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(浙江專用)2021版新高考數(shù)學一輪復習 第四章 三角函數(shù)、解三角形 8 第8講 正弦定理和余弦定理的應用舉例教學案

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(浙江專用)2021版新高考數(shù)學一輪復習 第四章 三角函數(shù)、解三角形 8 第8講 正弦定理和余弦定理的應用舉例教學案

第8講正弦定理和余弦定理的應用舉例1實際問題中的常用述語(1)仰角和俯角在視線和水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫仰角,在水平線下方的角叫俯角(如圖)(2)方位角從正北方向順時針轉到目標方向線的角(如圖,B點的方位角為)(3)方向角相對于某一正方向的角(如圖)北偏東:指從正北方向順時針旋轉到達目標方向東北方向:指北偏東45°.其他方向角類似2解三角形應用題的一般步驟疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”,錯誤的打“×”)(1)東北方向就是北偏東45°的方向()(2)從A處望B處的仰角為,從B處望A處的俯角為,則,的關系為180°.()(3)俯角是鉛垂線與視線所成的角,其范圍為.()(4)方位角與方向角其實質是一樣的,均是確定觀察點與目標點之間的位置關系()(5)方位角大小的范圍是0,2),方向角大小的范圍一般是0,)()答案:(1)(2)×(3)×(4)(5)教材衍化1(必修5P11例1改編)如圖所示,設A,B兩點在河的兩岸,一測量者在A所在的同側河岸邊選定一點C,測出AC的距離為50 m,ACB45°,CAB105°后,則可以計算出A,B兩點的距離為_m.解析:由正弦定理得,又因為B30°,所以AB50(m)答案:502(必修5P13例3改編)如圖,在山腳A測得山頂P的仰角為30°,沿傾斜角為15°的斜坡向上走a米到B,在B處測得山頂P的仰角為60°,則山高h_米解析:由題圖可得PAQ30°,BAQ15°,PAB中,PAB15°,又PBC60°,所以BPA(90°)(90°)30°,所以,所以PBa,所以PQPCCQPB·sin asin a×sin 60°asin 15°a.答案:a易錯糾偏(1)方向角與方位角概念不清;(2)仰角、俯角概念不清;(3)不能將空間問題轉化為解三角形問題1.如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東20°的方向上,燈塔B在觀察站C的南偏東40°的方向上,則燈塔A相對于燈塔B的方向為()A北偏西5° B北偏西10°C北偏西15° D北偏西20°解析:選B.易知BA30°,C在B的北偏西40°的方向上,又40°30°10°,故燈塔A相對于燈塔B的方向為北偏西10°.2在某次測量中,在A處測得同一半平面方向的B點的仰角是60°,C點的俯角為70°,則BAC_答案:130°3江岸邊有一炮臺高30 m,江中有兩條船,船與炮臺底部在同一水平面上,在炮臺頂部測得兩條船的俯角分別為45°和60°,而且兩條船與炮臺底部所連的線成30°角,則兩條船相距_m.解析:由題意畫示意圖,如圖,OMAOtan 45°30(m),ONAOtan 30°×3010(m),在MON中,由余弦定理得,MN10(m)答案:10測量距離 如圖所示,某旅游景點有一座風景秀麗的山峰,山上有一條筆直的山路BC和一條索道AC,小王和小李打算不坐索道,而是花2個小時的時間進行徒步攀登,已知ABC120°,ADC150°,BD1 km,AC3 km.假設小王和小李徒步攀登的速度為每小時1 250米,請問:兩位登山愛好者能否在2個小時內徒步登上山峰?(即從B點出發(fā)到達C點)【解】在ABD中,由題意知,ADBBAD30°,所以ABBD1,因為ABD120°,由正弦定理得,解得AD,在ACD中,由AC2AD2CD22AD·CD·cos 150°,得93CD22×CD,即CD23CD60,解得CD,BCBDCD,兩個小時小王和小李可徒步攀登1 250×22 500米,即2.5千米,而<2.5,所以兩位登山愛好者可以在兩個小時內徒步登上山峰 (變條件、變問法)若本例條件“BD1 km,AC3 km”變?yōu)椤癇D200 m,CD300 m”,其他條件不變,則這條索道AC長為_解析:在ABD中,BD200,ABD120°.因為ADB30°,所以DAB30°.由正弦定理,得,所以.所以AD200 (m)在ADC中,DC300 m,ADC150°,所以AC2AD2DC22AD×DC×cosADC(200 )230022×200×300×cos 150°390 000,所以AC100.