（魯京遼）2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 1.1.2 棱柱、棱錐和棱臺的結構特征學案 新人教B版必修2

1.1.2棱柱、棱錐和棱臺的結構特征學習目標1.認識組成我們生活世界的各種各樣的多面體.2.認識和把握棱柱、棱錐、棱臺的幾何結構特征.3.了解多面體可按哪些不同的標準分類，可以分成哪些類別知識點一多面體多面體的有關概念(1)多面體：由若干個平面多邊形所圍成的幾何體(2)多面體的相關概念面：圍成多面體的各個多邊形棱：相鄰的兩個面的公共邊頂點：棱和棱的公共點對角線：連接不在同一個面上的兩個頂點的線段截面：一個幾何體和一個平面相交所得到的平面圖形(包含它的內部)(3)凸多面體：把一個多面體的任意一個面延展為平面，如果其余的各面都在這個平面的同一側，則這樣的多面體就叫做凸多面體知識點二棱柱1棱柱的定義及表示名稱棱柱特征性質或定義條件：有兩個互相平行的面；夾在這兩個平行平面間的每相鄰兩個面的交線都互相平行圖形表示及相關名稱棱柱ABCDEABCDE(或棱柱AC)2.棱柱的分類(1)按底面多邊形的邊數(shù)棱柱(2)按側棱與底面是否垂直棱柱(3)特殊的四棱柱知識點三棱錐1棱錐的定義及表示名稱棱錐特征性質或定義條件：有一個面是多邊形；其余各面都是有一個公共頂點的三角形圖形表示及相關名稱棱錐SABCD(或棱錐SAC)2.棱錐的分類(1)按底面多邊形的邊數(shù)棱錐(2)特殊的棱錐正棱錐知識點四棱臺1棱臺的結構特征及分類名稱定義圖形及表示相關概念分類棱臺棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺如圖可記作：棱臺ABCABC上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫浩渌髅鎮(zhèn)壤猓合噜弮蓚让娴墓策吀撸簝傻酌骈g的距離由三棱錐、四棱錐、五棱錐截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺2.特殊的棱臺正棱臺：由正棱錐截得的棱臺1棱柱的側面都是平行四邊形()2有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐(×)3夾在兩個平行的平面之間，其余面都是梯形，這樣的幾何體一定是棱臺(×)類型一棱柱、棱錐、棱臺的有關概念例1(1)下列命題中正確的是()A棱柱的面中，至少有兩個面互相平行B棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面C在平行六面體中，任意兩個相對的面均互相平行，但平行六面體的任意兩個相對的面不一定可當作它的底面D棱柱的側面是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形(2)下列說法正確的序號是_棱錐的側面不一定是三角形；棱錐的各側棱長一定相等；棱臺的各側棱的延長線交于一點；有兩個面互相平行且相似，其余各面都是梯形，則此幾何體是棱臺答案(1)A(2)解析(1)正四棱柱中兩個相對側面互相平行，故B錯；平行六面體的任意兩個相對面可作底面，故C錯；棱柱的底面可以是平行四邊形，故D錯(2)棱錐的側面是有公共頂點的三角形，但是各側棱不一定相等，故不正確；棱臺是由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到的，故各個側棱的延長線一定交于一點，正確；棱臺的各條側棱必須交于一點，故不正確反思與感悟棱柱、棱錐、棱臺的結構特征(1)棱柱有兩個主要結構特征：一是有兩個面互相平行，二是各側棱都平行，各側面都是平行四邊形(2)棱錐有兩個主要結構特征：一是有一個面是多邊形，二是其余各面都是有一個公共頂點的三角形(3)棱臺的上、下底面平行且相似，各側棱延長交于一點跟蹤訓練1(1)下列命題：各側面為矩形的棱柱是長方體；直四棱柱是長方體；側棱與底