式a對(duì)一切x0，y0恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值解：原題即a對(duì)一切x0，y0恒成立，設(shè)A，A212，當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)锳0，所以0A ，即A有最大值.所以當(dāng)a 時(shí)，a對(duì)一切x0，y0恒成立所以a的最小值為.13