故這條索道AC長為100 m.答案:100 m距離問題的類型及解法(1)測量距離問題分為三種類型:兩點間不可達又不可視、兩點間可視但不可達、兩點都不可達(2)解法:選擇合適的輔助測量點,構造三角形,將問題轉化為求某個三角形的邊長問題,從而利用正、余弦定理求解 如圖,隔河看兩目標A與B,但不能到達,在岸邊先選取相距千米的C,D兩點,同時,測得ACB75°,BCD45°,ADC30°,ADB45°(A,B,C,D在同一平面內),求兩目標A,B之間的距離解:在ACD中,ACD120°,CADADC30°,所以ACCD km.在BCD中,BCD45°,BDC75°,CBD60°.所以BC.在ABC中,由余弦定理,得AB2()22×××cos 75°325,所以AB km,所以A,B之間的距離為 km.測量高度 如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600 m后到達B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD_m.【解析】由題意,在ABC中,BAC30°,ABC180°75°105°,故ACB45°.又AB600 m,故由正弦定理得,解得BC300 m.在RtBCD中,CDBC·tan 30°300×100(m)【答案】100求解高度問題的注意事項(1)在測量高度時,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一鉛垂面內,視線與水平線的夾角;(2)準確理解題意,分清已知條件與所求,畫出示意圖;(3)運用正、余弦定理,有序地解相關的三角形,逐步求解問題的答案,注意方程思想的運用 (2020·浙江省名校協(xié)作體聯(lián)考)如圖,為了估測某塔的高度,在同一水平面的A,B兩點處進行測量,在點A處測得塔頂C在西偏北20°的方向上,仰角為60°;在點B處測得塔頂C在東偏北40°的方向上,仰角為30°.若A,B兩點相距130 m,則塔的高度CD_m.解析:由題意可知,設CDh,則AD,BDh,在ADB中,ADB180°20°40°120°,所以由余弦定理AB2BD2AD22BD·AD·cos 120°,可得13023h22·h··,解得h10,故塔的高度為10 m.答案:10測量角度 一艘海輪從A出發(fā),沿北偏東75°的方向航行(22)n mile到達海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東15°的方向航行4 n mile到達海島C.(1)求AC的長;(2)如果下次航行直接從A出發(fā)到達C,求CAB的大小【解】(1)由題意,在ABC中,ABC180°75°15°120°,AB22,BC4,根據(jù)余弦定理得AC2AB2BC22AB×BC×cosABC(22)242(22)×424,所以AC2.(2)根據(jù)正弦定理得,sinBAC,所以CAB45°.解決測量角度問題的注意事項(1)首先應明確方位角或方向角的含義(2)分析題意,分清已知與所求,再根據(jù)題意畫出正確的示意圖,這是最關鍵、最重要的一步(3)將實際問題轉化為可用數(shù)學方法解決的問題后,注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用 1.甲船在A處觀察乙船,乙船在它的北偏東60°的方向,相距a海里的B處,乙船正向北行駛,若甲船是乙船速度的倍,甲船為了盡快追上乙船,則應取北偏東_(填角度)的方向前進解析:設兩船在C處相遇,則由題意ABC180°60°120°,且,由正弦定理得,所以sinBAC.又因為0°<BAC<60°,所以BAC30°.所以甲船應沿北偏東30°的方向前進答案:30°2在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習中,紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向,相距12 n mile的水面上,有藍方一艘小艇正以每小時10 n mile的速度沿南偏東75°方向前進,若紅方偵察艇以每小時14 n mile的速度,沿北偏東45°的方向攔截藍方的小艇,若要在最短的時間內攔截住,求紅方偵察艇所需的時間和角的正弦值解:如圖,設紅方偵察艇經(jīng)過x小時后在C處追上藍方的小艇,則AC14x,BC10x,ABC120°.根據(jù)余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120°,解得x2.