（浙江專(zhuān)用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 4 第4講 直線(xiàn)、平面平行的判定及其性質(zhì)教學(xué)案

第4講直線(xiàn)、平面平行的判定及其性質(zhì)1直線(xiàn)與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線(xiàn)與這個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行(線(xiàn)線(xiàn)平行線(xiàn)面平行)因?yàn)閘a，a，l，所以l性質(zhì)定理一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線(xiàn)的任一平面與此平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn)平行(簡(jiǎn)記為“線(xiàn)面平行線(xiàn)線(xiàn)平行”)因?yàn)閘，l，b，所以lb2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線(xiàn)面平行面面平行”)因?yàn)閍，b，abP，a，b，所以性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行因?yàn)椋琣，b，所以ab3.線(xiàn)、面平行中的三個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行，即若a，a，則；(2)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行，即若a，b，則ab；(3)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若，則.疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一條直線(xiàn)平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，則這條直線(xiàn)平行于這個(gè)平面()(2)若一條直線(xiàn)平行于一個(gè)平面，則這條直線(xiàn)平行于這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線(xiàn)()(3)若直線(xiàn)a與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)平行，則a.()(4)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行()(5)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行或異面()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)教材衍化1(必修2P61A組T1(1)改編)下列命題中正確的是()A若a，b是兩條直線(xiàn)，且ab，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面B若直線(xiàn)a和平面滿(mǎn)足a，那么a與內(nèi)的任何直線(xiàn)平行C平行于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行D若直線(xiàn)a，b和平面滿(mǎn)足ab，a，b，則b解析：選D.A錯(cuò)誤，a可能在經(jīng)過(guò)b的平面內(nèi)；B錯(cuò)誤，a與內(nèi)的直線(xiàn)平行或異面；C錯(cuò)誤，兩個(gè)平面可能相交；D正確，由a，可得a平行于經(jīng)過(guò)直線(xiàn)a的平面與的交線(xiàn)c，即ac，又ab，所以bc，b，c，所以b.2(必修2P58練習(xí)T3改編)平面平面的一個(gè)充分條件是()A存在一條直線(xiàn)a，a，aB存在一條直線(xiàn)a，a，aC存在兩條平行直線(xiàn)a，b，a，b，a，bD存在兩條異面直線(xiàn)a，b，a，b，a，b解析：選D.若l，al，a，a，a，a，故排除A.若l，a，al，則a，故排除B.若l，a，al，b，bl，則a，b，故排除C.3(必修2P62A組T3改編)如圖，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，點(diǎn)E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為_(kāi)解析：連接BD，設(shè)BDACO，連接EO，在BDD1中，E為DD1的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，所以EO為BDD1的中位線(xiàn)，則BD1EO，而B(niǎo)D1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1平面ACE.答案：平行易錯(cuò)糾偏(1)對(duì)空間平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化條件理解不夠致誤；(2)對(duì)面面平行判定定理的條件“平面內(nèi)兩相交直線(xiàn)”認(rèn)識(shí)不清致誤；(3)對(duì)面面平行性質(zhì)定理理解不深致誤1若平面平面，直線(xiàn)a平面，點(diǎn)B，則在平面內(nèi)且過(guò)B點(diǎn)的所有直線(xiàn)中()A不一定存在與a平行的直線(xiàn)B只有兩條與a平行的直線(xiàn)C存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線(xiàn)D存在唯一的與a平行的直線(xiàn)解析：選A.