（江蘇專版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第九章 解析幾何學案 文

第九章 解析幾何第一節(jié)直線與方程本節(jié)主要包括3個知識點：1.直線的傾斜角與斜率、兩直線的位置關系；2.直線的方程；3.直線的交點、距離與對稱問題.突破點(一)直線的傾斜角與斜率、兩直線的位置關系 基礎聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1直線的斜率P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1x2，則l的斜率k.2直線的傾斜角(1)定義：在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線，把x軸所在的直線繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0.(2)范圍：直線l傾斜角的范圍是0，)(3)直線l的傾斜角為，則斜率ktan_.3兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行：對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1k2.當直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1l2.(2)兩條直線垂直：如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1·k21.當其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1l2.考點貫通抓高考命題的“形”與“神”直線的傾斜角與斜率1直線都有傾斜角，但不一定都有斜率，二者的關系具體如下：斜率kktan 0k0ktan 0不存在傾斜角銳角0°鈍角90°2.在分析直線的傾斜角和斜率的關系時，要根據(jù)正切函數(shù)ktan 的單調(diào)性，如圖所示：當取值在內(nèi)，由0增大到時，k由0增大并趨向于正無窮大；當取值在內(nèi)，由增大到()時，k由負無窮大增大并趨近于0.解決此類問題，常采用數(shù)形結(jié)合思想例1(1)直線xsin y20的傾斜角的取值范圍是_(2)已知線段PQ兩端點的坐標分別為P(1,1)和Q(2,2)，若直線l：xmym0與線段PQ有交點，則實數(shù)m的取值范圍是_解析(1)因為直線xsin y20的斜率ksin ，又1sin 1，所以1k1.設直線xsin y20的傾斜角為，所以1tan 1，而0，)，故傾斜角的取值范圍是.(2)如圖所示，直線l：xmym0過定點A(0，1)，當m0時，kQA，kPA2，kl.2或.解得0m或m0；當m0時，直線l的方程為x0，與線段PQ有交點實數(shù)m的取值范圍為.答案(1)(2)易錯提醒直線傾斜角的范圍是0，)，而這個區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時，要分與兩種情況討論由正切函數(shù)圖象可以看出，當時，斜率k0，)；當時，斜率不存在；當時，斜率k(，0)兩直線的位置關系兩直線平行或垂直的判定方法(1)已知兩直線的斜率存在兩直線平行兩直線的斜率相等且坐標軸上的截距不相等；兩直線垂直兩直線的斜率之積為1.(2)已知兩直線的斜率不存在若兩直線的斜率不存在，當兩直線在x軸上的截距不相等時，兩直線平行；否則兩直線重合例2已知兩條直線l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求滿足下列條件的a，b的值(1)l1l2，且l1過點(3，1)；(2)l1l2，且坐標原點到這兩條直線的距離相等解(1)由已知可得l2的斜率存在，所以k21a.若k20，則1a0，a1.因為l1l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b0.又因為l1過點(3，1)，所以3a40，即a(矛盾)所以此種情況不存在，所以k20.即k1，k2都存在，因為k21a，k1，l1l2，所以k1k21，即(1a)1.又因為l1過點(3，1)，所以3ab40.由聯(lián)立，解得a2，b2.(2)因為l2的斜率存在，l1l2，所以直線l1的斜率存在，k1k2，即1a.又因為坐標原點到這兩條直線的距離相等，且l1l2，所以l1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即b，聯(lián)立，解得或所以a2，b2或a，b2.方法技巧已知兩直線一般方程的兩直線位置關系的表示直線方程l1：A1xB1yC10(AB0) l2：A2xB2yC20(AB0)l1與l2垂直的充要條件A1A2B1B20l1與l2平行的充分條件(A2B2C20)l1與l2相交的充分條件(A2B20)l1與l2重合的充分條件(A2B2C20)提醒當直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件能力練通抓應用體驗的“得”與“失”1.直線2xcos y30，的傾斜角的取值范圍是_解析：直線2xcos y30的斜率k2cos ，因為，所以cos ，因此k2·cos 1， 設直線的傾斜角為，則有tan 1， 又0，)，所以，即傾斜角的取值范圍是.