故AC28,BC20.根據(jù)正弦定理得,解得sin .所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時,角的正弦值為.求解幾何計算問題 (2020·浙江名校聯(lián)考)如圖,在平面四邊形ABCD中,0<DAB<,AD2,AB3,ABD的面積為,ABBC.(1)求sinABD的值;(2)若BCD,求BC的長【解】(1)因為ABD的面積SAD×ABsinDAB×2×3sinDAB,所以sinDAB.又0<DAB<,所以DAB,所以cosDABcos.由余弦定理得BD,由正弦定理得sinABD.(2)法一:因為ABBC,所以ABC,sinDBCsincosABD.在BCD中,由正弦定理可得CD.由余弦定理DC2BC22DC·BCcosDCBBD2,可得3BC24BC50,解得BC或BC(舍去)故BC的長為.法二:因為ABBC,所以ABC,sinDBCsincosABD.cosDBCcossinABD.sinBDCsin(BCDDBC)sincosDBCsinDBC.在BCD中,由正弦定理,可得BC.求解該題第(2)問時易出現(xiàn)的問題是不能靈活利用“ABBC”,將已知條件和第(1)問中所求值轉化為BCD內的邊角關系解決平面圖形中的計算問題時,學會對條件進行分類與轉化是非常重要的,一般來說,盡可能將條件轉化到三角形中,這樣就可以根據(jù)條件類型選用相應的定理求解如該題中,把條件轉化到BCD中后,利用正弦定理和余弦定理就可以求出BC的長 如圖,在平面四邊形ABCD中,ABC為銳角,ADBD,AC平分BAD,BC2,BD3,BCD的面積S.(1)求CD;(2)求ABC.解:(1)在BCD中,SBD·BC·sinCBD,因為BC2,BD3,所以sinCBD.因為ABC為銳角,所以CBD30°.在BCD中,由余弦定理得CD2BC2BD22BC·BD·cosCBD(2)2(3)22×2×(3)×9.所以CD3.(2)在BCD中,由正弦定理得,即,解得sinBDC,因為BC<BD,所以BDC為銳角,所以cosBDC.在ACD中,由正弦定理得,即.在ABC中,由正弦定理得,即.因為AC平分BAD,所以CADBAC.由得,解得sinABC.因為ABC為銳角,所以ABC45°.基礎題組練1.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站南偏西40°,燈塔B在觀察站南偏東60°,則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10° B北偏西10°C南偏東80° D南偏西80°解析:選D.由條件及題圖可知,AB40°,又BCD60°,所以CBD30°,所以DBA10°,因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.2.如圖,在塔底D的正西方A處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°,在它的南偏東60°的B處測得塔頂?shù)难鼋菫?0°,AB的距離是84 m,則塔高CD為()A24 m B12 mC12 m D36 m解析:選C.設塔高CDx m,則ADx m,DBx m在ABD中,利用余弦定理,得842x2(x)22x2cos 150°,解得x±12(負值舍去),故塔高為12 m.3一船自西向東勻速航行,上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°,距燈塔68海里的M處,下午2時到達這座燈塔的東南方向N處,則該船航行的速度為()A.海里/小時 B34海里/小時C.海里/小時 D34海里/小時解析:選C.如圖所示,在PMN中,PM68,PNM45°,PMN15°,MPN120°,由正弦定理,得,所以MN34,所以該船的航行速度為海里/小時4.如圖,兩座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分別為20 m、50 m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為()A30° B45°C60° D75°解析:選B.依題意可得AD20(m),AC30(m),又CD50(m),所以在ACD中,由余弦定理得cosCAD,又0°<CAD<180°,所以CAD45°,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.5(2020·杭州調研)據(jù)氣象部門預報,在距離某碼頭正西方向400 km處的熱帶風暴中心正以20 km/h的速度向東北方向移動,距風暴中心300 km以內的地區(qū)為危險區(qū),則該碼頭處于危險區(qū)內的時間為()A9 h B10 hC11 h D12 h解析:選B.