當(dāng)直線(xiàn)a在平面內(nèi)且過(guò)B點(diǎn)時(shí)，不存在與a平行的直線(xiàn)故選A.2下列條件中，能判斷兩個(gè)平面平行的是_一個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面；一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面；一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面；一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面解析：由兩個(gè)平面平行的判定定理可知，如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另外一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行顯然只有符合條件答案：3如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為_(kāi)解析：因?yàn)槠矫鍭BFE平面DCGH，又平面EFGH平面ABFEEF，平面EFGH平面DCGHHG，所以EFHG.同理EHFG，所以四邊形EFGH是平行四邊形答案：平行四邊形線(xiàn)面平行的判定與性質(zhì)(高頻考點(diǎn))平行關(guān)系是空間幾何中的一種重要關(guān)系，包括線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、面面平行，其中線(xiàn)面平行在高考試題中出現(xiàn)的頻率很高，一般出現(xiàn)在解答題的某一問(wèn)中主要命題角度有：(1)線(xiàn)面位置關(guān)系的判斷；(2)線(xiàn)面平行的證明；(3)線(xiàn)面平行性質(zhì)的應(yīng)用角度一線(xiàn)面位置關(guān)系的判斷 設(shè)m，n表示不同直線(xiàn)，表示不同平面，則下列結(jié)論中正確的是()A若m，mn，則nB若m，n，m，n，則C若，m，mn，則nD若，m，nm，n，則n【解析】A錯(cuò)誤，n有可能在平面內(nèi)；B錯(cuò)誤，平面有可能與平面相交；C錯(cuò)誤，n也有可能在平面內(nèi)；D正確，易知m或m，若m，又nm，n，所以n，若m，過(guò)m作平面交平面于直線(xiàn)l，則ml，又nm，所以nl，又n，l，所以n.【答案】D角度二線(xiàn)面平行的證明 (2020·浙江省六市六校聯(lián)盟模擬)如圖所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，ABBC，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，AA1AB2.(1)求證：AB1平面BC1D；(2)若BC3，求三棱錐D­BC1C的體積【解】(1)證明：連接B1C，設(shè)B1C與BC1相交于點(diǎn)O，連接OD.因?yàn)樗倪呅蜝CC1B1是平行四邊形所以點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)D為AB1C的中位線(xiàn)，所以O(shè)DAB1.因?yàn)镺D平面BC1D，AB1平面BC1D，所以AB1平面BC1D.(2)在三棱柱ABC­A1B1C1中，側(cè)棱CC1AA1.又因?yàn)锳A1平面ABC，所以側(cè)棱CC1平面ABC，故CC1為三棱錐C1­BCD的高，A1ACC12，因?yàn)镾BCDSABC，所以VD­BCC1VC1­BCDCC1·SBCD×2×1.角度三線(xiàn)面平行性質(zhì)的應(yīng)用 如圖，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，點(diǎn)E為線(xiàn)段AD上的任意一點(diǎn)(不包括A，D兩點(diǎn))，平面CEC1與平面BB1D交于FG.證明：FG平面AA1B1B.【證明】在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BB1CC1，BB1平面BB1D，CC1平面BB1D，所以CC1平面BB1D，又CC1平面CEC1，平面CEC1與平面BB1D交于FG，所以CC1FG，因?yàn)锽B1CC1，所以BB1FG，而B(niǎo)B1平面AA1B1B，F(xiàn)G平面AA1B1B，所以FG平面AA1B1B.證明直線(xiàn)與平面平行的常用方法(1)定義法：證明直線(xiàn)與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，通常要借助于反證法來(lái)證明(2)判定定理法：在利用判定定理時(shí)，關(guān)鍵是找到平面內(nèi)與已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn)，可先直觀(guān)判斷題中是否存在這樣的直線(xiàn)，若不存在，則需作出直線(xiàn)，常考慮利用三角形的中位線(xiàn)、平行四邊形的對(duì)邊平行或過(guò)已知直線(xiàn)作一平面，找其交線(xiàn)進(jìn)行證明 1如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線(xiàn)AB與平面MNQ不平行的是()解析：選A.對(duì)于選項(xiàng)B，如圖所示，連接CD，因?yàn)锳BCD，M，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可證選項(xiàng)C，D中均有AB平面MNQ.故選A.2.