面垂直的棱柱是直棱柱；各側面是矩形的直四棱柱為正四棱柱其中正確的是_(填序號)答案解析中一定為直棱柱但不一定是長方體；直四棱柱的底面可以是任意的四邊形，不一定是矩形；符合直棱柱的定義；中的棱柱為一般直棱柱，它的底面不一定為正方形(2)下列命題：各個側面是等腰三角形的四棱錐是正四棱錐；底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；棱錐的所有側面可以都是直角三角形；四棱錐的側面中最多有四個直角三角形；棱臺的側棱長都相等其中正確的命題有_(填序號)答案解析在四棱錐PABCD中，PAPBPCPD，底面ABCD為矩形，但不一定是正方形，這樣的棱錐就不是正四棱錐，因此錯誤；底面是正多邊形，但側棱長不一定都相等，這樣的棱錐也不一定是正棱錐，故錯誤；在三棱錐PABC中，PA垂直于平面ABC，ABC90°，則此三棱錐的所有側面都是直角三角形，故正確；在四棱錐PABCD中，PA垂直于平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，故正確；棱臺的側棱長不一定都相等，故錯誤類型二簡單幾何體中的計算問題例2正三棱錐的底面邊長為3，側棱長為2，求正三棱錐的高解作出正三棱錐如圖，SO為其高，連接AO，作ODAB于點D，則點D為AB的中點在RtADO中，AD，OAD30°，故AO.在RtSAO中，SA2，AO，故SO3，故三棱錐的高為3.引申探究1若本例條件不變，求正三棱錐的斜高解作出正三棱錐如圖，取AB的中點E，連接SE，則SE為該正三棱錐的斜高，在SAE中，SA2，AE，所以SE.2若將本例中“正三棱錐”改為“正四棱錐”，其他條件不變，求正四棱錐的高解如圖，在正四棱錐SABCD中，ABBCCDDA3，AC3，所以OC.在RtSOC中，SC2，所以SO.即正四棱錐的高為.反思與感悟(1)正棱錐中直角三角形的應用已知正棱錐如圖(以正四棱錐為例)，其高為PO，底面為正方形，作PECD于點E，則PE為斜高斜高、側棱構成直角三角形，如圖中RtPEC；斜高、高構成直角三角形，如圖中RtPOE；側棱、高構成直角三角形，如圖中RtPOC.(2)正棱臺中直角梯形的應用已知正棱臺如圖(以正四棱臺為例)，O1，O分別為上，下底面中心，作O1E1B1C1于點E1，OEBC于點E，則E1E為斜高斜高、側棱構成直角梯形，如圖中梯形E1ECC1；斜高、高構成直角梯形，如圖中梯形O1E1EO；高、側棱構成直角梯形，如圖中梯形O1OCC1.跟蹤訓練2已知正四棱臺的上、下底面面積分別為4、16，一側面面積為12，分別求該棱臺的斜高、高、側棱長解如圖，設O，O分別為上、下底面的中心，即OO為正四棱臺的高，E，F(xiàn)分別為BC，BC的中點，EFBC，即EF為斜高由上底面面積為4，上底面為正方形，可得 BC2；同理，BC4.四邊形BCCB的面積為12, ×(24)·EF12，EF4.過B作BHBC交BC于H，則BHBFBE211，BHEF4.在RtBBH中，BB.同理，在直角梯形OOFE中，計算出OO.綜上，該正四棱臺的側棱長為，斜高為4，高為.類型三多面體的展開圖例3如圖，在側棱長為2的正三棱錐VABC中，AVBBVCCVA40°，過點A作截面AEF，求截面AEF周長的最小值解沿著側棱VA把正三棱錐VABC展開在一個平面內，如圖則AA的長即為截面AEF周長的最小值，且AVA3×40°120°.在VAA中，AA2×2×6，故截面AEF周長的最小值為6.