答案：2.(2018·蘇北四市模擬)設P為曲線C：yx22x3上的點，且曲線C在點P處的切線傾斜角的取值范圍為，則點P橫坐標的取值范圍為_解析：由題意知y2x2，設P(x0，y0)，則k2x02.因為曲線C在點P處的切線傾斜角的取值范圍為，則0k1，即02x021，故1x0.答案：3.(2018·蘇州調(diào)研)若直線l1：xay60與l2：(a2)x3y2a0平行，則l1與l2間的距離為_解析：由題意知，直線l1，l2斜率均存在，因為l1l2，所以，所以解得a1，所以l1：xy60，l2：xy0，所以l1與l2之間的距離d.答案：4.已知直線l1：2ax(a1)y10，l2：(a1)x(a1)y0，若l1l2，則a_.解析：因為直線l1：2ax(a1)y10，l2：(a1)x(a1)y0，l1l2，所以2a(a1)(a1)(a1)0，解得a或a1.答案：或15.直線l過點P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為_解析：如圖，kAP1，kBP，k(， 1，)答案：(， 1，)6.(2018·蘇北四市一模)已知a，b為正數(shù)，且直線axby60與直線2x(b3)y50平行，則2a3b的最小值為_解析：由兩直線平行可得，a(b3)2b0，即2b3aab，1.又a，b為正數(shù)，所以2a3b(2a3b)·13132 25，當且僅當ab5時取等號，故2a3b的最小值為25.答案：25突破點(二)直線的方程 基礎聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”直線方程的五種形式形式幾何條件方程適用范圍點斜式過一點(x0，y0)，斜率kyy0k(xx0)與x軸不垂直的直線斜截式縱截距b，斜率kykxb與x軸不垂直的直線兩點式過兩點(x1，y1)，(x2，y2)與x軸、y軸均不垂直的直線截距式橫截距a，縱截距b1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式AxByC0，A2B20平面直角坐標系內(nèi)所有直線考點貫通抓高考命題的“形”與“神”求直線方程例1(1)求過點A(1,3)，斜率是直線y4x的斜率的的直線方程(2)求經(jīng)過點A(5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程(3)求過A(2,1)，B(m,3)兩點的直線l的方程解(1)設所求直線的斜率為k，依題意k4×.又直線經(jīng)過點A(1,3)，因此所求直線方程為y3(x1)，即4x3y130.(2)當直線不過原點時，設所求直線方程為1，將(5,2)代入所設方程，解得a，所以直線方程為x2y10；當直線過原點時，設直線方程為ykx，則5k2，解得k，所以直線方程為yx，即2x5y0.故所求直線方程為2x5y0或x2y10.(3)當m2時，直線l的方程為x2；當m2時，直線l的方程為，即2x(m2)ym60.因為m2時，代入方程2x(m2)ym60，即為x2，所以直線l的方程為2x(m2)ym60.易錯提醒(1)在求直線方程時，應選擇適當?shù)男问剑⒆⒁飧鞣N形式的適用條件(2)對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運用(若采用點斜式，應先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應先判斷截距是否為零)與直線方程有關的最值問題例2過點P(4,1)作直線l分別交x，y軸正半軸于A，B兩點(1)當AOB面積最小時，求直線l的方程；(2)當|OA|OB|取最小值時，求直線l的方程解設直線l：1(a0，b0)，因為直線l經(jīng)過點P(4,1)，所以1.(1)12 ，所以ab16，當且僅當a8，b2時等號成立，所以當a8，b2時，SAOBab最小，此時直線l的方程為1，即x4y80.(2)因為1，a0，b0，所以|OA|OB|ab(ab)·552 9，當且僅當a6，b3時等號成立，所以當|OA|OB|取最小值時，直線l的方程為x2y60.方法技巧1給定條件求直線方程的思路(1)考慮問題的特殊情況，如斜率不存在的情況，截距等于零的情況(2)在一般情況下準確選定直線方程的形式，用待定系數(shù)法求出直線方程(3)重視直線方程一般形式的應用，因為它具有廣泛的適用性2與直線有關的最值問題的解題思路(1)借助直線方程，用y表示x或用x表示y.(2)將問題轉(zhuǎn)化成關于x(或y)的函數(shù)(3)利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求最值能力練通抓應用體驗的“得”與“失”1.傾斜角為135°，在y軸上的截距為1的直線方程是_解析：直線的斜率為ktan 135°1，所以直線方程為yx1，即xy10.答案：xy102.已知直線l過點(1,0)，且傾斜角為直線l0：x2y20的傾斜角的2倍，則直線l的方程為_解析：由題意可設直線l0，l的傾斜角分別為，2，因為直線l0：x2y20的斜率為，則tan ，所以直線l的斜率ktan 2，所以由點斜式可得直線l的方程為y0(x1)，即4x3y40.答案：4x3y403.