（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.6 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)講義 理

第六節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1根式的性質(zhì)(1)()na(a使有意義)(2)當(dāng)n是奇數(shù)時，a；當(dāng)n是偶數(shù)時，|a|2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義(1)a(a0，m，nN*，且n1)(2)a(a0，m，nN*，且n1)(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義3有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)ar·asars(a0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)4指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)yax(a0，且a1)圖象a10a1性質(zhì)定義域R值域(0，)單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x0時，y1當(dāng)x0時，0y1；當(dāng)x0時，y1當(dāng)x0時，y1；當(dāng)x0時，0y1化簡時，一定要注意區(qū)分n是奇數(shù)還是偶數(shù)1圖象問題(1)畫指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點(0,1)，(1，a)，.(2)yax與yx的圖象關(guān)于y軸對稱(3)當(dāng)a1時，指數(shù)函數(shù)的圖象呈上升趨勢，當(dāng)0a1時，指數(shù)函數(shù)的圖象呈下降趨勢；簡記：撇增捺減2函數(shù)性質(zhì)的注意點討論指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時，要注意分底數(shù)a1和0a1兩種情況.熟記常用結(jié)論指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較：如圖是指數(shù)函數(shù)(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為cd1ab.規(guī)律：在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低)，其底數(shù)越大小題查驗基礎(chǔ)一、判斷題(對的打“”，錯的打“×”)(1)4.()(2)函數(shù)y2x1是指數(shù)函數(shù)()(3)函數(shù)ya(a1)的值域是(0，)()(4)若aman(a0，a1)，則mn.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×二、選填題1計算(2)6(1)0的結(jié)果為()A9B7C10 D9解析：選B原式212317.故選B.2函數(shù)f(x)3x1的值域為()A(1，) B(1，)C(0,1) D1，)解析：選B3x0，3x11，即函數(shù)f(x)3x1的值域為(1，)3化簡的結(jié)果是_解析：由題意知，x0，.答案：4當(dāng)a0且a1時，函數(shù)f(x)ax23的圖象必過定點_解析：令x20，則x2，此時f(x)132，故函數(shù)f(x)ax23的圖象必過定點(2，2)答案：(2，2)5若指數(shù)函數(shù)f(x)(a2)x為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：f(x)(a2)x為減函數(shù)，0a21，即2a3.答案：(2,3)題組練透化簡下列各式：(1)022×(0.01)0.5；(2)a·b2·(3ab1)÷(4a·b3)；(3).解：(1)原式1×1×1.(2)原式ab3÷(4a·b3)ab3÷(ab)a·b·.(3)原式a·b.名師微點指數(shù)冪運算的一般原則(1)有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運算(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解答典例精析(1)函數(shù)yaxa1(a0，且a1)的圖象可能是()(2)若函數(shù)y|2x1|的圖象與直線yb有兩個公共點，則b的取值范圍為_解析(1)函數(shù)yax是由函數(shù)yax的圖象向下平移個單位長度得到的，A項顯然錯誤；當(dāng)a1時，01，平移距離小于1，所以B項錯誤；當(dāng)0a1時，1，平移距離大于1，所以C項錯誤故選D.(2)作出曲線y|2x1|的圖象與直線yb如圖所示由圖象可得b的取值范圍是(0,1)答案(1)D(2)(0,1)1(變條件)將本例(2)改為若函數(shù)y|2x1|在(，k上單調(diào)遞減，則k的取值范圍為_解析：因為函數(shù)y|2x1|的單調(diào)遞減區(qū)間為(，0，所以k0，即k的取值范圍為(，0答案：(，02(變條件)若曲線|y|2x1與直線yb沒有公共點，則b的取值范圍是_解析：作出曲線|y|2x1的圖象，如圖所示，要使該曲線與直線yb沒有公共點，只需1b1.答案：1,13(變條件)將本例(2)改為直線y2a與函數(shù)y|ax1|(a0，且a1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍為_解析：y|ax1|的圖象是由yax的圖象先向下平移1個單位，再將x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的當(dāng)a1時，如圖1，兩圖象只有一個交點，不合題意；當(dāng)0a1時，如圖2，要使兩個圖象有兩個交點，則02a1，得到0a.綜上可知，a的取值范圍是.答案：解題技法有關(guān)指數(shù)函數(shù)圖象問題的解題思路(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象，一般是取特殊點，判斷選項中的圖象是否過這些點，若不滿足則排除(2)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論(3)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解(4)根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的問題，可以通過直線x1與圖象的交點進行判斷過關(guān)訓(xùn)練1函數(shù)f(x)1e|x|的圖象大致是()解析：選A由f(x)1e|x|是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，排除B、D.