記碼頭為點O,熱帶風暴中心的位置為點A,t小時后熱帶風暴到達B點位置,在OAB中,OA400,AB20t,OAB45°,根據(jù)余弦定理得4002400t22×20t×400×3002,即t220t1750,解得105t105,所以所求時間為10510510(h),故選B.6(2020·紹興一中高三期中)以BC為底邊的等腰三角形ABC中,AC邊上的中線長為6,當ABC面積最大時,腰AB長為()A6 B6C4 D4解析:選D.如圖所示,設D為AC的中點,由余弦定理得cos A,在ABD中,BD2b22×b××,可得2a2b2144,設BC邊上的高為h,所以Saha a ,所以,當a232時,S有最大值,此時,b21442a280,解得b4,即腰長AB4.故選D.7如圖,為了測量A,C兩點間的距離,選取同一平面上B,D兩點,測出四邊形ABCD各邊的長度(單位:km):AB5,BC8,CD3,DA5,且B與D互補,則AC的長為_km.解析:由余弦定理得82522×8×5×cos(D)AC232522×3×5×cos D,解得cos D,所以AC7.答案:78(2020·嘉興高三模擬)如圖所示,位于東海某島的雷達觀測站 A,發(fā)現(xiàn)其北偏東45°,與觀測站A距離20海里的B處有一貨船正勻速直線行駛,半小時后,又測得該貨船位于觀測站A東偏北(0°<<45°)的C處,且cos .已知A、C兩處的距離為10海里,則該貨船的船速為_海里/小時解析:因為cos ,0°<<45°,所以sin ,cos(45°)××,在ABC中,BC28001002×20×10×340,所以BC2,所以該貨船的船速為4海里/小時答案:49在距離塔底分別為80 m,160 m,240 m的同一水平面上的A,B,C處,依次測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為,.若90°,則塔高為_解析:設塔高為h m依題意得,tan ,tan ,tan .因為90°,所以tan()tan tan(90°)tan 1,所以·tan 1,所以·1,解得h80,所以塔高為80 m.答案:80 m10如圖,為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點從A點測得M點的仰角MAN60°,C點的仰角CAB45°以及MAC75°;從C點測得MCA60°.已知山高BC100 m,則山高MN_m.解析:根據(jù)題圖,AC100 m.在MAC中,CMA180°75°60°45°.由正弦定理得AM100 m.在AMN中,sin 60°,所以MN100×150(m)答案:15011(2020·杭州市七校高三聯(lián)考)設ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且,成等差數(shù)列(1)求角A的值;(2)若a,bc5,求ABC的面積解:(1)因為,成等差數(shù)列,所以,整理可得,所以sin Acos B2sin Ccos Asin Bcos A,即2sin Ccos Asin(AB)sin C,解得cos A,所以A.(2)因為a,bc5,所以由余弦定理可得a210b2c22bccos A(bc)23bc,可解得bc5,所以SABCbcsin A×5×.12如圖,平面四邊形ABDC中,CADBAD30°.(1)若ABC75°,AB10,且ACBD,求CD的長;(2)若BC10,求ACAB的取值范圍解:(1)由已知,易得ACB45°,在ABC中,BC5.因為ACBD,所以ADBCAD30°,CBDACB45°,在ABD中,ADB30°BAD,所以DBAB10.在BCD中,CD5.(2)ACAB>BC10,cos 60°(ABAC)21003AB·AC,而AB·AC,所以,解得ABAC20,故ABAC的取值范圍為(10,20綜合題組練1.A,B是海面上位于東西方向相距5(3)海里的兩個觀測點現(xiàn)位于A點北偏東45°、B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號,位于B點南偏西60°且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救,其航行速度為30海里/小時,該救援船到達D點需要的時間為()A1小時 B2小時C(1)小時 D.小時解析:選A.