（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量學(xué)案 文

第五章 平面向量第一節(jié)向量的概念及線性運(yùn)算本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.向量的有關(guān)概念；2.向量的線性運(yùn)算.突破點(diǎn)(一)向量的有關(guān)概念 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”名稱定義備注向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量，平面向量可自由平移零向量長度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為±平行向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共線向量0與任一向量平行或共線相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”向量的有關(guān)概念典例(1)設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使成立的充分條件的序號(hào)為_ab；ab；a2b；ab且|a|b|.(2)設(shè)a0為單位向量，下列命題中：若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a|a|·a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0.假命題的個(gè)數(shù)是_解析(1)因?yàn)橄蛄康姆较蚺c向量a相同，向量的方向與向量b相同，且，所以向量a與向量b方向相同，故可排除.當(dāng)a2b時(shí)，故a2b是成立的充分條件(2)向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a|a|a0，故也是假命題綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.答案(1)(2)3易錯(cuò)提醒(1)兩個(gè)向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大??；(2)大小與方向是向量的兩個(gè)要素，分別是向量的代數(shù)特征與幾何特征；(3)向量可以自由平移，任意一組平行向量都可以移到同一直線上能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab.其中正確命題的序號(hào)是_解析：不正確兩個(gè)向量的長度相等，但它們的方向不一定相同正確，|且.又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則且|，因此，.正確ab，a，b的長度相等且方向相同，又bc，b，c的長度相等且方向相同，a，c的長度相等且方向相同，故ac.不正確當(dāng)ab且方向相反時(shí)，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要條件，而是必要不充分條件綜上所述，正確命題的序號(hào)是.答案：2給出下列命題：兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。籥0(為實(shí)數(shù))，則必為零；，為實(shí)數(shù)，若ab，則a與b共線其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為_解析：錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)正確，因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小錯(cuò)誤，當(dāng)a0時(shí)，不論為何值，a0.錯(cuò)誤，當(dāng)0時(shí)，ab0，此時(shí)，a與b可以是任意向量錯(cuò)誤的命題有3個(gè)答案：33如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，則圖中與相等的向量有_答案：， 4如圖，ABC和ABC是在各邊的處相交的兩個(gè)全等的等邊三角形，設(shè)ABC的邊長為a，圖中列出了長度均為的若干個(gè)向量，則(1)與向量相等的向量有_；(2)與向量共線，且模相等的向量有_；(3)與向量共線，且模相等的向量有_解析：向量相等向量方向相同且模相等向量共線表示有向線段所在的直線平行或重合答案：(1) ， (2) ，(3) ， 突破點(diǎn)(二)向量的線性運(yùn)算 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 交換律：abba；結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算|a|a|，當(dāng)0時(shí)，a與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0( a)( )a；()aaa；(ab)ab2.向量共線定理向量b與a(a0)共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”向量的線性運(yùn)算例1(1)在ABC中，c，b.若點(diǎn)D滿足2，則_.(用b，c表示)(2)在ABC中，N是AC邊上一點(diǎn)且，P是BN上一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值是_解析(1)由題可知bc，2，(bc)，則c(bc)bc.(2)如圖，因?yàn)椋?，所以mm.因?yàn)锽，P，N三點(diǎn)共線，所以m1，則m.答案(1)bc(2)方法技巧1向量的線性運(yùn)算技巧(1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解2利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路(1)沒有圖形的準(zhǔn)確作出圖形，確定每一個(gè)點(diǎn)的位置(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式(3)比較，觀察可知所求向量共線定理的應(yīng)用例2設(shè)兩個(gè)非零向量a和b不共線(1)若ab，2a8b，3(ab)求證：A，B，D三點(diǎn)共線(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線解(1)證明：因?yàn)閍b，2a8b，3(ab)，所以2a8b3(ab)5(ab)5，所以，共線又與有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線(2)因?yàn)閗ab與akb共線，所以存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)，即解得k±1.