若直線axbyab(a0，b0)過點(1,1)，則該直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為_解析：直線axbyab(a0，b0)過點(1,1)，abab，即1，ab(ab)222 4，當且僅當ab2時上式等號成立直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為4.答案：44.若ab0，且A(a,0)，B(0，b)，C(2，2)三點共線，則ab的最小值為_解析：根據(jù)A(a,0)，B(0，b)確定直線的方程為1，又C(2，2)在該直線上，故1，所以2(ab)ab.又ab0，故a0，b0.根據(jù)基本不等式ab2(ab)4，從而0(舍去)或4，故ab16，當且僅當ab4時取等號即ab的最小值為16.答案：165.ABC的三個頂點分別為A(3,0)，B(2,1)，C(2，3)，求：(1)BC邊所在直線的方程；(2)BC邊上中線AD所在直線的方程；(3)BC邊的垂直平分線DE所在直線的方程解：(1)因為直線BC經(jīng)過B(2,1)和C(2,3)兩點，由兩點式得BC的方程為，即x2y40.(2)設BC邊的中點D的坐標為(x，y)，則x0，y2.BC邊的中線AD過點A(3,0)，D(0,2)兩點，由截距式得AD所在直線的方程為1，即2x3y60.(3)由(1)知，直線BC的斜率k1，則BC的垂直平分線DE的斜率k22.由(2)知，點D的坐標為(0,2)由點斜式得直線DE的方程為y22(x0)，即2xy20.突破點(三)直線的交點、距離與對稱問題 基礎聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1兩條直線的交點2三種距離類型條件距離公式兩點間的距離點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|點到直線的距離點P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d兩平行直線間的距離兩條平行線AxByC10與AxByC20間的距離d考點貫通抓高考命題的“形”與“神”交點問題例1(1)當0k時，直線l1：kxyk1與直線l2：kyx2k的交點在第_象限(2)已知直線l經(jīng)過點P(3,1)，且被兩條平行直線l1：xy10和l2：xy60截得的線段長為5，則直線l的方程為_解析(1)由得又0k，x0，y0，故直線l1：kxyk1與直線l2：kyx2k的交點在第二象限(2)若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x3，此時與l1，l2的交點分別為A(3，4)，B(3，9)，截得的線段AB的長|AB|49|5，符合題意若直線l的斜率存在，則設直線l的方程為yk(x3)1.解方程組得A，解方程組得B.由|AB|5，得2252.解得k0，即所求的直線方程為y1.綜上可知，所求直線l的方程為x3或y1.答案(1)二(2)x3或y1方法技巧1兩直線交點的求法求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程聯(lián)立組成的方程組，得到的方程組的解，即交點的坐標2求過兩直線交點的直線方程的方法求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，這樣能簡化解題過程距離問題例2(1)若P，Q分別為直線3x4y120與6x8y50上任意一點，則|PQ|的最小值為_(2)已知A(4，3)，B(2，1)和直線l：4x3y20，若在坐標平面內(nèi)存在一點P，使|PA|PB|，且點P到直線l的距離為2，則P點坐標為_解析(1)因為，所以兩直線平行，將直線3x4y120化為6x8y240，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即，所以|PQ|的最小值為.(2)設點P的坐標為(a，b)A(4，3)，B(2，1)，線段AB的中點M的坐標為(3，2)而AB的斜率kAB1，線段AB的垂直平分線方程為y2x3，即xy50.點P(a，b)在直線xy50上，ab50.又點P(a，b)到直線l：4x3y20的距離為2，2，即4a3b2±10，由聯(lián)立可得或所求點P的坐標為(1，4)或.答案(1)(2)(1，4)或易錯提醒(1)點P(x0，y0)到直線xa的距離d|x0a|，到直線yb的距離d|y0b|；(2)利用兩平行線間的距離公式要先把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等對稱問題1中心對稱問題的兩種類型及求解方法點關于點對稱若點M(x1，y1)及N(x，y)關于P(a，b)對稱，則由中點坐標公式得進而求解直線關于點對稱在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程2軸對稱問題的兩種類型及求解方法點關于直線對稱若兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關于直線l：AxByC0對稱，由方程組可得到點P1關于l對稱的點P2的坐標(x2，y2)(其中B0，x1x2)直線關于直線對稱若直線與對稱軸平行，則在直線上取一點，求出該點關于軸的對稱點，然后用點斜式求解若直線與對稱軸相交，則先求出交點，然后再取直線上一點，求該點關于軸的對稱點，最后由兩點式求解例3(1)點P(3,2)關于點Q(1,4)的對稱點M的坐標為_(2)直線2xy30關于直線xy20對稱的直線方程是_(3)已知入射光線經(jīng)過點M(3,4)，被直線l：xy30反射，反射光線經(jīng)過點N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為_解析(1)設M(x，y)，則x1，y6，M(1,6)(2)設所求直線上任意一點P(x，y)，則P關于xy20的對稱點為P(x0，y0)，由得由點P(x0，y0)在直線2xy30上，2(y2)(x2)30，即x2y30.