（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 1.2 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件講義 文

第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件一、基礎(chǔ)知識(shí)批注理解深一點(diǎn)1命題的概念用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題其中判斷為真的語(yǔ)句叫做真命題，判斷為假的語(yǔ)句叫做假命題. 2四種命題及其相互關(guān)系3充分條件、必要條件與充要條件(1)如果pq，則p是q的充分條件；A是B的充分不必要條件是指：AB且BA；A的充分不必要條件是B是指：BA且AB，在解題中要弄清它們的區(qū)別，以免出現(xiàn)錯(cuò)誤(2)如果qp，則p是q的必要條件；(3)如果既有pq，又有qp，記作pq，則p是q的充要條件充要關(guān)系與集合的子集之間的關(guān)系設(shè)Ax|p(x)，Bx|q(x)，若AB，則p是q的充分條件，q是p的必要條件若AB，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件若AB，則p是q的充要條件二、常用結(jié)論匯總規(guī)律多一點(diǎn)1四種命題中的等價(jià)關(guān)系原命題等價(jià)于逆否命題，否命題等價(jià)于逆命題，所以在命題不易證明時(shí)，往往找等價(jià)命題進(jìn)行證明2等價(jià)轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件p是q的充分不必要條件，等價(jià)于綈q是綈p的充分不必要條件其他情況以此類(lèi)推三、基礎(chǔ)小題強(qiáng)化功底牢一點(diǎn)(1)“x22x8<0”是命題()(2)一個(gè)命題非真即假()(3)四種形式的命題中，真命題的個(gè)數(shù)為0或2或4.()(4)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則綈q”()答案：(1)×(2)(3)(4)×(二)選一選1“x3”是“x23x0”的()A充要條件 B必要不充分條件C充分不必要條件 D既不充分也不必要條件解析：選C由x23x0，解得x3或x0，則當(dāng)“x3”時(shí)一定有“x23x0”，反之不一定成立，所以“x3”是“x23x0”的充分不必要條件2命題“若a>b，則ac>bc”的否命題是()A若ab，則acbc B若acbc，則abC若ac>bc，則a>b D若a>b，則acbc解析：選A命題的否命題是將原命題的條件和結(jié)論均否定，所以題中命題的否命題為“若ab，則acbc”3(2018·唐山一模)若xR，則“x>1”是“<1”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A當(dāng)x>1時(shí)，<1成立，而當(dāng)<1時(shí)，x>1或x<0，所以“x>1”是“<1”的充分不必要條件(三)填一填4“若a，b都是偶數(shù)，則ab是偶數(shù)”的逆否命題為_(kāi)解析：“a，b都是偶數(shù)”的否定為“a，b不都是偶數(shù)”，“ab是偶數(shù)”的否定為“ab不是偶數(shù)”，故其逆否命題為“若ab不是偶數(shù)，則a，b不都是偶數(shù)”答案：若ab不是偶數(shù)，則a，b不都是偶數(shù)5設(shè)向量a(x1，x)，b(x2，x4)，則“ab”是“x2”的_條件解析：a(x1，x)，b(x2，x4)，若ab，則a·b0，即(x1)(x2)x(x4)0，解得x2或x，x2ab，反之a(chǎn)bx2或x，“ab”是“x2”的必要不充分條件答案：必要不充分 典例(2019·菏澤模擬)有以下命題：“若xy1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；“面積相等的兩個(gè)三角形全等”的否命題；“若m1，則x22xm0有實(shí)數(shù)解”的逆否命題；“若ABB，則AB”的逆否命題其中真命題是()ABC D解析原命題的逆命題為“若x，y互為倒數(shù)，則xy1”，是真命題；原命題的否命題為“面積不相等的兩個(gè)三角形不全等”，是真命題；若m1，44m0，所以原命題是真命題，故其逆否命題也是真命題；由ABB，得BA，所以原命題是假命題，故其逆否命題也是假命題，故正確答案D解題技法1由原命題寫(xiě)出其他三種命題的方法由原命題寫(xiě)出其他三種命題，關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論，將條件與結(jié)論互換即得逆命題，將條件與結(jié)論同時(shí)否定即得否命題，將條件與結(jié)論互換的同時(shí)進(jìn)行否定即得逆否命題2判斷命題真假的2種方法直接判斷判斷一個(gè)命題為真命題，要給出嚴(yán)格的推理證明；說(shuō)明一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可間接判斷根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假提醒(1)對(duì)于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫(xiě)；(2)當(dāng)命題有大前提時(shí)，寫(xiě)其他三種命題時(shí)需保留大前提題組訓(xùn)練1(2019·長(zhǎng)春質(zhì)監(jiān))命題“若x2<1，則1<x<1”的逆否命題是()A若x21，則x1或x1B若1<x<1，則x2<1C若x>1或x<1，則x2>1D若x1或x1，則x21解析：選D命題的形式是“若p，則q”，由逆否命題的知識(shí)，可知其逆否命題是“若綈q，則綈p”的形式，所以“若x2<1，則1<x<1”的逆否命題是“若x1或x1，則x21”2已知集合P，Q，記原命題：“xP，則xQ”，那么，在原命題及其逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為()A0 B1C2 D4解析：選C因?yàn)镻，Q，所以PQ，所以原命題“xP，則xQ”為真命題，則原命題的逆否命題為真命題原命題的逆命題“xQ，則xP”為假命題，則原命題的否命題為假命題，所以真命題的個(gè)數(shù)為2. 