又e|x|1，所以f(x)的值域為(，0，排除C.2已知f(x)|2x1|，當(dāng)abc時，有f(a)f(c)f(b)，則必有()Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0C2a2c D12a2c2解析：選D作出函數(shù)f(x)|2x1|的圖象如圖所示，因為abc，且有f(a)f(c)f(b)，所以必有a0,0c1，且|2a1|2c1|，所以12a2c1，則2a2c2，且2a2c1.故選D.考法全析考法(一)比較指數(shù)式的大小例1已知f(x)2x2x，a，b，clog2，則f(a)，f(b)，f(c)的大小關(guān)系為()Af(b)f(a)f(c)Bf(c)f(b)f(a)Cf(c)f(a)f(b) Df(b)f(c)f(a)解析易知f(x)2x2x在R上為增函數(shù)，又ab0，clog20，則abc，所以f(c)f(b)f(a)答案B考法(二)解簡單的指數(shù)方程或不等式例2(1)已知實數(shù)a1，函數(shù)f(x)若f(1a)f(a1)，則a的值為_(2)設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)1，則實數(shù)a的取值范圍是_解析(1)當(dāng)a1時，41a21，解得a；當(dāng)a1時，代入不成立故a的值為.(2)若a0，則f(a)1a71a8，解得a3，故3a0；若a0，則f(a)11，解得a1，故0a1.綜合可得3a1.答案(1)(2)(3,1)考法(三)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x).(1)若a1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值解(1)當(dāng)a1時，f(x)，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上單調(diào)遞增，在(2，)上單調(diào)遞減，而yt在R上單調(diào)遞減，所以f(x)在(，2)上單調(diào)遞減，在(2，)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，2)(2)令g(x)ax24x3，則f(x)g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)應(yīng)有最小值1，因此必有解得a1，即當(dāng)f(x)有最大值3時，a的值等于1.(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使f(x)的值域為(0，)，應(yīng)使yax24x3的值域為R，因此只能a0(因為若a0，則yax24x3為二次函數(shù)，其值域不可能為R)故a的值為0.規(guī)律探求看個性考法(一)是利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較冪值的大小，其方法是：先看能否化成同底數(shù)，能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大?。豢挤?二)是利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解簡單的指數(shù)方程或不等式，其方法是：先利用冪的運算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解；考法(三)是指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其方法是：首先判斷指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，再利用其性質(zhì)求解找共性以上問題都是指數(shù)型函數(shù)問題，關(guān)鍵應(yīng)判斷其單調(diào)性，對于形如yaf(x)的函數(shù)的單調(diào)性，它的單調(diào)區(qū)間與f(x)的單調(diào)區(qū)間有關(guān)：若a1，函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間即函數(shù)yaf(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間；若0a1，函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間即函數(shù)yaf(x)的單調(diào)減(增)區(qū)間過關(guān)訓(xùn)練1設(shè)a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是()Aabc BacbCbac Dbca解析：選C因為函數(shù)y0.6x在R上單調(diào)遞減，所以b0.61.5a0.60.61.又c1.50.61，所以bac.2(2019·福州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(x22)f(x)的x的取值范圍是_解析：由題意x0時，f(x)單調(diào)遞增，故f(x)f(0)0，而x0時，x0，故若f(x22)f(x)，則x22x，且x220，解得x2或x.答案：(，)(2，) 一、題點全面練1設(shè)a0，將表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，其結(jié)果是()AaBaCa Da解析：選C由題意aa.故選C.2.函數(shù)f(x)axb的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()Aa1，b0Ba1，b0C0a1,0b1D0a1，b0解析：選D法一：由題圖可知0a1，當(dāng)x0時，ab(0,1)，故b0，得b0.故選D.法二：由圖可知0a1，f(x)的圖象可由函數(shù)yax的圖象向左平移得到，故b0，則b0.故選D.3化簡÷×的結(jié)果是()Aa BbCab Dab2解析：選A原式÷×a··aa·a·aa.4設(shè)x0，且1bxax，則()A0ba1 B0ab1C1ba D1ab解析：選C因為1bx，所以b0bx，因為x0，所以b1，因為bxax，所以x1，因為x0，所以1，所以ab，所以1ba.故選C.5已知a()，b2，c9，則a，b，c的大小關(guān)系是()Abac BabcCbca Dcab解析：選Aa()22，b2，c93，由函數(shù)yx在(0，)上為增函數(shù)，得ac，由函數(shù)y2x在R上為增函數(shù)，得ab，綜上得cab.