(3)設點M(3,4)關于直線l：xy30的對稱點為M(a，b)，則反射光線所在直線過點M，所以解得a1，b0.又反射光線經(jīng)過點N(2,6)，所以所求直線的方程為，即6xy60.答案(1)(1,6)(2)x2y30(3)6xy60方法技巧解決兩類對稱問題的關鍵點解決中心對稱問題的關鍵在于運用中點坐標公式，而解決軸對稱問題，一般是轉(zhuǎn)化為求對稱點的問題，在求對稱點時，關鍵是抓住兩點：一是兩對稱點的連線與對稱軸垂直；二是兩對稱點的中心在對稱軸上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個方程，由“平分”列出一個方程，聯(lián)立求解能力練通抓應用體驗的“得”與“失”1.(2018·太倉期末)如果平面直角坐標系內(nèi)的兩點A(a1，a1)，B(a，a)關于直線l對稱，那么直線l的方程為_解析：因為直線AB的斜率為1，所以直線l的斜率為1，設直線l的方程為yxb，由題意知直線l過點，所以b，解得b1，所以直線l的方程為yx1，即xy10.答案：xy102.若直線l1：x2ym0(m0)與直線l2：xny30之間的距離是，則mn_.解析：直線l1：x2ym0(m0)與直線l2：xny30之間的距離為，n2，m2(負值舍去)mn0.答案：03.設mR，過定點A的動直線xmy0和過定點B的動直線mxym30交于點P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是_解析：易求定點A(0,0)，B(1,3)當P與A和B均不重合時，因為P為直線xmy0與mxym30的交點，且易知兩直線垂直，則PAPB，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|·|PB|5(當且僅當|PA|PB|時，等號成立)，故|PA|·|PB|的最大值是5.答案：54.若m0，n0，點(m，n)關于直線xy10的對稱點在直線xy20上，那么的最小值等于_解析：由題意知(m，n)關于直線xy10的對稱點為(1n,1m)則1n(1m)20，即mn2.于是(mn)××(52×2)，當且僅當m，n時等號成立答案：5.經(jīng)過兩直線l1：x2y40和l2：xy20的交點P，且與直線l3：3x4y50垂直的直線l的方程為_解析：由方程組得即P(0,2)ll3，直線l3的斜率為，直線l的斜率k1，直線l的方程為y2x，即4x3y60.答案：4x3y606.已知點P(2，1)(1)求過點P且與原點的距離為2的直線l的方程(2)求過點P且與原點的距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？(3)是否存在過點P且與原點的距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由解：(1)過點P的直線l與原點的距離為2，而點P的坐標為(2，1)，顯然，過P(2，1)且垂直于x軸的直線滿足條件，此時l的斜率不存在，其方程為x2.若斜率存在，設l的方程為y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k.此時l的方程為3x4y100.綜上，可得直線l的方程為x2或3x4y100.(2)作圖可得過點P與原點O的距離最大的直線是過點P且與PO垂直的直線，如圖由lOP，得klkOP1，因為kOP，所以kl2.由直線方程的點斜式得y12(x2)，即2xy50.所以直線2xy50是過點P且與原點O的距離最大的直線，最大距離為.(3)由(2)可知，過點P不存在到原點的距離超過的直線，因此不存在過點P且到原點的距離為6的直線課時達標檢測 重點保分課時一練小題夯雙基，二練題點過高考 練基礎小題強化運算能力1直線xy10的傾斜角是_解析：由直線的方程得直線的斜率為k，設傾斜角為，則tan ，所以.答案：2(2018·常州期中)若直線l與直線y1，x7分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標為(1，1)，則直線l的斜率為_解析：依題意，設點P(a,1)，Q(7，b)，則有解得a5，b3，從而可知直線l的斜率為.答案：3過點(1,0)且與直線x2y20平行的直線方程是_解析：依題意，設所求的直線方程為x2ya0，由于點(1,0)在所求直線上，則1a0，即a1，則所求的直線方程為x2y10.答案：x2y104已知直線3x4y30與直線6xmy140平行，則它們之間的距離是_解析：，m8，直線6x8y140可化為3x4y70，兩平行線之間的距離d2.答案：25(2018·徐州高三月考)已知平面上三條直線x2y10，x10，xky0，如果這三條直線將平面劃分為六個部分，則實數(shù)k的取值集合_解析：若三條直線有兩條平行，另外一條與這兩條直線相交，則符合要求，此時k0或2；若三條直線交于一點，也符合要求，此時k1，故實數(shù)k的取值集合為0,1,2答案：0,1,2練?？