（贛豫陜）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合 1 第1課時(shí) 集合的含義學(xué)案 北師大版必修1

第1課時(shí)集合的含義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解集合與元素的含義.2.理解集合中元素的特征，并能利用它們進(jìn)行解題.3.理解集合與元素的關(guān)系.4.掌握數(shù)學(xué)中一些常見的集合及其記法知識(shí)點(diǎn)一集合的概念(1)集合：一般地，指定的某些對(duì)象的全體稱為集合集合常用大寫字母A，B，C，D，標(biāo)記(2)元素：集合中的每個(gè)對(duì)象叫作這個(gè)集合的元素常用小寫字母a，b，c，d，表示集合中的元素知識(shí)點(diǎn)二元素與集合的關(guān)系思考1是整數(shù)嗎？是整數(shù)嗎？有沒有這樣一個(gè)數(shù)，它既是整數(shù)，又不是整數(shù)？答案1是整數(shù)；不是整數(shù)；沒有梳理元素與集合的關(guān)系有且只有兩種，分別為屬于、不屬于，數(shù)學(xué)符號(hào)分別為、.知識(shí)點(diǎn)三元素的三個(gè)特性思考1某班所有的“帥哥”能否構(gòu)成一個(gè)集合？某班身高高于175厘米的男生能否構(gòu)成一個(gè)集合？集合元素確定性的含義是什么？答案某班所有的“帥哥”不能構(gòu)成集合，因“帥哥”無明確的標(biāo)準(zhǔn)高于175厘米的男生能構(gòu)成一個(gè)集合，因標(biāo)準(zhǔn)確定元素確定性的含義：集合中的元素必須是確定的，也就是說，給定一個(gè)集合A，那么任何一個(gè)對(duì)象a是不是這個(gè)集合中的元素就確定了思考2構(gòu)成單詞“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少個(gè)？答案2個(gè)集合中的元素互不相同，這叫元素的互異性思考3“中國的直轄市”構(gòu)成的集合中，元素包括哪些？甲同學(xué)說：“北京、上海、天津、重慶”；乙同學(xué)說：“上海、北京、重慶、天津”，他們的回答都正確嗎？由此說明什么？怎么說明兩個(gè)集合相等？答案兩個(gè)同學(xué)都說出了中國直轄市的所有城市，因此兩個(gè)同學(xué)的回答都是正確的由此說明，集合中的元素是無先后順序的，這就是元素的無序性只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素一樣，我們就稱這兩個(gè)集合是相等的梳理元素的三個(gè)特性是指確定性、互異性、無序性知識(shí)點(diǎn)四常用數(shù)集及表示符號(hào)名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN或N*ZQR1yx1上所有點(diǎn)構(gòu)成集合A，則點(diǎn)(1,2)A.()20N但0N.()3由形如2k1，其中kZ的數(shù)組成集合A，則4k1A.(×)類型一判斷給定的對(duì)象能否構(gòu)成集合例1考察下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合(1)不超過20的非負(fù)數(shù)；(2)方程x290在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解；(3)某班的所有高個(gè)子同學(xué)；(4)的近似值的全體考點(diǎn)集合的概念題點(diǎn)集合的概念解(1)對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)能判斷出是不是“不超過20的非負(fù)數(shù)”，所以能構(gòu)成集合(2)能構(gòu)成集合(3)“高個(gè)子”無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于某個(gè)人算不算高個(gè)子無法客觀地判斷，因此不能構(gòu)成一個(gè)集合(4)“的近似值”不明確精確到什么程度，因此很難判斷一個(gè)數(shù)如“2”是不是它的近似值，所以不能構(gòu)成集合反思與感悟判斷給定的對(duì)象能不能構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于是否給出一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，使得對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象，都能按此標(biāo)準(zhǔn)確定它是不是給定集合的元素跟蹤訓(xùn)練1下列各組對(duì)象可以組成集合的是()A數(shù)學(xué)必修1課本中所有的難題B小于8的所有素?cái)?shù)C直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)D所有小的正數(shù)考點(diǎn)集合的概念題點(diǎn)集合的概念答案B解析A中“難題”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，不能構(gòu)成集合；B能構(gòu)成集合；C中“一些點(diǎn)