（贛豫陜）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 6.1 垂直關(guān)系的判定學(xué)案 北師大版必修2

61垂直關(guān)系的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線與平面垂直的定義、判定定理.2.掌握平面與平面垂直的概念、判定定理.3.會應(yīng)用兩定義及兩定理證明有關(guān)的垂直問題知識點一直線與平面垂直的定義思考 在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面上的影子，隨著時間的變化，影子的位置在移動，在各個時刻旗桿所在的直線與其影子所在的直線夾角是否發(fā)生變化，為多少？答案不變，90°.梳理線面垂直的概念定義如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直記法l有關(guān)概念直線l叫作平面的垂線，平面叫作直線l的垂面，它們唯一的公共點P叫作垂足圖示畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的橫邊垂直知識點二直線和平面垂直的判定定理將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸)觀察折痕AD與桌面的位置關(guān)系思考1折痕AD與桌面一定垂直嗎？答案不一定思考2當(dāng)折痕AD滿足什么條件時，AD與桌面垂直？答案當(dāng)ADBD且ADCD時，折痕AD與桌面垂直梳理判定定理文字語言如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直符號語言la，lb，a，b，abAl圖形語言知識點三二面角思考1觀察教室內(nèi)門與墻面，當(dāng)門繞著門軸旋轉(zhuǎn)時，門所在的平面與墻面所形成的角的大小和形狀數(shù)學(xué)上，用哪個概念來描述門所在的平面與墻面所在的平面所形成的角？答案二面角思考2平時，我們常說“把門開大一點”，在這里指的是哪個角大一點？答案二面角的平面角梳理(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形(2)相關(guān)概念：這條直線叫作二面角的棱兩個半平面叫作二面角的面(3)二面角的記法以直線AB為棱，半平面，為面的二面角，記作二面角面AB.(4)二面角的平面角：若有Ol；OA，OB；OAl，OBl，則二面角l的平面角是AOB.知識點四平面與平面垂直思考建筑工人常在一根細(xì)線上拴一個重物，做成“鉛錘”，用這種方法來檢查墻與地面是否垂直當(dāng)掛鉛錘的線從上面某一點垂下時，如果墻壁貼近鉛錘線，則說明墻和地面什么關(guān)系？此時鉛錘線與地面什么關(guān)系？答案都是垂直梳理(1)平面與平面垂直的概念定義：如果兩個平面相交，且它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直畫法：記法：.(2)判定定理文字語言如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直圖形語言符號語言l，l1若直線l平面，則l與平面內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可能平行(×)2若直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l.(×)3若l，則過l有無數(shù)個平面與垂直()4兩垂直平面的二面角的平面角大小為90°.()類型一線面垂直的定義及判定定理的理解例1下列命題中，正確的序號是_若直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l；若直線l與平面內(nèi)的一條直線垂直，則l；若直線l不垂直于平面，則內(nèi)沒有與l垂直的直線；若直線l不垂直于平面，則內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直；過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條考點直線與平面垂直的判定題點判定直線與平面垂直答案解析當(dāng)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直時，l與不一定垂直，所以不正確；當(dāng)l與內(nèi)的一條直線垂直時，不能保證l與平面垂直，所以不正確；當(dāng)l與不垂直時，l可能與內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，所以不正確，正確；過一點有且只有一條直線垂直于已知平面，所以正確反思與感悟(1)對于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說法與“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”不是一回事，后者說法是不正確的，它可以使直線與平面斜交(2)判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線跟蹤訓(xùn)練1(1)若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于()A平面OAB B平面OACC平面OBC D平面ABC(2)如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的：三角形的兩邊；梯形的兩邊；圓的兩條直徑；正五邊形的兩邊能保證該直線與平面垂直的是_(填序號)考點直線與平面垂直的判定題點判定直線與平面垂直答案(1)C(2)解析(1)OAOB，OAOC，OBOCO，OB，OC平面OBC，OA平面OBC.