碱}點檢驗高考能力一、填空題1已知直線l：axy2a0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是_解析：由題意可知a0.當x0時，ya2.當y0時，x.故a2，解得a2或a1.答案：2或12設直線l的方程為(a1)xy2a0 (aR), l在兩坐標軸上截距相等，則l的方程為_解析：當直線過原點時，該直線在x軸和y軸上的截距為0，a2，方程即為3xy0.當直線不經(jīng)過原點時，截距存在且均不為0.令x0，得ya2，令y0，得x，a2，即a11.a0，方程即為xy20.綜上，l的方程為3xy0或xy20.答案：3xy0或xy203(2018·無錫一中高三模擬)已知ABC的兩個頂點A(1，5)和B(0，1)，若C的平分線所在的直線方程為2x3y60，則BC邊所在直線的方程為_解析：設A點關于直線2x3y60的對稱點為A(x1，y1)，則解得即A，角平分線是角的兩邊的對稱軸，A點在直線BC上直線BC的方程為yx1，整理得12x31y310.答案：12x31y3104若動點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分別在直線l1：xy50，l2：xy150上移動，則P1P2的中點P到原點的距離的最小值是_解析：由題意得P1P2的中點P的軌跡方程是xy100，則原點到直線xy100的距離為d5，即P到原點距離的最小值為5.答案：55已知A，B兩點分別在兩條互相垂直的直線2xy0和xay0上，且AB線段的中點為P，則線段AB的長為_解析：依題意，a2，P(0,5)，設A(x,2x)，B(2y，y)，故解得所以A(4,8)，B(4,2)，|AB|10.答案：106(2018·南通期中)已知直線l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，當0a2時，直線l1，l2與兩坐標軸圍成一個四邊形，當四邊形的面積最小時，實數(shù)a的值為_解析：由題意知直線l1，l2恒過定點P(2,2)，直線l1的縱截距為2a，直線l2的橫截距為a22，所以四邊形的面積S×2×(2a)×2×(a22)a2a42，因為0a2，所以當a時，面積最小答案：7已知直線l1：y2x3，直線l2與l1關于直線yx對稱，則直線l2的斜率為_解析：因為l1，l2關于直線yx對稱，所以l2的方程為x2y3，即yx，即直線l2的斜率為.答案：8(2018·蘇州模擬)已知l1，l2是分別經(jīng)過A(1,1)，B(0，1)兩點的兩條平行直線，當l1，l2間的距離最大時，則直線l1的方程是_解析：當直線AB與l1，l2垂直時，l1，l2間的距離最大因為A(1,1)，B(0，1)，所以kAB2，所以兩平行直線的斜率為k，所以直線l1的方程是y1(x1)，即x2y30.答案：x2y309(2018·泰州期初)若直線l：1(a0，b0)經(jīng)過點(1,2)，則直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值是_解析：由直線經(jīng)過點(1,2)得1.于是ab(ab)×3，因為22，所以ab32.答案：3210.如圖，已知A(2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(1,0)，F(xiàn)(1,0)，一束光線從F點出發(fā)射到BC上的D點，經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AE上(不含端點)，則直線FD的斜率的取值范圍為_解析：從特殊位置考慮如圖，點A(2,0)關于直線BC：xy2的對稱點為A1(2,4)，kA1F4.又點E(1,0)關于直線AC：yx2的對稱點為E1(2，1)，點E1(2,1)關于直線BC：xy2的對稱點為E2(1,4)，此時直線E2F的斜率不存在，kFDkA1F，即kFD(4，)答案：(4，)二、解答題11(2018·啟東中學高三周練)已知直線l經(jīng)過直線l1：2xy50與l2：x2y0的交點(1)若點A(5,0)到l的距離為3，求l的方程；(2)求點A(5,0)到l的距離的最大值解：(1)經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，點A(5,0)到l的距離為3，3，即22520，2或，l的方程為x2或4x3y50.(2)由解得交點P(2,1)，如圖，過P作任一直線l，設d為點A到l的距離，則dPA(當lPA時等號成立)dmaxPA.12已知直線l：kxy12k0(kR)(1)證明：直線l過定點；(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，AOB的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值并求此時直線l的方程解：(1)證明：直線l的方程可化為k(x2)(1y)0，令解得無論k取何值，直線總經(jīng)過定點(2,1)(2)由方程知，當k0時直線在x軸上的截距為，在y軸上的截距為12k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有解得k0；當k0時，直線為y1，符合題意，故k的取值范圍是0，)(3)由題意可知k0，再由l的方程，得A，B(0,12k)依題意得解得k0.S·OA·OB· ·|12k|·×(2×24)4，當且僅當k時等號成立，Smin4，此時直線l的方程為x2y40.