”無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于某個(gè)點(diǎn)是否在“一些點(diǎn)”中無法確定，因此“直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)”不能構(gòu)成集合；D中沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，所以不能構(gòu)成集合類型二元素與集合的關(guān)系命題角度1判定元素與集合的關(guān)系例2給出下列關(guān)系：R；Q；|3|N；|Q；0N，其中正確的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D4考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)判斷元素與集合的關(guān)系答案B解析是實(shí)數(shù)，對(duì)；不是有理數(shù)，對(duì)；|3|3是自然數(shù)，錯(cuò)；|為無理數(shù)，錯(cuò)；0是自然數(shù)，錯(cuò)故選B.反思與感悟要判斷元素與集合的關(guān)系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用數(shù)集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的條件跟蹤訓(xùn)練2用符號(hào) “”或“”填空_R；3_Q；1_N；_Z.考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)判斷元素與集合的關(guān)系答案命題角度2根據(jù)已知的元素與集合的關(guān)系推理例3集合A中的元素x滿足N，xN，則集合A中的元素為_考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)伴隨元素問題答案0,1,2解析xN，N，0x2且xN.當(dāng)x0時(shí)，2N；當(dāng)x1時(shí)，3N；當(dāng)x2時(shí)，6N.A中元素有0,1,2.反思與感悟判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法(1)直接法使用前提：集合中的元素是直接給出的判斷方法：首先明確集合是由哪些元素構(gòu)成，然后再判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)(2)推理法使用前提：對(duì)于某些不便直接表示的集合判斷方法：首先明確已知集合的元素具有什么特征，然后判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征跟蹤訓(xùn)練3已知集合A中的元素x滿足2xa>0，aR，若1A,2A，則()Aa>4 Ba2C4<a<2 D4<a2考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)由元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍答案D解析1A，2×1a0，a2.又2A，2×2a>0，a>4，4<a2.類型三元素的三個(gè)特性的應(yīng)用例4已知集合A有三個(gè)元素：a3,2a1，a21，集合B也有三個(gè)元素：0,1，x.(1)若3A，求a的值；(2)若x2B，求實(shí)數(shù)x的值；(3)是否存在實(shí)數(shù)a，x，使集合A與集合B中元素相同考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)由元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的值解(1)由3A且a211，可知a33或2a13，當(dāng)a33時(shí)，a0；當(dāng)2a13時(shí)，a1.經(jīng)檢驗(yàn)，0與1都符合要求a0或1.(2)當(dāng)x0,1，1時(shí)，都有x2B，但考慮到集合元素的互異性，x0，x1，故x1.(3)顯然a210.由集合元素的無序性，只可能a30或2a10.若a30，則a3，A包含的元素為0,5,10，與集合B中元素不相同若2a10，則a，A包含的元素為0，與集合B中元素不相同故不存在實(shí)數(shù)a，x，使集合A與集合B中元素相同反思與感悟元素的無序性主要體現(xiàn)在：給出元素屬于某集合，則它可能表示集合中的任一元素；給出兩集合元素相同，則其中的元素不一定按順序?qū)?yīng)相等元素的互異性主要體現(xiàn)在求出參數(shù)后要代入檢驗(yàn)，同一集合中的元素要互不相等跟蹤訓(xùn)練4已知集合M中含有三個(gè)元素：a，1，集合N中含有三個(gè)元素：a2，ab,0，若集合M與集合N中元素相同，求a，b的值考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)由元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的值解集合M與集合N中元素相同解得或由集合中元素的互異性，得a1，a1，b0.1下列給出的對(duì)象中，能組成集合的是()A一切很大的數(shù)B好心人C