如圖，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為矩形，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)(1)證明：PB平面AEC；(2)在PC上求一點(diǎn)G，使FG平面AEC，并證明你的結(jié)論解：(1)證明：連接BD與AC交于點(diǎn)O，連接EO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)又E為PD的中點(diǎn)，所以EOPB.因?yàn)镋O平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)PC的中點(diǎn)G即為所求的點(diǎn)證明如下：設(shè)點(diǎn)G為PC的中點(diǎn)，連接GE、FG，因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以GE綊CD.又F為AB的中點(diǎn)，且四邊形ABCD為矩形，所以FA綊CD.所以FA綊GE.所以四邊形AFGE為平行四邊形，所以FGAE.又FG平面AEC，AE平面AEC，所以FG平面AEC.面面平行的判定與性質(zhì) 如圖所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1平面BCHG.【證明】(1)因?yàn)辄c(diǎn)G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，所以GHB1C1，又B1C1BC，所以GHBC，所以B，C，H，G四點(diǎn)共面(2)在A(yíng)BC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以EFBC，因?yàn)镋F平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF平面BCHG.又因?yàn)镚，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，所以A1G綊EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1EGB.因?yàn)锳1E平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E平面BCHG.又因?yàn)锳1EEFE，所以平面EFA1平面BCHG.1(變問(wèn)法)在本例條件下，若點(diǎn)D為BC1的中點(diǎn)，求證：HD平面A1B1BA.證明：如圖所示，連接HD，A1B，因?yàn)镈為BC1的中點(diǎn)，H為A1C1的中點(diǎn)，所以HDA1B，又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，所以HD平面A1B1BA.2(變問(wèn)法)在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1平面AC1D.證明：如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M，因?yàn)樗倪呅蜛1ACC1是平行四邊形，所以M是A1C的中點(diǎn)，連接MD，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以A1BDM.因?yàn)锳1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，所以DM平面A1BD1.又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綊BD，所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，所以DC1平面A1BD1，又因?yàn)镈C1DMD，DC1，DM平面AC1D，所以平面A1BD1平面AC1D. 1(2020·嘉興調(diào)研)如圖，AB平面平面，過(guò)A，B的直線(xiàn)m，n分別交，于點(diǎn)C，E和D，F(xiàn)，若AC2，CE3，BF4，則BD的長(zhǎng)為()A. B.C. D.解析：選C.由AB，易證 .即，所以BD.2如圖所示，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，點(diǎn)M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)求證：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.證明：(1)如圖所示，設(shè)DF與GN交于點(diǎn)O，連接AE，則AE必過(guò)點(diǎn)O，連接MO，則MO為ABE的中位線(xiàn)，所以BEMO.因?yàn)锽E平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DEGN.因?yàn)镈E平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以MN為ABD的中位線(xiàn)，所以BDMN.因?yàn)锽D平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG.因?yàn)镈E與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，所以平面BDE平面MNG.立體幾何中的探索性問(wèn)題 如圖，四棱錐P­ABCD中，ABCD，AB2CD，E為PB的中點(diǎn)(1)求證：CE平面PAD；(2)在線(xiàn)段AB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面PAD平面CEF？若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解】(1)證明：如圖所示，取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH，因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以EHAB，EHAB，又ABCD，CDAB.