2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第八章 第7節(jié) 拋物線 理（含解析）

2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第八章 第7節(jié) 拋物線 理（含解析）1（xx湖南，5分）如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a，b(a<b), 原點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，拋物線y22px(p>0)經(jīng)過(guò)C，F(xiàn)兩點(diǎn)，則_.解析：由正方形的定義可知BCCD，結(jié)合拋物線的定義得點(diǎn)D為拋物線的焦點(diǎn)，所以|AD|pa，D，F(xiàn)，將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入拋物線的方程得b22pa22ab，變形得210，解得1或1(舍去)，所以1.答案：12（xx新課標(biāo)全國(guó)，5分）已知拋物線C：y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若4，則|QF|()A. B.C3 D2解析：過(guò)點(diǎn)Q作QQl交l于點(diǎn)Q，因?yàn)?，所以|PQ|PF|34，又焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為4，所以|QF|QQ|3.故選C.答案：C3（xx新課標(biāo)全國(guó)，5分）設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為()A. B.C. D.解析：易知拋物線中p，焦點(diǎn)F，直線AB的斜率k，故直線AB的方程為y，代入拋物線方程y23x，整理得x2x0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2.由拋物線的定義可得弦長(zhǎng)|AB|x1x2p12，結(jié)合圖象可得O到直線AB的距離d·sin 30°，所以O(shè)AB的面積S|AB|·d.答案：D4（xx遼寧，5分）已知點(diǎn)A(2,3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率為()A. B.C. D.解析：A(2,3)在拋物線y22px的準(zhǔn)線上，2，p4，y28x，設(shè)直線AB的方程為xk(y3)2，將與y28x聯(lián)立，即得y28ky24k160，則(8k)24(24k16)0，即2k23k20，解得k2或k(舍去)，將k2代入解得，即B(8，8)，又F(2,0)，kBF，故選D.答案：D5（xx山東，14分）已知拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有|FA|FD|.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，ADF為正三角形(1)求C的方程；(2)若直線l1l，且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E，證明直線AE過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；ABE的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：由題意知F.設(shè)D(t,0)(t>0)，則FD的中點(diǎn)為.因?yàn)閨FA|FD|，由拋物線的定義知3，解得t3p或t3(舍去)由3，解得p2.所以拋物線C的方程為y24x.(2)由(1)知F(1,0)，設(shè)A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD>0)，因?yàn)閨FA|FD|，則|xD1|x01，由xD>0得xDx02，故D(x02,0)故直線AB的斜率kAB.因?yàn)橹本€l1和直線AB平行，設(shè)直線l1的方程為yxb，代入拋物線方程得y2y0，由題意0，得b.設(shè)E(xE，yE)，則yE，xE.當(dāng)y4時(shí)，kAE，可得直線AE的方程為yy0(xx0)，由y4x0，整理可得y(x1)，直線AE恒過(guò)點(diǎn)F(1,0)當(dāng)y4時(shí)，直線AE的方程為x1，過(guò)點(diǎn)F(1，0)，所以直線AE過(guò)定點(diǎn)F(1,0)由知直線AE過(guò)焦點(diǎn)F(1,0)，所以|AE|AF|FE|(x01)x02.設(shè)直線AE的方程為xmy1，因?yàn)辄c(diǎn)A(x0，y0)在直線AE上，故m.設(shè)B(x1，y1)直線AB的方程為yy0(xx0)，由于y00，可得xy2x0，代入拋物線方程得y2y84x00.所以y0y1，可求得y1y0，x1x04.所以點(diǎn)B到直線AE的距離為d4.則ABE的面積S×4x0216，當(dāng)且僅當(dāng)x0，即x01時(shí)等號(hào)成立所以ABE的面積的最小值為16.6（xx陜西，13分）如圖，曲線C由上半橢圓C1：1(a>b>0，y0)和部分拋物線C2：yx21(y0)連接而成，C1與C2的公共點(diǎn)為A，B，其中C1的離心率為.(1)求a，b的值；(2)過(guò)點(diǎn)B的直線l與C1，C2分別交于點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A，B)，若APAQ，求直線l的方程解：(1)在C1，C2的方程中，令y0，可得b1，且A(1，0)，B(1,0)是上半橢圓C1的左、右頂點(diǎn)設(shè)C1的半焦距為c，由及a2c2b21得a2.a2，b1.(2)由(1)知，上半橢圓C1的方程為x21(y0)易知，直線l與x軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為yk(x1)(k0)，代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP，yP)，直線l過(guò)點(diǎn)B，x1是方程(*)的一個(gè)根由根與系數(shù)的關(guān)系，得xP，從而yP，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.同理，由得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(k1，k22k)(k，4)，k(1，k2)APAQ，·0，即k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得k.經(jīng)檢驗(yàn)，k符合題意，故直線l的方程為y(x1)7（xx新課標(biāo)全國(guó)，5分）設(shè)拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|5.若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2)，則C的方程為()Ay24x或y28xBy22x或y28x Cy24x或y216x Dy22x或y216x解析：本題考查拋物線與圓的有關(guān)知識(shí)，意在考查考生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力由已知得拋物線的焦點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)A(0,2)，拋物線上點(diǎn)M(x0，y0)，則，.由已知得，·0，即y8y0160，因而y04，M.由|MF|5得， 5，又p0，解得p2或p8，故選C.答案： C8（xx北京，5分）若拋物線y22px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則p_，準(zhǔn)線方程為_(kāi)解析：本題主要考查拋物線的方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，意在考查考生的運(yùn)算求解能力因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以1，p2，準(zhǔn)線方程為x1.