即k1或1時(shí)，kab與akb共線方法技巧向量共線定理的三個(gè)應(yīng)用(1)證明向量共線：對(duì)于非零向量a，b，若存在實(shí)數(shù)，使ab，則a與b共線(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)，使，與有公共點(diǎn)A，則A，B，C三點(diǎn)共線(3)求參數(shù)的值：利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值提醒證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說明共線的兩向量有公共點(diǎn)能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.如圖所示，下列結(jié)論正確的是_(填序號(hào))ab；ab；ab；ab.解析：根據(jù)向量的加法法則，得ab，故正確；根據(jù)向量的減法法則，得ab，故錯(cuò)誤；ab2bab，故正確；abbab，故錯(cuò)誤答案：2.已知a，b是不共線的向量，ab，ab，R，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件為_.解析：A，B，C三點(diǎn)共線，設(shè)m(m0)，則abm(ab)， 1.答案：13.在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，DE交AF于H，記，分別為a，b，則_.(用a，b表示)解析：如圖，過點(diǎn)F作BC的平行線交DE于G，則G是DE的中點(diǎn)，且，則AHDFHG，從而HF，ba，ab.答案：ab4.已知a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，且a與b起點(diǎn)相同若a，tb，(ab)三向量的終點(diǎn)在同一直線上，則t_.解析：a，tb，(ab)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上，且a與b起點(diǎn)相同atb與a(ab)共線，即atb與ab共線，存在實(shí)數(shù)，使atb，解得，t，若a，tb，(ab)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上，則t.答案：課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測 重點(diǎn)保分課時(shí)一練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過高考 練基礎(chǔ)小題強(qiáng)化運(yùn)算能力1設(shè)D，E，F(xiàn)分別為ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則_.(用一個(gè)向量表示)解析：()()().答案： 2設(shè)向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實(shí)數(shù)_.解析：ab與a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得答案：3在四邊形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，則四邊形ABCD的形狀是_解析：由已知得，a2b4ab5a3b8a2b2(4ab)2，故.又因?yàn)榕c不平行，所以四邊形ABCD是梯形答案：梯形4已知ABC和點(diǎn)M滿足0.若存在實(shí)數(shù)m使得m成立，則m_.解析：由0知，點(diǎn)M為ABC的重心，設(shè)點(diǎn)D為底邊BC的中點(diǎn)，則×()()，所以3，故m3.答案：3練?？碱}點(diǎn)檢驗(yàn)高考能力一、填空題1設(shè)M是ABC所在平面上的一點(diǎn)，且0，D是AC的中點(diǎn)，則的值為_解析：D是AC的中點(diǎn)，如圖，延長MD至E，使得DEMD，四邊形MAEC為平行四邊形，()，2.0，()3，3，.答案：2在ABC中，3，若12，則12的值為_解析：由題意得，()，1，2，12.答案：3設(shè)O是ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且2，則AOB與AOC的面積之比為_解析：設(shè)D為AC的中點(diǎn)，連結(jié)OD，則2.又2，所以，即O為BD的中點(diǎn)，從而容易得AOB與AOC的面積之比為.答案：4已知點(diǎn)O為ABC外接圓的圓心，且0，則ABC的內(nèi)角A等于_解析：由0，得，由O為ABC外接圓的圓心，可得|.設(shè)OC與AB交于點(diǎn)D，如圖，由可知D為AB的中點(diǎn)，所以2，D為OC的中點(diǎn)又由|可知ODAB，即OCAB，所以四邊形OACB為菱形，所以O(shè)AC為等邊三角形，即CAO60°，故A30°.答案：30°5已知點(diǎn)G是ABC的重心，過點(diǎn)G作一條直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且x，y，則的值為_解析：由已知得M，G，N三點(diǎn)共線，所以(1)x(1)y.點(diǎn)G是ABC的重心，×()()，即得1，即3，通分得3，.答案：6(2018·如皋中學(xué)期末)若點(diǎn)M是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足53，則ABM與ABC的面積的比值為_解析：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，如圖，連結(jié)MD，MC，由53，得523 ，即，即1，故C，M，D三點(diǎn)共線，又 ，聯(lián)立，得53，即在ABM與ABC中，邊AB上的高的比值為，所以ABM與ABC的面積的比值為.答案：7已知D，E，F(xiàn)分別為ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且a，b，給出下列命題：ab；ab；ab；0.