（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.11 函數(shù)與方程講義 文

第十一節(jié)函數(shù)與方程一、基礎(chǔ)知識批注理解深一點1函數(shù)的零點(1)零點的定義：對于函數(shù)yf(x)，我們把使f(x)0的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(2)零點的幾個等價關(guān)系：方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點函數(shù)的零點不是函數(shù)yf(x)與x軸的交點，而是yf(x)與x軸交點的橫坐標(biāo)，也就是說函數(shù)的零點不是一個點，而是一個實數(shù).2函數(shù)的零點存在性定理如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根函數(shù)零點的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，而不能判斷函數(shù)的不變號零點，而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分不必要條件.3二分法的定義對于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法二、常用結(jié)論匯總規(guī)律多一點有關(guān)函數(shù)零點的結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號三、基礎(chǔ)小題強(qiáng)化功底牢一點(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點()(2)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)<0.()(3)只要函數(shù)有零點，我們就可以用二分法求出零點的近似值()(4)二次函數(shù)yax2bxc(a0)在b24ac0時沒有零點()(5)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)·f(b)0，則函數(shù)f(x)在a，b上有且只有一個零點()答案：(1)×(2)×(3)×(4)(5)(二)選一選1已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應(yīng)值表：x12345f(x)42147在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)必有零點的區(qū)間為()A(1,2)B(2,3)C(3,4) D(4,5)解析：選B由所給的函數(shù)值的表格可以看出，x2與x3這兩個數(shù)字對應(yīng)的函數(shù)值的符號不同，即f(2)·f(3)<0，所以函數(shù)f(x)在(2,3)內(nèi)有零點2函數(shù)f(x)(x1)ln(x2)的零點有()A0個 B1個C2個 D3個解析：選B由x2>0，得x>2，所以函數(shù)f(x)的定義域為(2，)，所以當(dāng)f(x)0，即(x1)ln(x2)0時，解得x1(舍去)或x3.3函數(shù)f(x)ln x的零點所在的大致區(qū)間是()A(1,2) B(2,3)C.和(3,4) D(4，)解析：選B易知f(x)為增函數(shù)，由f(2)ln 210，f(3)ln 30，得f(2)·f(3)0，故函數(shù)f(x)的零點所在的大致區(qū)間是(2,3)(三)填一填4已知2是函數(shù)f(x)的一個零點，則ff(4)的值是_解析：由題意知log2(2m)0，m1，ff(4)f(log23)23.答案：35若函數(shù)f(x)ax12a在區(qū)間(1,1)上存在一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)1在(1,1)上沒有零點，所以a0.所以函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù)，要滿足題意，只需f(1)f(1)<0，即(3a1)·(1a)<0，所以(a1)·(3a1)<0，解得<a<1，所以實數(shù)a的取值范圍是.答案： 典例(1)(2018·福建期末)已知函數(shù)f(x)則函數(shù)yf(x)3x的零點個數(shù)是()A0B1C2 D3(2)設(shè)函數(shù)f(x)xln x，則函數(shù)yf(x)()A在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均有零點B在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均無零點C在區(qū)間內(nèi)有零點，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點D在區(qū)間內(nèi)無零點，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點解析(1)解方程法令f(x)3x0，則或解得x0或x1，所以函數(shù)yf(x)3x的零點個數(shù)是2.