答案：2x19（xx江西，5分）拋物線x22py(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線1相交于A，B兩點(diǎn)，若ABF為等邊三角形，則p_.解析：本題考查拋物線、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力由x22py(p>0)得焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線l為y，所以可求得拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線1的交點(diǎn)A，B，所以|AB| ，則|AF|AB| ，所以sin ，即，解得p6.答案：610（xx湖南，13分）過(guò)拋物線E：x22py(p>0)的焦點(diǎn)F作斜率分別為k1，k2的兩條不同直線l1，l2，且k1k22，l1與E相交于點(diǎn)A，B，l2與E相交于點(diǎn)C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N(M，N為圓心)的公共弦所在直線記為l.(1)若k1>0，k2>0，證明：·<2p2；(2)若點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為，求拋物線E的方程解：本小題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何意義，圓的方程及兩圓的公共弦的求法，點(diǎn)到直線的距離公式，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，向量的數(shù)量積，基本不等式的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值的求法，考查運(yùn)算求解能力和函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想屬難題(1)由題意，拋物線E的焦點(diǎn)為F，直線l1的方程為yk1x.由得x22pk1xp20.設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根從而x1x22pk1，y1y2k1(x1x2)p2pkp.所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，(pk1，pk)同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，(pk2，pk)于是·p2(k1k2kk)由題設(shè)，k1k22，k1>0，k2>0，k1k2，所以0<k1k2<21.故·<p2(112)2p2.(2)由拋物線的定義得|FA|y1，|FB|y2，所以|AB|y1y2p2pk2p，從而圓M的半徑r1pkp.故圓M的方程為(xpk1)22(pkp)2，化簡(jiǎn)得x2y22pk1xp(2k1)yp20.同理可得圓N的方程為x2y22pk2xp(2k1)yp20.于是圓M，圓N的公共弦所在直線l的方程為(k2k1)x(kk)y0.又k2k10，k1k22，則l的方程為x2y0.因?yàn)閜>0，所以點(diǎn)M到直線l的距離d.故當(dāng)k1時(shí)，d取最小值.由題設(shè)，解得p8.故所求的拋物線E的方程為x216y.11（xx山東，5分）已知雙曲線C1：1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x22py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為()Ax2yBx2yCx28y Dx216y解析：雙曲線的漸近線方程為y±x，由于 2，所以，所以雙曲線的漸近線方程為y±x.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，所以2，所以p8，所以拋物線方程為x216y.答案：D12（2011新課標(biāo)全國(guó)，5分）已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|12，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則ABP的面積為()A18 B24C36 D48解析：設(shè)拋物線方程為y22px，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，將x代入y22px可得y2p2，|AB|12，即2p12，p6.點(diǎn)P在準(zhǔn)線上，到AB的距離為p6，所以PAB的面積為×6×1236.答案：C13（2011遼寧，5分）已知F是拋物線y2x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|BF|3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()A. B1C. D.解析：根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為：(|AF|BF|).答案：C14（xx天津，5分）已知拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中p>0，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.過(guò)拋物線上一點(diǎn)M作l的垂線，垂足為E.若|EF|MF|，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，則p_.解析：由題意知，拋物線的普通方程為y22px(p>0)，焦點(diǎn)F(，0)，準(zhǔn)線x，設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A.由拋物線定義可得|EM|MF|，所以MEF是正三角形，在直角三角形EFA中，|EF|2|FA|，即32p，得p2.答案：215.（xx陜西，5分）右圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米水位下降1米后，水面寬_米解析：以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為x22py，則點(diǎn)(2，2)在拋物線上，代入可得p1，所以x22y.當(dāng)y3時(shí)，x26，所以水面寬為2.答案：216（xx浙江，4分）設(shè)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0,2)若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為_(kāi)解析：拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，0)，線段FA的中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，1)，代入拋物線方程得12p×，解得p，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，1)，故點(diǎn)B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為.答案：17(2011新課標(biāo)全國(guó)，12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0，1)，B點(diǎn)在直線y3上，M點(diǎn)滿足，··，M點(diǎn)的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)P為C上的動(dòng)點(diǎn)，l為C在P點(diǎn)處的切線，求O點(diǎn)到l距離的最小值解：(1)設(shè)M(x，y)，由已知得B(x，3)，A(0，1)所以(x，1y)，(0，3y)，(x，2)再由題意可知()·0，即(x，42y)·(x，2)0所以曲線C的方程為yx22.(2)設(shè)P(x0，y0)為曲線C：yx22上一點(diǎn)，因?yàn)閥 x，所以l的斜率為x0.因此直線l的方程為yy0x0(xx0)，即x0x2y2y0x0.則O點(diǎn)到l的距離d.又y0x2，所以d()2，當(dāng)x00時(shí)取等號(hào)，所以O(shè)點(diǎn)到l距離的最小值為2.