第二節(jié)圓的方程本節(jié)主要包括2個知識點：1.圓的方程；2.與圓的方程有關的綜合問題.突破點(一)圓的方程 基礎聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1圓的定義及方程定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓標準方程(xa)2(yb)2r2(r0)圓心：(a，b)半徑：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圓心：半徑：r2.點與圓的位置關系點M(x0，y0)，圓的標準方程(xa)2(yb)2r2.理論依據(jù)點到圓心的距離與半徑的大小關系三種情況(x0a)2(y0b)2r2點在圓上(x0a)2(y0b)2r2點在圓外(x0a)2(y0b)2r2點在圓內(nèi)考點貫通抓高考命題的“形”與“神”求圓的方程1求圓的方程的兩種方法(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程(2)待定系數(shù)法：若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，依據(jù)已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇設圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值2確定圓心位置的三種方法(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上(3)兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線例1(1)已知圓C經(jīng)過A(5,1)，B(1,3)兩點，圓心在x軸上，則圓C的方程為_(2)已知圓心在直線y4x上，且圓與直線l：xy10相切于點P(3，2)，則該圓的方程是_(3)經(jīng)過三點(2，1)，(5,0)，(6,1)的圓的一般方程為_解析(1)依題意，設圓心坐標為C(a,0)，則|CA|CB|，即，則a2.故圓心為(2,0)，半徑為，所以圓C的方程為(x2)2y210.(2)過切點且與xy10垂直的直線為y2x3，與y4x聯(lián)立可求得圓心為(1，4)所以半徑r2，故所求圓的方程為(x1)2(y4)28.(3)設所求圓的一般方程為x2y2DxEyF0，則解得故所求圓的一般方程為x2y24x8y50.答案(1)(x2)2y210(2)(x1)2(y4)28(3)x2y24x8y50方法技巧1確定圓的方程必須有三個獨立條件不論圓的標準方程還是一般方程，都有三個字母(a，b，r或D，E，F(xiàn))的值需要確定，因此需要三個獨立的條件利用待定系數(shù)法得到關于a，b，r(或D，E，F(xiàn))的三個方程組成的方程組，解之得到待定字母系數(shù)的值，從而確定圓的方程2幾何法在圓中的應用在一些問題中借助平面幾何中關于圓的知識可以簡化計算，如已知一個圓經(jīng)過兩點時，其圓心一定在這兩點連線的垂直平分線上，解題時要注意平面幾何知識的應用3A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB為直徑的圓的方程為(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.與圓有關的對稱問題1圓的軸對稱性圓關于直徑所在的直線對稱2圓關于點對稱(1)求已知圓關于某點對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置(2)兩圓關于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點3圓關于直線對稱(1)求已知圓關于某條直線對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置(2)兩圓關于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線例2(2018·江蘇無錫模擬)已知圓C1：(x1)2(y1)21，圓C2與圓C1關于直線xy10對稱，則圓C2的方程為_解析圓C1的圓心坐標為(1,1)，半徑為1，設圓C2的圓心坐標為(a，b)，由題意得解得所以圓C2的圓心坐標為(2，2)，又兩圓的半徑相等，故圓C2的方程為(x2)2(y2)21.答案(x2)2(y2)21能力練通抓應用體驗的“得”與“失”1.已知點A(1，)，B(1，)，則以線段AB為直徑的圓的方程是_解析：由題意知，AB的中點為(0,0)，即所求圓的圓心坐標為(0,0)，設圓的方程為x2y2r2，因為|AB|4，所以圓的半徑為2，所以圓的方程為x2y24.答案：x2y242.若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x3y0和x軸都相切，則該圓的標準方程是_解析：由于圓心在第一象限且與x軸相切，故設圓心為(a,1)(a0)，又由圓與直線4x3y0相切可得1，解得a2，故圓的標準方程為(x2)2(y1)21.答案：(x2)2213.