(2)根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的，中給定的兩直線一定相交，能保證直線與平面垂直，而梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿足定理條件類型二線面垂直的判定例2如圖，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直徑，C是O上任意一點，求證：BC平面PAC.考點直線與平面垂直的判定題點直線與平面垂直的證明證明PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.又AB是O的直徑，BCAC.而PAACA，PA，AC平面PAC，BC平面PAC.引申探究若本例中其他條件不變，作AEPC交PC于點E，求證：AE平面PBC.證明由例2知BC平面PAC，又AE平面PAC，BCAE.PCAE，且PCBCC，PC，BC平面PBC，AE平面PBC.反思與感悟(1)使用直線與平面垂直的判定定理的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到兩條相交直線都與已知直線垂直，即把線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直來解決(2)證明線面垂直的方法線面垂直的定義線面垂直的判定定理如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面跟蹤訓(xùn)練2如圖，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直徑，C是O上任意一點，過點A作AEPC于點E，作AFPB于點F，求證：PB平面AEF.考點直線與平面垂直的判定題點直線與平面垂直的證明證明由引申探究知AE平面PBC.PB平面PBC，AEPB，又AFPB，且AEAFA，AE，AF平面AEF，PB平面AEF.類型三面面垂直的判定例3如圖所示，在四棱錐SABCD中，底面四邊形ABCD是平行四邊形，SC平面ABCD，E為SA的中點求證：平面EBD平面ABCD.考點平面與平面垂直的判定題點利用判定定理證明兩平面垂直證明連接AC，與BD交于O點，連接OE.O為AC的中點，E為SA的中點，EOSC.SC平面ABCD，EO平面ABCD.又EO平面EBD，平面EBD平面ABCD.反思與感悟(1)由面面垂直的判定定理知，要證兩個平面互相垂直，關(guān)鍵是證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線(2)證明面面垂直的常用方法：面面垂直的判定定理；所成二面角是直二面角跟蹤訓(xùn)練3如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，ACB90°，ACAA1，D是棱AA1的中點證明：平面BDC1平面BDC.考點平面與平面垂直的判定題點利用判定定理證明兩平面垂直證明由題設(shè)知BCCC1，BCAC，CC1ACC，CC1，AC平面ACC1A1，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由題設(shè)知A1DC1ADC45°，所以CDC190°，即DC1DC.又DCBCC，DC，BC平面BDC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.類型四與二面角有關(guān)的計算例4如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值考點二面角題點看圖索角解取A1C1的中點O，連接B1O，BO.由題意知B1OA1C1，又BA1BC1，O為A1C1的中點，所以BOA1C1，所以BOB1即是二面角BA1C1B1的平面角因為BB1平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1OB1.設(shè)正方體的棱長為a，則OB1a，在RtBB1O中，tanBOB1，所以二面角BA1C1B1的正切值為.反思與感悟(1)求二面角的大小關(guān)鍵是要找出或作出平面角再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函數(shù)值，其步驟為作角證明計算(2)為了能在適當(dāng)位置作出平面角要注意觀察二面角兩個面的圖形特點，如是否為等腰三角形等跟蹤訓(xùn)練4如圖，AB是O的直徑，PA垂直于O所在的平面，C是圓周上的一點，且PAAC，求二面角PBCA的大小考點二面角題點看圖索角解由已知PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.AB是O的直徑，且點C在圓周上，ACBC.