(2)法一：圖象法令f(x)0得xln x作出函數(shù)yx和yln x的圖象，如圖，顯然yf(x)在內(nèi)無零點，在(1，e)內(nèi)有零點法二：定理法當(dāng)x時，函數(shù)圖象是連續(xù)的，且f(x)<0，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減又f1>0，f(1)>0，f(e)e1<0，所以函數(shù)有唯一的零點在區(qū)間(1，e)內(nèi)答案(1)C(2)D解題技法掌握判斷函數(shù)零點個數(shù)的3種方法(1)解方程法若對應(yīng)方程f(x)0可解，通過解方程，即可判斷函數(shù)是否有零點，其中方程有幾個解就對應(yīng)有幾個零點(2)定理法利用函數(shù)零點的存在性定理進(jìn)行判斷，但必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)的零點個數(shù)(3)數(shù)形結(jié)合法合理轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象(易畫出圖象)的交點個數(shù)問題先畫出兩個函數(shù)的圖象，看其是否有交點，若有交點，其中交點的個數(shù)，就是函數(shù)零點的個數(shù)題組訓(xùn)練1.函數(shù)f(x)x3x21的零點所在的區(qū)間是()A(0,1) B(1,0)C(1,2) D(2,3)解析：選C函數(shù)f(x)x3x21是連續(xù)函數(shù)因為f(1)1111<0，f(2)8413>0，所以f(1)f(2)<0，結(jié)合選項可知函數(shù)的零點所在的區(qū)間是(1,2)2.函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為()A3 B2C7 D0解析：選B法一：(解方程法)由f(x)0得或解得x2或xe.因此函數(shù)f(x)共有2個零點法二：(圖象法)作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象知函數(shù)f(x)共有2個零點3.設(shè)f(x)ln xx2，則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析：選B函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)ln x，h(x)x2圖象交點的橫坐標(biāo)所在區(qū)間如圖如示，可知f(x)的零點所在的區(qū)間為(1,2) 考法(一)已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍典例(2018·全國卷)已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是()A1,0)B0，)C1，) D1，)解析令h(x)xa，則g(x)f(x)h(x)在同一坐標(biāo)系中畫出yf(x)，yh(x)的示意圖，如圖所示若g(x)存在2個零點，則yf(x)的圖象與yh(x)的圖象有2個交點，平移yh(x)的圖象，可知當(dāng)直線yxa過點(0,1)時，有2個交點，此時10a，a1.當(dāng)yxa在yx1上方，即a<1時，僅有1個交點，不符合題意當(dāng)yxa在yx1下方，即a>1時，有2個交點，符合題意綜上，a的取值范圍為1，)答案C考法(二)已知函數(shù)零點所在區(qū)間求參數(shù)范圍典例(2019·安慶摸底)若函數(shù)f(x)4x2xa，x1,1有零點，則實數(shù)a的取值范圍是_解析函數(shù)f(x)4x2xa，x1,1有零點，方程4x2xa0在1,1上有解，即方程a4x2x在1,1上有解方程a4x2x可變形為a2，x1,1，2x，2.實數(shù)a的取值范圍是.答案解題技法1利用函數(shù)零點求參數(shù)范圍的3種方法直接法直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍分離參數(shù)法分離參數(shù)(ag(x)后，將原問題轉(zhuǎn)化為yg(x)的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線ya與yg(x)的圖象的交點個數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解數(shù)形結(jié)合法先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解2.利用函數(shù)零點求參數(shù)范圍的步驟題組訓(xùn)練1(2019·北京西城區(qū)模擬)若函數(shù)f(x)2xa的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,3)B(1,2)C(0,3) D(0,2)解析：選C因為函數(shù)f(x)2xa在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)2xa的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有f(1)·f(2)<0，所以(a)(41a)<0，即a(a3)<0，解得0<a<3.2已知函數(shù)f(x)若方程f(x)a有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是()A.2，)B(2，)C.(2，)D.