故選A.6函數(shù)f(x)axb1(其中0a1，且0b1)的圖象一定不經(jīng)過()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選C由0a1可得函數(shù)yax的圖象單調(diào)遞減，且過第一、二象限，因為0b1，所以1b10，所以01b1，yax的圖象向下平移1b個單位即可得到y(tǒng)axb1的圖象，所以yaxb1的圖象一定在第一、二、四象限，一定不經(jīng)過第三象限故選C.7已知函數(shù)f(x)則函數(shù)f(x)是()A偶函數(shù)，在0，)單調(diào)遞增B偶函數(shù)，在0，)單調(diào)遞減C奇函數(shù)，且單調(diào)遞增D奇函數(shù)，且單調(diào)遞減解析：選C易知f(0)0，當(dāng)x0時，f(x)12x，f(x)2x1，此時x0，則f(x)2x1f(x)；當(dāng)x0時，f(x)2x1，f(x)12x，此時x0，則f(x)12(x)12xf(x)即函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，故選C.8二次函數(shù)yx24x(x2)與指數(shù)函數(shù)yx的交點有()A3個 B2個C1個 D0個解析：選C因為二次函數(shù)yx24x(x2)24(x2)，且x1時，yx24x3，yx2，在坐標(biāo)系中畫出yx24x(x2)與yx的大致圖象，由圖可得，兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)是1.故選C.9已知函數(shù)f(x)x4，x(0,4)，當(dāng)xa時，f(x)取得最小值b，則函數(shù)g(x)a|xb|的圖象為()解析：選A因為x(0,4)，所以x11，所以f(x)x4x152 51，當(dāng)且僅當(dāng)x2時取等號，此時函數(shù)有最小值1，所以a2，b1，此時g(x)2|x1|此函數(shù)圖象可以看作由函數(shù)y的圖象向左平移1個單位得到結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象及選項可知A正確故選A.10函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為_解析：設(shè)ux22x1，yu在R上為減函數(shù)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間即為函數(shù)ux22x1的單調(diào)遞增區(qū)間又ux22x1的單調(diào)遞增區(qū)間為(，1，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，1答案：(，111不等式恒成立，則a的取值范圍是_解析：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知yx是減函數(shù)，因為恒成立，所以x2ax2xa2恒成立，所以x2(a2)xa20恒成立，所以(a2)24(a2)0，即(a2)(a24)0，即(a2)(a2)0，故有2a2，即a的取值范圍是(2,2)答案：(2,2)12已知函數(shù)f(x)x3(a0，且a1)(1)討論f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范圍，使f(x)0在定義域上恒成立解：(1)由于ax10，則ax1，得x0，函數(shù)f(x)的定義域為x|x0對于定義域內(nèi)任意x，有f(x)(x)3(x)3(x)3x3f(x)，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)(2)由(1)知f(x)為偶函數(shù)，只需討論x0時的情況，當(dāng)x0時，要使f(x)0，則x30，即0，即0，則ax1.又x0，a1.當(dāng)a(1，)時，f(x)0.二、專項培優(yōu)練(一)易錯專練不丟怨枉分1設(shè)yf(x)在(，1上有定義，對于給定的實數(shù)K，定義fK(x)給出函數(shù)f(x)2x14x，若對于任意x(，1，恒有fK(x)f(x)，則()AK的最大值為0 BK的最小值為0CK的最大值為1 DK的最小值為1解析：選D根據(jù)題意可知，對于任意x(，1，恒有fK(x)f(x)，則f(x)K在x1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可令2xt，則t(0,2，f(t)t22t(t1)21，可得f(t)的最大值為1，K1，故選D.2已知實數(shù)a，b滿足ab，則()Ab2 Bb2Ca Da解析：選B由a，得a1，由ab，得2ab，故2ab，由b，得b4，得b4.由2ab，得b2a2，a2，故1a2,2b4.對于選項A、B，由于b24(ba)(b2)24(a1)0恒成立，故A錯誤，B正確；對于選項C，D，a2(ba)2，由于1a2,2b4，故該式的符號不確定，故C、D錯誤故選B.3設(shè)a0，且a1，函數(shù)ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，求實數(shù)a的值解：令tax(a0，且a1)，則原函數(shù)化為yf(t)(t1)22(t0)當(dāng)0a1，x1,1時，tax，此時f(t)在上為增函數(shù)所以f(t)maxf2214.所以216，解得a(舍去)或a.當(dāng)a1時，x1,1，tax，此時f(t)在上是增函數(shù)所以f(t)maxf(a)(a1)2214，解得a3或a5(舍去)綜上得a或3.(二)交匯專練融會巧遷移4與基本不等式交匯設(shè)f(x)ex,0ab，若pf，qf，r，則下列關(guān)系式中正確的是()Aqrp BprqCqrp Dprq解析：選C0ab，又f(x)ex在(0，)上為增函數(shù)，ff()，即qp.又req，故qrp.故選C.5與一元二次函數(shù)交匯函數(shù)yxx1在區(qū)間3,2上的值域是_解析：令tx，因為x3,2，所以t，故yt2t12.當(dāng)t時，ymin；當(dāng)t8時，ymax57.故所求函數(shù)的值域為.答案：6與函數(shù)性質(zhì)、不等式恒成立交匯已知定義域為R的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求a，b的值；(2)若對任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范圍解：(1)因為f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)0，即0，解得b1.從而有f(x).又由f(1)f(1)知，解得a2.(2)由(1)知f(x)，由上式易知f(x)在R上為減函數(shù)，又因為f(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t22t)f(2t2k)0等價于f(t22t)f(2t2k)f(2t2k)因為f(x)是R上的減函數(shù)，由上式推得t22t2t2k.即對一切tR有3t22tk0，從而412k0，解得k.故k的取值范圍為.15