所以EHCD，EHCD，因此四邊形DCEH是平行四邊形，所以CEDH，又DH平面PAD，CE平面PAD，所以CE平面PAD.(2)如圖所示，取AB的中點(diǎn)F，連接CF，EF，所以AFAB，又CDAB，所以AFCD，又AFCD，所以四邊形AFCD為平行四邊形，所以CFAD，又CF平面PAD，所以CF平面PAD，由(1)可知CE平面PAD，又CECFC，故平面CEF平面PAD，故存在A(yíng)B的中點(diǎn)F滿(mǎn)足要求解決探索性問(wèn)題的策略方法(1)根據(jù)探索性問(wèn)題的設(shè)問(wèn)，假設(shè)其存在并探索出結(jié)論，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證，若得到合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，若得到矛盾就否定假設(shè)(2)按類(lèi)似于分析法的格式書(shū)寫(xiě)步驟：從結(jié)論出發(fā)“要使成立”“只需使成立” 如圖，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，點(diǎn)D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)(1)若F為BB1的中點(diǎn)，判斷AC1與平面DEF是否平行？若平行，請(qǐng)給予證明，若不平行，說(shuō)明理由；(2)試問(wèn)：在側(cè)棱BB1上是否存在點(diǎn)F，使三棱錐F­DEB的體積與三棱柱ABC­A1B1C1的體積之比為.解：(1)法一：連接B1C，BC1，B1C與BC1交于點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)G，則DGAC1，因?yàn)镈G平面GDF，AC1平面GDF，則AC1平面GDF.由于平面GDF平面DEFDF，故AC1與平面DEF不可能平行法二：連接B1C，BC1，B1C與BC1交于點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)G，則DGAC1，而DG平面DEF，且DG與平面DEF交于點(diǎn)D，故AC1與平面DEF不可能平行(2)假設(shè)點(diǎn)F存在，由×，得，顯然，點(diǎn)F不存在基礎(chǔ)題組練1在空間內(nèi)，下列命題正確的是()A平行直線(xiàn)的平行投影重合B平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行C垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行D垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)平行解析：選D.對(duì)于A(yíng)，平行直線(xiàn)的平行投影也可能互相平行，或?yàn)閮蓚€(gè)點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面也可能相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，垂直于同一平面的兩個(gè)平面也可能相交，故C錯(cuò)誤；而D為直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理，正確2設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，m是直線(xiàn)且m，“m”是“”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析：選B.當(dāng)m時(shí)，過(guò)m的平面與可能平行也可能相交，因而mD/；當(dāng)時(shí)，內(nèi)任一直線(xiàn)與平行，因?yàn)閙，所以m.綜上知，“m”是“”的必要而不充分條件3(2020·杭州中學(xué)高三期中)已知m，n是兩條不同的直線(xiàn)，是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()A若，則B若mn，m，n，則C若mn，m，n，則D若mn，m，則n解析：選C.對(duì)于A(yíng)，若，則與平行或相交；對(duì)于B，若mn，m，n，則與平行或相交；對(duì)于D，若mn，m，則n或n在平面內(nèi)4.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AEEBAFFD14，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則()ABD平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形BEF平面BCD，且四邊形EFGH是梯形CHG平面ABD，且四邊形EFGH是菱形DEH平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形解析：選B.由AEEBAFFD14知EF綊BD，所以EF平面BCD.又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，所以HG綊BD，所以EFHG且EFHG.所以四邊形EFGH是梯形5如圖，若是長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EB1F­HC1G后得到的幾何體，其中E為線(xiàn)段A1B1上異于B1的點(diǎn)，F(xiàn)為線(xiàn)段BB1上異于B1的點(diǎn)，且EHA1D1，則下列結(jié)論不正確的是()AEHFG B四邊形EFGH是矩形C是棱柱 D是棱臺(tái)解析：選D.