反思與感悟求幾何體表面上兩點間的最小距離(1)將幾何體沿著某棱剪開后展開，畫出其側面展開圖(2)將所求曲線問題轉化為平面上的線段問題(3)結合已知條件求得結果跟蹤訓練3如圖所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA12，由頂點B沿棱柱側面(經(jīng)過棱AA1)到達頂點C1，與AA1的交點記為M，則從點B經(jīng)點M到C1的最短路線長為()A2 B2 C4 D4答案B解析沿側棱BB1將正三棱柱的側面展開，得到一個矩形BB1B1B(如圖)由側面展開圖可知，當B，M，C1三點共線時，從點B經(jīng)過M到達C1的路線最短所以最短路線長為BC12.1觀察如圖所示的四個幾何體，其中判斷不正確的是()A是棱柱 B不是棱錐C不是棱錐 D是棱臺考點空間幾何體題點空間幾何體結構判斷答案B解析結合棱柱、棱錐、棱臺的定義可知是棱柱，是棱錐，是棱臺，不是棱錐，故B錯誤2下列說法中，正確的是()A有一個底面為多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體是棱錐B用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺C棱柱的側面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形答案A解析B錯，截面與底面平行時才能得棱臺；C錯，棱柱底面可能是平行四邊形；D錯，棱柱側面的平行四邊形不一定全等，如長方體3下列說法錯誤的是()A多面體至少有四個面B九棱柱有9條側棱，9個側面，側面為平行四邊形C長方體、正方體都是棱柱D三棱柱的側面為三角形答案D解析由于三棱柱的側面為平行四邊形，故D錯4正四棱錐SABCD的所有棱長都等于a，過不相鄰的兩條側棱作截面SAC，則截面面積為_答案a2解析ACa，由SASCa，則有SA2SC2AC2，ASC90°.所以SSAC·a·aa2.5對棱柱而言，下列說法正確的是_(填序號)有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形；所有的棱長都相等；棱柱中至少有2個面的形狀完全相同；相鄰兩個面的交線叫做側棱答案解析正確，根據(jù)棱柱的定義可知；錯誤，因為側棱與底面上棱長不一定相等；正確，根據(jù)棱柱的特征知，棱柱中上下兩個底面一定是全等的，棱柱中至少有兩個面的形狀完全相同；錯誤，因為底面和側面的交線不是側棱1在理解的基礎上，要牢記棱柱、棱錐、棱臺的定義，能夠根據(jù)定義判斷幾何體的形狀2(1)各種棱柱之間的關系棱柱的分類棱柱常見的幾種四棱柱之間的轉化關系(2)棱柱、棱錐、棱臺在結構上既有區(qū)別又有聯(lián)系，具體見下表：名稱底面?zhèn)让鎮(zhèn)壤飧咂叫杏诘酌娴慕孛胬庵崩庵叫星胰鹊膬蓚€多邊形平行四邊形平行且相等與底面全等直棱柱平行且全等的兩個多邊形矩形平行、相等且垂直于底面等于側棱與底面全等正棱柱平行且全等的兩個正多邊形全等的矩形平行、相等且垂直于底面等于側棱與底面全等棱錐正棱錐一個正多邊形全等的等腰三角形有一個公共頂點且相等過底面中心與底面相似其他棱錐一個多邊形三角形有一個公共頂點與底面相似棱臺正棱臺平行且相似的兩個正多邊形全等的等腰梯形相等且延長后交于一點與底面相似其他棱臺平行且相似的兩個多邊形梯形延長后交于一點與底面相似一、選擇題1下面幾何體中是棱柱的有()A3個 B4個 C5個 D6個答案C解析棱柱有三個特征：(1)有兩個面互相平行；(2)其余各面是四邊形；(3)側棱相互平行本題所給幾何體中，不符合棱柱的三個特征，而符合，故選C.2下面多面體中有12條棱的是()A四棱柱 B四棱錐C五棱錐 D五棱柱考點空間幾何體題點空間幾何體結構判斷答案A解析n棱柱共有3n條棱，n棱錐共有2n條棱，四棱柱共有12條棱；四棱錐共有8條棱；五棱錐共有10條棱；五棱柱共有15條棱故選A.3一棱柱有10個頂點，且所有側棱長之和為100，則其側棱長為()A10 B20 C5 D15答案B解析易知該棱柱為五棱柱，共有5條側棱，且側棱長相等，故其側棱長為20.4有兩個面平行的多面體不可能是()A棱柱 B棱錐C棱臺 D以上都錯考點空間幾何體題點空間幾何體結構判斷答案B解析由棱錐的結構特征可得5下列說法正確的是()A棱柱的底面一定是平行四邊形B棱錐的底面一定是三角形C棱錐被平面分成的兩部分不可能都是棱錐D棱柱被平面分成的兩部分可能都是棱柱答案D解析棱柱與棱錐的底面可以是任意多邊形，A、B不正確；過棱錐的頂點的縱截面可以把棱錐分成兩個棱錐，C不正確6如圖所示，在三棱臺ABCABC中，截去三棱錐AABC，則剩余部分是()A三棱錐 