已知圓x2y22x4y10關于直線2axby20(a，bR)對稱，則ab的取值范圍是_解析：將圓的方程化成標準形式得(x1)2(y2)24，若圓關于已知直線對稱，則圓心(1,2)在直線上，代入整理得ab1，故aba(1a)2.答案：4.若圓C的半徑為1，其圓心與點(1,0)關于直線yx對稱，則圓C的標準方程為_解析：根據(jù)題意得，點(1,0)關于直線yx對稱的點(0,1)為圓心，又半徑r1，所以圓C的標準方程為x2(y1)21.答案：x2(y1)215.若圓(x1)2(y3)29上的相異兩點P，Q關于直線kx2y40對稱，則k的值為_解析：圓是軸對稱圖形，過圓心的直線都是它的對稱軸已知圓的圓心為(1,3)，由題設知，直線kx2y40過圓心，則k×(1)2×340，解得k2.答案：26.(2018·鹽城中學月考) 圓經(jīng)過點A(2，3)和B(2，5)(1)若圓的面積最小，求圓的方程；(2)若圓心在直線x2y30上，求圓的方程解：(1)要使圓的面積最小，則AB為圓的直徑，圓心C(0，4)，半徑r|AB|，所以所求圓的方程為x2(y4)25.(2)因為kAB，AB中點為(0，4)，所以AB中垂線方程為y42x，即2xy40，解方程組得所以圓心為(1，2)根據(jù)兩點間的距離公式得，半徑r，因此，所求的圓的方程為(x1)2(y2)210.突破點(二)與圓的方程有關的綜合問題 圓的方程是高中數(shù)學的一個重要知識點，高考中，除了圓的方程的求法外，圓的方程與其他知識的綜合問題也是高考考查的熱點，常涉及軌跡問題和最值問題.解決此類問題的關鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運用.考點貫通抓高考命題的“形”與“神”與圓有關的軌跡問題例1已知圓x2y24上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)若PBQ90°，求線段PQ中點的軌跡方程解(1)設AP的中點為M(x，y)，由中點坐標公式可知，P點坐標為(2x2,2y)因為P點在圓x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故線段AP中點的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設PQ的中點為N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|.設O為坐標原點，連結(jié)ON，則ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線段PQ中點的軌跡方程為x2y2xy10.方法技巧求與圓有關的軌跡問題的四種方法與圓有關的最值問題例2已知M(m，n)為圓C：x2y24x14y450上任意一點(1)求m2n的最大值；(2)求的最大值和最小值解(1)法一：因為x2y24x14y450的圓心C(2，7)，半徑r2，設m2nt，將m2nt看成直線方程，因為該直線與圓有公共點，所以圓心到直線的距離d2，解上式得：162t162，所以m2n的最大值為162.法二：由x2y24x14y450，得(x2)2(y7)28.因為點M(m，n)為圓上任意一點，故可設即m2n22cos 2(72sin )162cos 4sin 16sin()162sin()，故m2n的最大值為162.(2)記點Q(2,3)因為表示直線MQ的斜率，設直線MQ的方程為y3k(x2)，即kxy2k30，則k.由直線MQ與圓C有公共點，所以2.可得2k2，所以的最大值為2，最小值為2.方法技巧與圓有關最值問題的求解策略處理與圓有關的最值問題時，應充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解與圓有關的最值問題，常見類型及解題思路如下：常見類型解題思路型轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題taxby型轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題，或用三角代換求解m(xa)2(yb)2型轉(zhuǎn)化為動點與定點的距離的平方的最值問題能力練通抓應用體驗的“得”與“失”1.設定點M(3,4)，動點N在圓x2y24上運動，以OM，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡解：如圖，設P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點坐標為，線段MN的中點坐標為.因為平行四邊形的對角線互相平分，所以，整理得又點N(x3，y4)在圓x2y24上，所以(x3)2(y4)24.所以點P的軌跡是以(3,4)為圓心，2為半徑的圓，因為O，M，P三點不共線，所以應除去兩點和.2.已知實數(shù)x，y滿足方程x2y24x10，(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值解：原方程可化為(x2)2y23，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓(1)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設k，即ykx.當直線ykx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時 ，解得k±.