典例(1)(2019·湖北八校聯(lián)考)若a，b，c，dR，則“adbc”是“a，b，c，d依次成等差數(shù)列”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件(2)(2018·天津高考)設(shè)xR，則“”是“x31”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件(3)已知p：xy2，q：x，y不都是1，則p是q的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析(1)定義法當(dāng)a1，b0，c3，d4時(shí)，adbc，但此時(shí)a，b，c，d不成等差數(shù)列；而當(dāng)a，b，c，d依次成等差數(shù)列時(shí)，由等差數(shù)列的性質(zhì)知adbc.所以“adbc”是“a，b，c，d依次成等差數(shù)列”的必要不充分條件，故選B.(2)集合法由，得0x1，則0x31，即“”“x31”；由x31，得x1，當(dāng)x0時(shí)，即“x31” “”所以“”是“x31”的充分而不必要條件(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法因?yàn)閜：xy2，q：x1或y1，所以綈p：xy2，綈q：x1且y1，因?yàn)榻恞綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件答案(1)B(2)A(3)A解題技法判斷充分、必要條件的3種方法利用定義判斷直接判斷“若p，則q”“若q，則p”的真假在判斷時(shí)，確定條件是什么、結(jié)論是什么從集合的角度判斷利用集合中包含思想判定抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范圍，即可解決充分必要性的問(wèn)題利用等價(jià)轉(zhuǎn)化法條件和結(jié)論帶有否定性詞語(yǔ)的命題，常轉(zhuǎn)化為其逆否命題來(lái)判斷真假提醒判斷條件之間的關(guān)系要注意條件之間關(guān)系的方向，要注意“A是B的充分不必要條件”與“A的充分不必要條件是B”的區(qū)別，要正確理解“p的一個(gè)充分不必要條件是q”的含義題組訓(xùn)練1.已知xR，則“x<1”是“x2<1”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B若x2<1，則1<x<1，(，1)(1,1)，“x<1”是“x2<1”的必要不充分條件2.(2018·南昌調(diào)研)已知m，n為兩個(gè)非零向量，則“m·n<0”是“m與n的夾角為鈍角”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B設(shè)m，n的夾角為，若m，n的夾角為鈍角，則<<，則cos <0，則m·n<0成立；當(dāng)時(shí)，m·n|m|·|n|<0成立，但m，n的夾角不為鈍角故“m·n<0”是“m與n的夾角為鈍角”的必要不充分條件3.“xy1”是“x1或y1”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A設(shè)p：xy1，q：x1或y1，則綈p：xy1，綈q：x1且y1.可知綈q綈p，綈p綈q，即綈q是綈p的充分不必要條件故p是q的充分不必要條件，即“xy1”是“x1或y1”的充分不必要條件 考點(diǎn)三根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的范圍典例已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要條件，則m的取值范圍是_解析由x28x200，得2x10，所以Px|2x10，由xP是xS的必要條件，知SP.則所以0m3.所以當(dāng)0m3時(shí)，xP是xS的必要條件，即所求m的取值范圍是0,3答案0,3變透練清1.若本例條件不變，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m，使xP是xS的充要條件解：若xP是xS的充要條件，則PS，所以解得即不存在實(shí)數(shù)m，使xP是xS的充要條件2.若本例將條件“若xP是xS的必要條件”變?yōu)椤叭艚怭是綈S的必要不充分條件”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：由例題知Px|2x10，綈P是綈S的必要不充分條件，S是P的必要不充分條件，PS且SP.2,101m,1m或m9，即m的取值范圍是9，)解題技法根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍的方法(1)解決此類(lèi)問(wèn)題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解(2)求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號(hào)決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象1已知命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”，命題q：“若a不是正數(shù)，則它的平方等于0”，則q是p的()A逆命題B否命題C逆否命題 D否定解析：選B命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”可寫(xiě)成“若a是正數(shù)，則它的平方不等于0”，從而q是p的否命題2命題“若x23x40，則x4”的逆否命題及其真假性為()A“若x4，則x23x40”為真命題B“若x4，則x23x40”為真命題C“若x4，則x23x40”為假命題D“若x4，則x23x40”為假命題解析：選C根據(jù)逆否命題的定義可以排除A、D，因?yàn)閤23x40，所以x4或1，故原命題為假命題，即逆否命題為假命題3原命題為“若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則|z1|z2|”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是()A真，假，真B假，假，真C真，真，假 