因?yàn)镋HA1D1，A1D1B1C1，所以EHB1C1，所以EH平面BCGF，又因?yàn)镕G平面BCGF，所以EHFG，故A正確；因?yàn)锽1C1平面A1B1BA，EF平面A1B1BA，所以B1C1EF，則EHEF，又由上面的分析知，EFGH為平行四邊形，故它是矩形，故B正確；因?yàn)镋HB1C1FG，故是棱柱，故C正確6(2020·杭州二中期中考試)如圖，在多面體ABC­DEFG中，平面ABC平面DEFG，EFDG，且ABDE，DG2EF，則()ABF平面ACGDBCF平面ABEDCBCFGD平面ABED平面CGF解析：選A.取DG的中點(diǎn)為M，連接AM，F(xiàn)M，如圖所示則由已知條件易證四邊形DEFM是平行四邊形，所以DE綊FM，因?yàn)槠矫鍭BC平面DEFG，平面ABC平面ADEBAB，平面DEFG平面ADEBDE，所以ABDE，所以ABFM.又ABDE，所以ABFM，所以四邊形ABFM是平行四邊形，即BFAM.又BF平面ACGD，所以BF平面ACGD.故選A.7.如圖，在空間四邊形ABCD中，MAB，NAD，若，則直線(xiàn)MN與平面BDC的位置關(guān)系是_解析：在平面ABD中，所以MNBD.又MN平面BCD，BD平面BCD，所以MN平面BCD.答案：平行8.如圖，正方體ABCD­A1B1C1D1中，AB2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上若EF平面AB1C，則線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度等于_解析：因?yàn)镋F平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD平面AB1CAC，所以EFAC，所以點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)故EFAC.答案：9(2020·寧波效實(shí)中學(xué)模擬)如圖，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M只需滿(mǎn)足條件_時(shí)，就有MN平面B1BDD1.(注：請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮全部可能情況)解析：連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FHDD1，HNBD，所以平面FHN平面B1BDD1，只要MFH，則MN平面FHN，所以MN平面B1BDD1.答案：M位于線(xiàn)段FH上(答案不唯一)10在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD­A1B1C1D1中，點(diǎn)P是A1B1的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A1作與截面PBC1平行的截面，所得截面的面積是_解析：如圖，取AB，C1D1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接A1E，A1F，EF，則平面A1EF平面BPC1.在A(yíng)1EF中，A1FA1E，EF2，SA1EF×2×，從而所得截面面積為2SA1EF2.答案：211如圖，已知ABCD­A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為3的正方體，點(diǎn)E在A(yíng)A1上，點(diǎn)F在CC1上，點(diǎn)G在BB1上，且AEFC1B1G1，點(diǎn)H是B1C1的中點(diǎn)(1)求證：E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面；(2)求證：平面A1GH平面BED1F.證明：(1)因?yàn)锳EB1G1，所以BGA1E2，因?yàn)锽GA1E，所以A1GBE.又因?yàn)镃1F綊B1G，所以FGC1B1D1A1，所以四邊形A1GFD1是平行四邊形所以A1GD1F，所以D1FEB，故E、B、F、D1四點(diǎn)共面(2)因?yàn)辄c(diǎn)H是B1C1的中點(diǎn)，所以B1H.又B1G1，所以.又，且FCBGB1H90°，所以B1HGCBF，所以B1GHCFBFBG，所以HGFB.又由(1)知A1GBE，且HGA1GG，F(xiàn)BBEB，所以平面A1GH平面BED1F. 12如圖，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，點(diǎn)D，D1分別為AC，A1C1上的點(diǎn)(1)當(dāng)?shù)扔诤沃禃r(shí)，BC1平面AB1D1?(2)若平面BC1D平面AB1D1，求的值解：(1)如圖，取D1為線(xiàn)段A1C1的中點(diǎn)，此時(shí)1.連接A1B交AB1于點(diǎn)O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)，知四邊形A1ABB1為平行四邊形，所以點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn)在A(yíng)1BC1中，點(diǎn)O，D1分別為A1B，A1C1的中點(diǎn)，所以O(shè)D1BC1.又因?yàn)镺D1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1平面AB1D1.所以1時(shí)，BC1平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BDC1BC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O.因此BC1D1O，同理AD1DC1.所以，.又因?yàn)?，所以1，即1.