漂亮的小女孩D方程x210的實(shí)數(shù)根考點(diǎn)集合的概念題點(diǎn)集合的概念答案D2下面說法正確的是()A所有在N中的元素都在N中B所有不在N中的數(shù)都在Z中C所有不在Q中的實(shí)數(shù)都在R中D方程4x8的解既在N中又在Z中考點(diǎn)常用的數(shù)集及表示題點(diǎn)常用的數(shù)集及表示答案C3由“book中的字母”構(gòu)成的集合中元素的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D4考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)集合中元素的個(gè)數(shù)答案C4下列結(jié)論不正確的是()A0N B.Q C0Q D1Z考點(diǎn)常用的數(shù)集及表示題點(diǎn)常用的數(shù)集及表示答案C5已知集合A是由0，m，m23m2三個(gè)元素組成的集合，且2A，則實(shí)數(shù)m的值為()A2 B3C0或3 D0,2,3均可考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)由元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的值答案B解析由2A可知：若m2，則m23m20，這與m23m20相矛盾；若m23m22，則m0或m3，當(dāng)m0時(shí)，與m0相矛盾，當(dāng)m3時(shí)，此時(shí)集合A的元素為0,3,2，符合題意1考察對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合，就是要看是否有一個(gè)確定的特征(或標(biāo)準(zhǔn))，依此特征(或標(biāo)準(zhǔn))能確定任何一個(gè)個(gè)體是否屬于這個(gè)總體如果有，能構(gòu)成集合；如果沒有，就不能構(gòu)成集合2元素a與集合A之間只有兩種關(guān)系：aA，aA.3集合中元素的三個(gè)特性(1)確定性：指的是作為一個(gè)集合中的元素，必須是確定的，即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素屬不屬于這個(gè)集合是確定的要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個(gè)特性通常被用來判斷涉及的總體是否構(gòu)成集合(2)互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說，對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不同的(3)無序性：集合與其中元素的排列順序無關(guān)，如由元素a，b，c與由元素b，a，c組成的集合是相等的集合這個(gè)性質(zhì)通常用來判斷兩個(gè)集合的關(guān)系.一、選擇題1已知集合A由滿足x<1的數(shù)x構(gòu)成，則有()A3A B1A C0A D1A考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)判斷元素與集合的關(guān)系答案C解析很明顯3,1不滿足不等式，而0，1滿足不等式2由實(shí)數(shù)x，x，|x|，所組成的集合，最多含()A2個(gè)元素 B3個(gè)元素C4個(gè)元素 D5個(gè)元素考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)集合中元素的個(gè)數(shù)答案A解析由于|x|±x，|x|，x，并且x，x，|x|之中總有兩個(gè)相等，所以最多含2個(gè)元素3下列結(jié)論中，不正確的是()A若aN，則aN B若aZ，則a2ZC若aQ，則|a|Q D若aR，則R考點(diǎn)常用的數(shù)集及表示題點(diǎn)常用的數(shù)集及表示答案A解析A不對(duì)反例：0N，0N.4已知x，y為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值所組成的集合是M，則下列判斷正確的是()A0M B1MC2M D2M考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)判斷元素與集合的關(guān)系答案D解析當(dāng)x，y為正數(shù)時(shí)，代數(shù)式的值為2；當(dāng)x，y為一正一負(fù)時(shí)，代數(shù)式的值為0；當(dāng)x，y均為負(fù)數(shù)時(shí)，代數(shù)式的值為2，所以集合M的元素共有3個(gè)：2,0,2，故選D.5已知集合S中三個(gè)元素a，b，c是ABC的三邊長，那么ABC一定不是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D等腰三角形考點(diǎn)集合中元素的特征題點(diǎn)集合中參數(shù)的取值范圍答案D解析由元素的互異性知a，b，c均不相等6已知A中元素x滿足x3k1，kZ，則下列表示正確的是()A1A B11AC3k21A D34A考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)判斷元素與集合的關(guān)系答案C解析令3k11，解得k0Z，1A.