又PAACA，PA，AC平面PAC，BC平面PAC.又PC平面PAC，PCBC.又BC是二面角PBCA的棱，PCA是二面角PBCA的平面角由PAAC知，PAC是等腰直角三角形，PCA45°，即二面角PBCA的大小是45°.1已知直線m，n是異面直線，則過直線n且與直線m垂直的平面()A有且只有一個 B至多一個C有一個或無數(shù)個 D不存在考點直線與平面垂直的判定題點判定直線與平面垂直答案B解析若異面直線m，n垂直，則符合要求的平面有一個，否則不存在2已知m和n是兩條不同的直線，和是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中，一定能推出m的是()A，且m Bmn，且nCmn，且n Dmn，且n考點直線與平面垂直的判定題點判定直線與平面垂直答案B解析A中，由，且m，知m；B中，由n，知n垂直于平面內(nèi)的任意直線，再由mn，知m也垂直于內(nèi)的任意直線，所以m，符合題意；C，D中，m或m或m與相交，不符合題意，故選B.3如圖，l，點A，C，點B，且BA，BC，那么直線l與直線AC的關(guān)系是()A異面 B平行C垂直 D不確定考點直線與平面垂直的判定題點判定直線與平面垂直答案C解析BA，l，l，BAl.同理BCl，又BABCB，l平面ABC.AC平面ABC，lAC.4三棱錐PABC中，PAPBPC，AB10，BC8，CA6，則二面角PACB的大小為_考點二面角題點看圖索角答案60°解析由題意易得點P在平面ABC上的射影O是AB的中點取AC的中點Q，連接OQ，則OQBC.由題意可得ABC是直角三角形，且ACB90°，AQO90°，即OQAC.又PAPC，PQAC，PQO即是二面角PACB的平面角PA，AQAC3，PQ8.又OQBC4，cosPQO，PQO60°，即二面角PACB的大小為60°.5.如圖，在四面體ABCD中，CBCD，ADBD，且E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點求證：平面EFC平面BCD.考點平面與平面垂直的判定題點利用判定定理證明兩平面垂直證明E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點，EFAD，又ADBD，EFBD.CBCD，F(xiàn)是BD的中點，CFBD.又EFCFF，EF，CF平面EFC，BD平面EFC.又BD平面BCD，平面EFC平面BCD.1.直線和平面垂直的判定方法：(1)利用線面垂直的定義；(2)利用線面垂直的判定定理；(3)利用下面兩個結(jié)論：若ab，a，則b；若，a，則a.2證明兩個平面垂直的主要途徑：(1)利用面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理，即如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直3證明兩個平面垂直，通常是通過證明線線垂直線面垂直面面垂直來實現(xiàn)的，因此，在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化每一垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的一、選擇題1已知l，則過l與垂直的平面()A有1個 B有2個C有無數(shù)個 D不存在考點平面與平面垂直的判定題點判定兩平面垂直答案C解析過直線l的平面都與垂直2過兩點與一個已知平面垂直的平面()A有且只有一個 B有無數(shù)個C有且只有一個或無數(shù)個 D可能不存在考點平面與平面垂直的判定題點判定兩平面垂直答案C解析若過兩點的直線與已知平面垂直時，此時過這兩點有無數(shù)個平面與已知平面垂直，若過兩點的直線與已知平面不垂直時，則有且只有一個過這兩點的平面與已知平面垂直3下列說法中，正確的有()如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線和這個平面垂直；過直線l外一點P，有且僅有一個平面與l垂直；如果三條共點直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面；垂直于角的兩邊的直線必垂直角所在的平面；過點A垂直于直線a的所有直線都在過點A垂直于a的平面內(nèi)A2個 B3個C4個 D5個考點直線與平面垂直的判定題點判定直線與平面垂直答案B解析不正確，其他三項均正確4從空間一點P向二面角l的兩個面，分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若EPF60°，則二面角l的平面角的大小是()A60° B120°C60°或120° D不確定考點二面角題點求二面角的大小答案C解析若點P在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為120°；若點P在二面角外，則二面角的平面角為60°.5三棱錐PABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，O是頂點P在底面ABC上的射影，則()ASABCSPBCSOBCBSSOBC·SABCC2SPBCSOBCSABCD2SOBCSPBCSABC答案B解析如圖，由題設(shè)，知O是垂心，且有APPD，所以PD2OD·AD，即SSOBC·SABC.6如圖，O為正方體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，則下列直線中與B1O垂直的是()AA1D BAA1CA1D1 DA1C1考點直線與平面垂直的判定題點判定直線與平面垂直答案D解析由題易知，A1C1平面BB1D1D，又OB1平面BB1D1D，A1C1B1O.7在正方體ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值為()A. B. C. D.