(2，)解析：選C方程f(x)a有兩個不相等的實數(shù)根等價于函數(shù)yf(x)的圖象與直線ya有兩個不同的交點，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖可知，a(2，)1下列函數(shù)中，在(1,1)內(nèi)有零點且單調(diào)遞增的是()AylogxBy2x1Cyx2 Dyx3解析：選B函數(shù)ylogx在定義域上單調(diào)遞減，yx2在(1,1)上不是單調(diào)函數(shù)，yx3在定義域上單調(diào)遞減，均不符合要求對于y2x1，當(dāng)x0(1,1)時，y0且y2x1在R上單調(diào)遞增故選B.2(2018·重慶一中期中)函數(shù)f(x)exx3在區(qū)間(0,1)上的零點個數(shù)是()A0 B1C2 D3解析：選B由題知函數(shù)f(x)是增函數(shù)根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理及f(0)2，f(1)e2>0，可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上有且只有一個零點，故選B.3(2018·豫西南部分示范性高中聯(lián)考)函數(shù)f(x)ln x的零點所在的區(qū)間為()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析：選B易知f(x)ln x的定義域為(0，)，且在定義域上單調(diào)遞增f(1)2<0，f(2)ln 2>0，f(1)·f(2)<0，根據(jù)零點存在性定理知f(x)ln x的零點所在的區(qū)間為(1,2)4若函數(shù)f(x)ax1在區(qū)間(1,1)上存在一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1，) B(，1)C(，1)(1，) D(1,1)解析：選C由題意知，f(1)·f(1)0，即(1a)(1a)0，解得a1或a1.5已知實數(shù)a1,0b1，則函數(shù)f(x)axxb的零點所在的區(qū)間是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)解析：選B因為a1,0b1，所以f(x)axxb在R上是單調(diào)增函數(shù)，所以 f(1)1b0，f(0)1b0，由零點存在性定理可知，f(x)在區(qū)間(1,0)上存在零點6若a<b<c，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c)內(nèi) B(，a)和(a，b)內(nèi)C(b，c)和(c，)內(nèi) D(，a)和(c，)內(nèi)解析：選A由題意知f(a)(ab)(ac)>0，f(b)(bc)(ba)<0，f(c)(ca)(cb)>0，由函數(shù)零點的存在性定理可知函數(shù)f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)7函數(shù)f(x)|x2|ln x在定義域內(nèi)的零點的個數(shù)為()A0 B1C2 D3解析：選C由題意可知f(x)的定義域為(0，)在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y|x2|(x>0)，yln x(x>0)的圖象如圖所示由圖可知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的零點個數(shù)為2.8(2019·鄭州質(zhì)量測試)已知函數(shù)f(x)(aR)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A(0,1 B1，)C(0,1) D(，1解析：選A畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示因為函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，所以f(x)在(，0和(0，)上各有一個零點當(dāng)x0時，f(x)有一個零點，需0<a1；當(dāng)x>0時，f(x)有一個零點，需a<0，即a>0.綜上，0<a1.9已知函數(shù)f(x)a的零點為1，則實數(shù)a的值為_解析：由已知得f(1)0，即a0，解得a.答案：10已知函數(shù)f(x)則f(x)的零點為_解析：當(dāng)x0時，由f(x)0，即xln x0得ln x0，解得x1；當(dāng)x0時，由f(x)0，即x2x20，解得x1或x2.因為x0，所以x1.綜上，函數(shù)f(x)的零點為1，1.答案：1，111(2019·太原模擬)若函數(shù)f(x)(m2)x2mx(2m1)的兩個零點分別在區(qū)間(1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：依題意并結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象可知，即解得<m<.答案：12已知方程2x3xk的解在1,2)內(nèi)，則k的取值范圍為_解析：令函數(shù)f(x)2x3xk，則f(x)在R上是增函數(shù)當(dāng)方程2x3xk的解在(1,2)內(nèi)時，f(1)·f(2)<0，即(5k)(10k)<0，解得5<k<10.當(dāng)f(1)0時，k5.綜上，k的取值范圍為5,10)答案：5,10)13已知yf(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x0，)時，f(x)x22x.(1)寫出函數(shù)yf(x)的解析式；(2)若方程f(x)a恰有3個不同的解，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)設(shè)x0，則x0，所以f(x)x22x.又因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)f(x)x22x.所以f(x)(2)方程f(x)a恰有3個不同的解，即yf(x)與ya的圖象有3個不同的交點作出yf(x)與ya的圖象如圖所示，故若方程f(x)a恰有3個不同的解，只需1a1，故實數(shù)a的取值范圍為(1,1)11