綜合題組練1如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD­A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個(gè)命題：沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形；水面EFGH所在四邊形的面積為定值；棱A1D1始終與水面所在平面平行；當(dāng)容器傾斜如圖所示時(shí)，BE·BF是定值其中正確的個(gè)數(shù)是()A1B2C3 D4解析：選C.由題圖知，顯然是正確的，是錯(cuò)的；對(duì)于因?yàn)锳1D1BC，BCFG，所以A1D1FG且A1D1平面EFGH，所以A1D1平面EFGH(水面)所以是正確的；因?yàn)樗嵌康?定體積V)所以SBEF·BCV，即BE·BF·BCV.所以BE·BF(定值)，即是正確的，故選C.2(2020·杭州二中模擬)已知兩個(gè)不重合的平面，給定以下條件：內(nèi)不共線(xiàn)的三點(diǎn)到的距離相等；l，m是內(nèi)的兩條直線(xiàn)，且l，m；l，m是兩條異面直線(xiàn)，且l，l，m，m.其中可以判定的是()A BC D解析：選D.中，內(nèi)的三點(diǎn)中如果一點(diǎn)在平面的一側(cè)，另兩點(diǎn)在平面的另一側(cè)，也可滿(mǎn)足這三點(diǎn)到的距離相等，所以不符合題意中，l與m平行時(shí)，與也可能相交中，如圖所示，過(guò)直線(xiàn)l作一平面，設(shè)a，b.因?yàn)閘，l，所以la，lb，所以ab，過(guò)直線(xiàn)m作一平面，設(shè)c，d.因?yàn)閙，m，所以mc，md，所以cd，所以c.因?yàn)閘，m是兩條異面直線(xiàn)，所以a，c必相交，所以，所以符合題意3在A(yíng)BC中，AB5，AC7，A60°，G是重心，過(guò)G的平面與BC平行，ABM，ACN，則MN_解析：根據(jù)余弦定理，得BC2AB2AC22AB·AC·cos A39，所以BC.因?yàn)锽C，MN平面ABC，所以MNBC，又G是ABC的重心，連接AG交BC于D，所以，則MN.答案：4(2020·溫州中學(xué)高考模擬)如圖所示，正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)P是棱AD上一點(diǎn)，且AP，過(guò)B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直線(xiàn)CD上，則PQ_解析：因?yàn)槠矫鍭1B1C1D1平面ABCD，而平面B1D1P平面ABCDPQ，平面B1D1P平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1PQ.又因?yàn)锽1D1BD，所以BDPQ，設(shè)PQABM，因?yàn)锳BCD，所以APMDPQ.所以2，即PQ2PM.又知APMADB，所以，所以PMBD，又BDa，所以PQa.答案：a5(2020·杭州學(xué)軍中學(xué)高三模擬)如圖，一個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)為l的直三棱柱ABC­A1B1C1容器中盛有液體(不計(jì)容器厚度)若液面恰好分別過(guò)棱AC，BC，B1C1，A1C1的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G.(1)求證：平面DEFG平面ABB1A1；(2)當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，求液面的高解：(1)證明：因?yàn)镈，E分別為棱AC，BC的中點(diǎn)，所以DE是ABC的中位線(xiàn)，所以DEAB.又DE平面ABB1A1，AB平面ABB1A1，所以DE平面ABB1A1.同理DG平面ABB1A1，又DEDGD，所以平面DEFG平面ABB1A1.(2)當(dāng)直三棱柱ABC­A1B1C1容器的側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，由(1)可知，液體部分是直四棱柱，其高即為原直三棱柱ABC­A1B1C1容器的高，即側(cè)棱長(zhǎng)l，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，設(shè)液面的高為h，ABC的面積為S，則由已知條件可知，CDECAB，且SCDES，所以S四邊形ABEDS.由于兩種狀態(tài)下液體體積相等，所以V液體ShS四邊形ABEDlSl，即hl.因此，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面的高為l.6如圖，長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18.點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A(yíng)1B1，D1C1上，過(guò)點(diǎn)E、F的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線(xiàn)圍成一個(gè)正方形EFGH.(1)求證：A1ED1F；(2)判斷A1D與平面的關(guān)系解：(1)證明：過(guò)點(diǎn)E分別作EMAB于點(diǎn)M，END1C1于點(diǎn)N.設(shè)MHm，NFn.因?yàn)镋FGH是正方形，所以EFEHHF.又在長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1中，AA18，BC10.所以102n282m210282(mn)2解得n0，m6.所以N與F重合所以A1ED1ND1F.(2)由(1)知，A1DEG.又A1EDG.所以四邊形A1DGE是以A1D與EG為腰的梯形，即A1D與EG相交又EG.所以直線(xiàn)A1D與平面相交20