由題意知AB5(3)海里,DBA90°60°30°,DAB45°,所以ADB105°,在DAB中,由正弦定理得,所以DB10(海里),又DBCDBAABC30°(90°60°)60°,BC20海里,在DBC中,由余弦定理得CD2BD2BC22BD·BC·cos DBC3001 2002×10×20×900,所以CD30(海里),則需要的時間t1(小時)2.如圖,某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個出入口,且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD. 已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘,從D沿著DC走到C用了3分鐘若此人步行的速度為每分鐘50米,則該扇形的半徑的長度為()A50 米 B50 米C50米 D50 米解析:選B.設該扇形的半徑為r米,連接CO.由題意,得CD150(米),OD100(米),CDO60°,在CDO中,CD2OD22CD·OD·cos 60°OC2,即150210022×150×100×r2,解得r50 .3(2020·瑞安四校聯(lián)考)在ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且acos Bbcos Ac,當tan(AB)取最大值時,角B的值為_解析:由acos Bbcos Ac及正弦定理,得sin Acos Bsin Bcos Asin Csin(AB)(sin Acos Bcos Asin B),整理得sin Acos B3cos Asin B,即tan A3tan B,易得tan A0,tan B0,所以tan(AB),當且僅當3tan B,即tan B時,tan(AB)取得最大值,所以B.答案:4如圖,在四邊形ABCD中,已知ADCD,AD10,AB14,BDA60°,BCD135°,則BC的長為_解析:在ABD中,設BDx,則BA2BD2AD22BD·AD·cosBDA,即142x21022·10x·cos 60°,整理得x210x960,解得x116,x26(舍去)在BCD中,由正弦定理:,所以BC·sin 30°8.答案:85.為了應對日益嚴重的氣候問題,某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣象儀器,這種儀器可以彈射到空中進行氣象觀測如圖所示,A,B,C三地位于同一水平面上,這種儀器在C地進行彈射實驗,觀測點A,B兩地相距100米,BAC60°,在A地聽到彈射聲音的時間比B地晚秒在A地測得該儀器至最高點H處的仰角為30°.(已知聲音的傳播速度為340米/秒)(1)求A,C兩地的距離;(2)求這種儀器的垂直彈射高度HC.解:(1)設BCx,由條件可知ACx×340x40,在ABC中,BC2AB2AC22AB×ACcos BAC,即x21002(40x)22×100×(40x)×,解得x380,所以AC38040420米,故A,C兩地的距離為420米(2)在ACH中,AC420,HAC30°,AHC90°30°60°,由正弦定理,可得,即,所以HC140,故這種儀器的垂直彈射高度為140米6某港灣的平面示意圖如圖所示,O,A,B分別是海岸線l1,l2上的三個集鎮(zhèn),A位于O的正南方向6 km處,B位于O的北偏東60°方向10 km處(1)求集鎮(zhèn)A,B間的距離;(2)隨著經(jīng)濟的發(fā)展,為緩解集鎮(zhèn)O的交通壓力,擬在海岸線l1,l2上分別修建碼頭M,N,開辟水上航線勘測時發(fā)現(xiàn):以O為圓心,3 km為半徑的扇形區(qū)域為淺水區(qū),不適宜船只航行請確定碼頭M,N的位置,使得M,N之間的直線航線最短解:(1)在ABO中,OA6,OB10,AOB120°,根據(jù)余弦定理得AB2OA2OB22·OA·OB·cos 120°621022×6×10×196,所以AB14.故集鎮(zhèn)A,B間的距離為14 km.(2)依題意得,直線MN必與圓O相切設切點為C,連接OC(圖略),則OCMN.設OMx,ONy,MNc,在OMN中,由MN·OCOM·ON·sin 120°,得×3cxysin 120°,即xy2c,由余弦定理,得c2x2y22xycos 120°x2y2xy3xy,所以c26c,解得c6,當且僅當xy6時,c取得最小值6.所以碼頭M,N與集鎮(zhèn)O的距離均為6 km時,M,N之間的直線航線最短,最短距離為6 km.18

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