B四棱錐C三棱柱 D三棱臺考點棱錐的結構特征題點棱錐的結構特征的應用答案B解析由題圖知剩余的部分是四棱錐ABCCB.7已知集合A正方體，B長方體，C正四棱柱，D直平行六面體，則()AABCD BCABDCACBD D它們無確切包含關系答案C解析在這4種圖形中，包含元素最多的是直平行六面體，其次是長方體，最少的是正方體，其次是正四棱柱二、填空題8下圖中不可能圍成正方體的是_(填序號)答案9以三棱臺的頂點為三棱錐的頂點，這樣可以把一個三棱臺分成_個三棱錐答案3解析如圖，分割為A1ABC，BA1CC1，C1A1B1B，3個棱錐10若正四棱臺的上、下底面邊長分別是5和7，對角線長為9，則該棱臺的高為_答案3解析由題意，得正四棱臺的對角面為等腰梯形，其中上底長為5，下底長為7，對角線長為9，則高為3.11.如圖所示，對幾何體的說法正確的是_(填序號)這是一個六面體；這是一個四棱臺；這是一個四棱柱；此幾何體可由三棱柱截去一個三棱柱得到；此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱得到答案解析正確，因為有六個面，屬于六面體錯誤，因為側棱的延長線不能交于一點，所以不正確正確，如果把幾何體放倒就會發(fā)現(xiàn)是一個四棱柱都正確，如圖所示三、解答題12.如圖，在邊長為2a的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，沿圖中虛線將3個三角形折起，使點A，B，C重合，重合后記為點P.問：(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？(2)這個幾何體共有幾個面，每個面的三角形有何特點？(3)每個面的三角形面積為多少？解(1)如圖，折起后的幾何體是三棱錐(2)這個幾何體共有4個面，其中DEF為等腰三角形，PEF為等腰直角三角形，DPE和DPF均為直角三角形(3)SPEFa2，SDPFSDPE×2a×aa2，SDEFS正方形ABCDSPEFSDPFSDPE(2a)2a2a2a2a2.13試從正方體ABCDA1B1C1D1的八個頂點中任取若干，連接后構成以下空間幾何體，并且用適當?shù)姆柋硎境鰜?1)只有一個面是等邊三角形的三棱錐；(2)四個面都是等邊三角形的三棱錐；(3)三棱柱解(1)如圖所示，三棱錐A1AB1D1(答案不唯一)(2)如圖所示，三棱錐B1ACD1(答案不唯一)(3)如圖所示，三棱柱A1B1D1ABD(答案不唯一)四、探究與拓展14.如圖，已知正三棱錐PABC的側棱長為，底面邊長為，Q是側棱PA的中點，一條折線從A點出發(fā)，繞側面一周到Q點，則這條折線長度的最小值為_答案解析沿著棱PA把三棱錐展開成平面圖形，所求的折線長度的最小值就是線段AQ的長度，令PAB，則60°，在展開圖中，AQ.15給出兩塊正三角形紙片(如圖所示)，要求將其中一塊剪拼成一個底面為正三角形的三棱錐模型，另一塊剪拼成一個底面是正三角形的三棱柱模型，請設計一種剪拼方案，分別用虛線標示在圖中，并作簡要說明考點棱錐的結構特征題點棱錐的結構特征的應用解如圖(1)所示，沿正三角形三邊中點連線折起，可拼得一個底面為正三角形的三棱錐如圖(2)所示，正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形，其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的，有一組對角為直角，余下部分按虛線三角形的邊折成，可成為一個缺上底的底面為正三角形的三棱柱，而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個底面為正三角形的棱柱的上底.17