令3k111，解得kZ，11A；kZ，k2Z，3k21A.令3k134，解得k11Z，34A.二、填空題7在方程x24x40的解集中，有_個(gè)元素考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)集合中元素的個(gè)數(shù)答案1解析易知方程x24x40的解為x1x22，由集合元素的互異性知，方程的解集中只有1個(gè)元素8下列所給關(guān)系正確的個(gè)數(shù)是_R；Q；0N；|4|N.考點(diǎn)常用的數(shù)集及表示題點(diǎn)常用的數(shù)集及表示答案2解析是實(shí)數(shù)，是無理數(shù)，0不是正整數(shù)，|4|4是正整數(shù)，正確，不正確，正確的個(gè)數(shù)為2.9如果有一個(gè)集合含有三個(gè)元素：1，x，x2x，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_考點(diǎn)集合中元素的特征題點(diǎn)集合中參數(shù)的取值范圍答案x0,1,2，解析由集合元素的互異性可得x1，x2x1，x2xx，解得x0,1,2，.10已知集合P中元素x滿足：xN，且2xa，又集合P中恰有三個(gè)元素，則整數(shù)a_.考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)由元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的值答案6解析xN,2xa，且P中只有三個(gè)元素，結(jié)合數(shù)軸知a6.三、解答題11已知集合A是由a2,2a25a,12三個(gè)元素組成的，且3A，求實(shí)數(shù)a的值考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)由元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的值解由3A，可得3a2或32a25a，a1或a.當(dāng)a1時(shí)，a23,2a25a3，不滿足集合中元素的互異性，故a1舍去當(dāng)a時(shí)，a2，2a25a3，滿足題意實(shí)數(shù)a的值為.12已知集合A含有兩個(gè)元素a3和2a1，aR.若aA，試求實(shí)數(shù)a的值考點(diǎn)集合中元素的特征題點(diǎn)集合中參數(shù)的取值范圍解因?yàn)閍A，所以aa3或a2a1.當(dāng)aa3時(shí)，有03，不成立；當(dāng)a2a1時(shí)，有a1，此時(shí)A中有兩個(gè)元素2,1，符合題意綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)a的值為1.13數(shù)集A滿足條件：若aA，則A(a1)(1)若2A，試求出A中其他所有元素；(2)自己設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)屬于A，然后求出A中其他所有元素；(3)從上面的解答過程中，你能悟出什么道理？并大膽證明你發(fā)現(xiàn)的“道理”考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)伴隨元素問題解(1)2A，則A，即1A，則A，即A，則A，即2A，所以A中其他所有元素為1，.(2)如：若3A，則A中其他所有元素為，.(3)分析以上結(jié)果可以得出：A中只能有3個(gè)元素，它們分別是a，(a0，且a1)，且三個(gè)數(shù)的乘積為1.證明如下：若aA，a1，則有A且1，所以又有A且1，進(jìn)而有aA.又因?yàn)閍(因?yàn)槿鬭，則a2a10，而方程a2a10無解)，同理，a.又因?yàn)閍··1，所以A中只能有3個(gè)元素，它們分別是a，(a0，且a1)，且三個(gè)數(shù)的乘積為1.四、探究與拓展14已知集合A中有3個(gè)元素a，b，c，其中任意2個(gè)不同元素的和的集合中的元素是1,2,3.則集合A中的任意2個(gè)不同元素的差的絕對(duì)值的集合中的元素是_考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)根據(jù)新定義求集合答案1,2解析由題意知解得集合A0,1,2，則集合A中的任意2個(gè)不同元素的差的絕對(duì)值分別是1,2.故集合A中的任意2個(gè)不同元素的差的絕對(duì)值的集合是1,215已知集合A中的元素x均滿足xm2n2(m，nZ)，求證：(1)3A；(2)偶數(shù)4k2(kZ)不屬于集合A.考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)判斷元素與集合的關(guān)系證明(1)令m2Z，n1Z，得xm2n2413，所以3A.(2)假設(shè)4k2A，則存在m，nZ，使4k2m2n2(mn)(mn)成立當(dāng)m，n為同奇或同偶時(shí)，mn，mn均為偶數(shù)，所以(mn)(mn)為4的倍數(shù)與4k2不是4的倍數(shù)矛盾當(dāng)m，n為一奇一偶時(shí)，mn，mn均為奇數(shù)，所以(mn)(mn)為奇數(shù)，與4k2是偶數(shù)矛盾所以假設(shè)不成立綜上，4k2A.12