D假，假，假解析：選B當(dāng)z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)z1abi(a，bR)，則z2abi，則|z1|z2|，所以原命題為真，故其逆否命題為真取z11，z2i，滿足|z1|z2|，但是z1，z2不互為共軛復(fù)數(shù)，所以其逆命題為假，故其否命題也為假4(2018·北京高考)設(shè)a，b，c，d是非零實(shí)數(shù)，則“adbc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：選Ba，b，c，d是非零實(shí)數(shù)，若a<0，d<0，b>0，c>0，且adbc，則a，b，c，d不成等比數(shù)列(可以假設(shè)a2，d3，b2，c3)若a，b，c，d成等比數(shù)列，則由等比數(shù)列的性質(zhì)可知adbc.所以“adbc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的必要而不充分條件5已知命題：如果x<3，那么x<5；命題：如果x3，那么x5；命題：如果x5，那么x3.關(guān)于這三個(gè)命題之間的關(guān)系中，下列說(shuō)法正確的是()命題是命題的否命題，且命題是命題的逆命題；命題是命題的逆命題，且命題是命題的否命題；命題是命題的否命題，且命題是命題的逆否命題A BC D解析：選A本題考查命題的四種形式，逆命題是把原命題中的條件和結(jié)論互換，否命題是把原命題的條件和結(jié)論都加以否定，逆否命題是把原命題中的條件與結(jié)論先都否定然后互換所得，故正確，錯(cuò)誤，正確6(2018·北京高考)設(shè)a，b均為單位向量，則“|a3b|3ab|”是“ab”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：選C由|a3b|3ab|，得(a3b)2(3ab)2，即a29b26a·b9a2b26a·b.因?yàn)閍，b均為單位向量，所以a2b21，所以a·b0，能推出ab.由ab得|a3b|，|3ab|，能推出|a3b|3ab|，所以“|a3b|3ab|”是“ab”的充分必要條件7如果x，y是實(shí)數(shù)，那么“xy”是“cos xcos y”的()A充要條件 B充分不必要條件C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件解析：選C設(shè)集合A(x，y)|xy，B(x，y)|cos xcos y，則A的補(bǔ)集C(x，y)|xy，B的補(bǔ)集D(x，y)|cos xcos y，顯然CD，所以BA.于是“xy”是“cos xcos y”的必要不充分條件8(2019·湘東五校聯(lián)考)“不等式x2xm>0在R上恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是()Am> B0<m<1Cm>0 Dm>1解析：選C若不等式x2xm>0在R上恒成立，則(1)24m<0，解得m>，因此當(dāng)不等式x2xm>0在R上恒成立時(shí)，必有m>0，但當(dāng)m>0時(shí)，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分條件可以是m>0.9在ABC中，“AB”是“tan Atan B”的_條件解析：由AB，得tan Atan B，反之，若tan Atan B，則ABk，kZ.0A，0<B<，AB，故“AB”是“tan Atan B”的充要條件答案：充要10在命題“若mn，則m2n2”的逆命題、否命題、逆否命題中，假命題的個(gè)數(shù)是_解析：若m2，n3，則2>3，但22<32，所以原命題為假命題，則逆否命題也為假命題，若m3，n2，則(3)2>(2)2，但3<2，所以逆命題是假命題，則否命題也是假命題故假命題的個(gè)數(shù)為3.答案：311已知p(x)：x22xm>0，若p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)解析：因?yàn)閜(1)是假命題，所以12m0，解得m3.又p(2)是真命題，所以44m>0，解得m<8.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為3,8)答案：3,8)12(2019·齊魯名校調(diào)研)給出下列說(shuō)法：“若xy，則sin xcos y”的逆命題是假命題；“在ABC中，sin B>sin C是B>C的充要條件”是真命題；“a1”是“直線xay0與直線xay0互相垂直”的充要條件；命題“若x<1，則x22x3>0”的否命題為“若x1，則x22x30”以上說(shuō)法正確的是_(填序號(hào))解析：對(duì)于，“若xy，則sin xcos y”的逆命題是“若sin xcos y，則xy”，當(dāng)x0，y時(shí)，有sin xcos y成立，但xy，故逆命題為假命題，正確；對(duì)于，在ABC中，由正弦定理得sin B>sin Cb>cB>C，正確；對(duì)于，“a±1”是“直線xay0與直線xay0互相垂直”的充要條件，故錯(cuò)誤；對(duì)于，根據(jù)否命題的定義知正確答案：13寫(xiě)出命題“已知a，bR，若關(guān)于x的不等式x2axb0有非空解集，則a24b”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假解：(1)逆命題：已知a，bR，若a24b，則關(guān)于x的不等式x2axb0有非空解集，為真命題(2)否命題：已知a，bR，若關(guān)于x的不等式x2axb0沒(méi)有非空解集，則a2<4b，為真命題(3)逆否命題：已知a，bR，若a2<4b，則關(guān)于x的不等式x2axb0沒(méi)有非空解集，為真命題11