考點二面角題點求二面角的大小答案C解析如圖，連接AC，交BD于點O，連接A1O，則O為BD中點因為A1DA1B，所以A1OBD.又因為在正方形ABCD中，ACBD，所以A1OA為二面角A1BDA的平面角設(shè)AA11，則AO.所以tanA1OA.二、填空題8在RtABC中，D是斜邊AB的中點，AC6，BC8，EC平面ABC，且EC12，則ED_.考點線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點平行與垂直的計算與探索性問題答案13解析如圖，在RtABC中，CDAB.因為AC6，BC8，所以AB10，所以CD5.因為EC平面ABC，CD平面ABC，所以ECCD.所以ED13.9在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，則P到BC的距離是_考點線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點平行與垂直的計算與探索性問題答案4解析如圖所示，作PDBC于點D，連接AD.PA平面ABC，PABC.又PDPAP，CB平面PAD，ADBC.在ACD中，AC5，CD3，AD4.在RtPAD中，PA8，AD4，PD4.10已知，是兩個不同的平面，m，n是平面及之外的兩條不同直線，給出四個論斷：mn；n；m.以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：_.(用序號表示)考點題點答案(或)解析當(dāng)m，mn時，有n或n.當(dāng)n時，即或當(dāng)，m時，有m或m，當(dāng)n時，mn，即.11已知三棱錐DABC的三個側(cè)面與底面全等，且ABAC，BC2，則二面角DBCA的大小為_考點二面角題點求二面角的大小答案90°解析如圖，由題意知ABACBDCD，BCAD2.取BC的中點E，連接DE，AE，則AEBC，DEBC，所以DEA為所求二面角的平面角易得AEDE，又AD2，所以DEA90°.三、解答題12如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點證明：PC平面BEF.考點直線與平面垂直的判定題點直線與平面垂直的證明證明如圖，連接PE，EC，在RtPAE和RtCDE中，PAABCD，AEDE，PECE，即PEC是等腰三角形又F是PC的中點，EFPC.又BP2BC，F(xiàn)是PC的中點，BFPC.又BFEFF，BF，EF平面BEF，PC平面BEF.13如圖所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E為BB1的中點，求證：截面A1CE側(cè)面ACC1A1.考點平面與平面垂直的判定題點利用判定定理證明兩平面垂直證明如圖所示，取A1C的中點F，AC的中點G，連接FG，EF，BG，則FGAA1，且GFAA1.因為BEEB1，A1B1CB，A1B1ECBE90°，所以A1B1ECBE，所以A1ECE.因為F為A1C的中點，所以EFA1C.又FGAA1BE，GFAA1BE，且BEBG，所以四邊形BEFG是矩形，所以EFFG.因為A1CFGF，A1C，F(xiàn)G平面ACC1A1，所以EF側(cè)面ACC1A1.又因為EF平面A1CE，所以截面A1CE側(cè)面ACC1A1.四、探究與拓展14在正四面體PABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論中不成立的是()ABC平面PDF BDF平面PAEC平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC考點平面與平面垂直的判定題點判定兩平面垂直答案C解析如圖所示，BCDF，BC平面PDF，A正確由BCPE，BCAE，PEAEE，得BC平面PAE，DF平面PAE，B正確平面ABC平面PAE(BC平面PAE)，D正確15.如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，點E在棱AB上移動(1)證明：D1EA1D；(2)求AE等于何值時，二面角D1ECD的大小為45°？考點二面角題點看圖索角(1)證明連接D1A，D1B.在長方形A1ADD1中，ADAA11，四邊形A1ADD1為正方形，A1DAD1.又由題意知ABA1D，且ABAD1A，A1D平面ABD1.D1E平面ABD1，A1DD1E.(2)解過D作DFEC于點F，連接D1F.D1D平面DB，EC平面DB，D1DEC.又DFD1DD，EC平面D1DF.D1F平面D1DF，ECD1F，DFD1為二面角D1ECD的平面角，DFD145°，又D1DF90°，D1D1，DF1.在RtDFC中，DC2，DCF30°，ECB60°.在RtEBC中，BC1，EB，AE2.18