所以的最大值為，最小值為.(2)yx可看成是直線yxb在y軸上的截距當直線yxb與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時，解得b2±.所以yx的最大值為2，最小值為2.(3)x2y2表示圓上的一點與原點距離的平方由平面幾何知識知，x2y2在原點和圓心的連線與圓的兩個交點A，B處分別取得最小值，最大值因為圓心到原點的距離為2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.課時達標檢測 重點保分課時一練小題夯雙基，二練題點過高考 練基礎小題強化運算能力1已知三點A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則ABC外接圓的圓心到原點的距離為_解析：設圓的一般方程為x2y2DxEyF0，則解得所以ABC外接圓的圓心為，故ABC外接圓的圓心到原點的距離為 .答案：2一個圓經(jīng)過橢圓1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為_解析：由題意知a4，b2，上、下頂點的坐標分別為(0,2)，(0，2)，右頂點的坐標為(4,0)由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(0,2)，(0，2)，(4,0)三點設圓的標準方程為(xm)2y2r2(0m4，r0)，則解得所以圓的標準方程為2y2.答案：2y23若圓C的半徑為1，圓心C與點(2,0)關于點(1,0)對稱，則圓C的標準方程為_解析：因為圓心C與點(2,0)關于點(1,0)對稱，故由中點坐標公式可得C(0,0)，所以所求圓的標準方程為x2y21.答案：x2y214(2018·淮安中學模擬)已知(22cos ，22sin )，R，O為坐標原點，向量滿足0，則動點Q的軌跡方程是_解析：設Q(x，y)，(22cos x,22sin y)(0,0)，(x2)2(y2)24.答案：(x2)2(y2)245設P是圓(x3)2(y1)24上的動點，Q是直線 x3上的動點，則|PQ|的最小值為_解析：如圖所示，圓心M(3，1)到定直線x3上點的最短距離為|MQ|3(3)6，又圓的半徑為2，故所求最短距離為624.答案：4練?？碱}點檢驗高考能力一、填空題1(2018·姜堰中學月考)設A(3,0)，B(3,0)為兩定點，動點P到A點的距離與到B點的距離之比為12，則點P的軌跡圖形所圍成的面積是_解析：設P(x，y)，則由題意有，整理得x2y210x90，即(x5)2y216，所以點P在半徑為4的圓上，故其面積為16.答案：162圓(x2)2y25關于原點(0,0)對稱的圓的方程為_解析：因為所求圓的圓心與圓(x2)2y25的圓心(2,0)關于原點(0,0)對稱，所以所求圓的圓心為(2,0)，半徑為，故所求圓的方程為(x2)2y25.答案：(x2)2y253已知兩點A(0，3)，B(4,0)，若點P是圓C：x2y22y0上的動點，則ABP面積的最小值為_解析：如圖，過圓心C向直線AB作垂線交圓于點P，這時ABP的面積最小直線AB的方程為1，即3x4y120，圓心C到直線AB的距離為d，所以ABP的面積的最小值為×5×.答案：4(2018·南通模擬)已知點M是直線3x4y20上的動點，點N為圓(x1)2(y1)21上的動點，則|MN|的最小值是_解析：圓心(1，1)到點M的距離的最小值為點(1，1)到直線的距離d，故點N到點M的距離的最小值為d1.答案：5已知圓C：(x3)2(y4)21和兩點A(m,0)，B(m，0)(m0)若圓C 上存在點P，使得 APB90°，則 m的最大值為_解析：根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標為(3,4)，半徑r1，且|AB|2m，因為APB90°，連結(jié)OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圓C上的點P到原點O的最大距離因為|OC| 5，所以|OP|max|OC|r6，即m 的最大值為6.答案：66已知圓C1：(x2)2(y3)21，圓C2：(x3)2(y4)29，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|PN|的最小值為_解析：圓C1，C2的圖象如圖所示設P是x軸上任意一點，則|PM|的最小值為|PC1|1，同理|PN|的最小值為|PC2|3，則|PM|PN|的最小值為|PC1|PC2|4.作C1關于x軸的對稱點C1(2，3)，連結(jié)C1C2，與x軸交于點P，連結(jié)PC1，可知|PC1|PC2|的最小值為|C1C2|5，則|PM|PN|的最小值為54.答案：547(2018·徐州期初)若直線l：axby10(a0，b0)始終平分圓M：x2y24x2y10的周長，則a2b22a2b3的最小值為_解析：因為直線axby10始終平分圓x2y24x2y10的周長，所以圓心(2，1)在直線axby10上，從而2ab10.a2b22a2b3(a1)2(b1)21，而(a1)2(b1)2表示點(1,1)與直線2ab10上任一點的距離d的平方，其最小值d2，所以a2b22a2b3的最小值為1.答案：8已知直線l：xmy40，若曲線x2y22x6y10上存在兩點P，Q關于直線l對稱，則m的值為_解析：因為曲線x2y22x6y10是