其中正確命題的個(gè)數(shù)為_解析：由a，b可得ab，ab，()(ab)ab，ababab0，所以錯(cuò)，正確所以正確命題的個(gè)數(shù)為3.答案：38若|2，則|_.解析：|2，ABC是邊長為2的正三角形，|為ABC的邊BC上的高的2倍，|2×2sin2.答案：29若點(diǎn)O是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|2|，則ABC的形狀為_解析：因?yàn)?，所以|，即·0，故，ABC為直角三角形答案：直角三角形10在直角梯形ABCD中，A90°，B30°，AB2，BC2，點(diǎn)E在線段CD上，若，則的取值范圍是_解析：由題意可求得AD1，CD，所以2.點(diǎn)E 在線段CD上， (01)，又2，1，即.01，0，即的取值范圍是.答案：二、解答題11.如圖，以向量a，b為鄰邊作OADB，用a，b表示，.解：ab，ab，bab.又ab，ab，ababab.綜上，ab，ab，ab.12.如圖所示，在ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線解：(1)延長AD到G，使，連結(jié)BG，CG，得到ABGC，如圖，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a)(2)證明：由(1)可知，又因?yàn)?，有公共點(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.平面向量基本定理；2.平面向量的坐標(biāo)表示.突破點(diǎn)(一)平面向量基本定理 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”基底的概念例1如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是_(填序號(hào))e1與e1e2；e12e2與e12e2；e1e2與e1e2；e13e2與6e22e1.解析中，設(shè)e1e2e1，則無解；中，設(shè)e12e2(e12e2)，則無解；中，設(shè)e1e2(e1e2)，則無解；中，e13e2(6e22e1)，所以兩向量是共線向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底答案易錯(cuò)提醒某平面內(nèi)所有向量的一組基底必須是兩個(gè)不共線的向量，不能含有零向量平面向量基本定理的應(yīng)用例2(2017·江蘇南通二模)如圖，在ABC中，設(shè)a，b，AP的中點(diǎn)為Q，BQ的中點(diǎn)為R，CR的中點(diǎn)恰為P，則_.(用a，b表示)解析如圖，連結(jié)BP，則b，a，得2ab，又()，將代入，得2ab，解得ab.答案ab方法技巧平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.(2018·宜興月考)在ABC中，P，Q分別是AB，BC的三等分點(diǎn)，且APAB，BQBC，若a，b，則_.(用a，b表示)解析：由題意知()ab.答案：ab2.(2018·泉州調(diào)研)若向量a，b不共線，則下列各組向量中，可以作為一組基底的是_(填序號(hào))a2b與a2b；3a5b與6a10b；a2b與5a7b；2a3b與ab.解析：不共線的兩個(gè)向量可以作為一組基底因?yàn)閍2b與5a7b不共線，故a2b與5a7b可以作為一組基底答案：3.(2018·常州月考)如圖所示，在ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，且BD2DC，若mn (m，nR)，則mn_.解析：()，則m，n，所以mn2.答案：24.(2018·鎮(zhèn)江月考)在矩形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，若5e1，3e2，則_.(用e1，e2表示)解析：在矩形ABCD中，因?yàn)镺是對(duì)角線的交點(diǎn)，所以()()e1e2.答案：e1e25.(2018·無錫診斷)在ABC中，P是BN上一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為_解析：B，P，N三點(diǎn)共線，t(1t)t(1t)，又m，解得mt.答案：突破點(diǎn)(二)平面向量的坐標(biāo)表示 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則：ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)2向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，則abx1y2x2y10.考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例1已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得即所求實(shí)數(shù)m的值為1，n的值為1.(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)，即M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，即N(9,2)(9，18)方法技巧平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解向量平行的坐標(biāo)表示例2已知a(1,0)，b(2,1)(1)當(dāng)k為何值時(shí)，kab與a2b共線；(2)若2a3b，amb，且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值解(1)a(1,0)，b(2,1)，kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)，kab與a2b共線，2(k2)(1)×50，k.(2)2a3b2(1,0)3(2,1)(8,3)，amb(1,0)m(2,1)(2m1，m)A，B，C三點(diǎn)共線，8m3(2m1)0，m.方法技巧向量平行的坐標(biāo)表示中的乘積式和比例式(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1y2x2y10，這是代數(shù)運(yùn)算，用它解決平面向量共線問題的優(yōu)點(diǎn)在于不需要引入?yún)?shù)“”，從而減少了未知數(shù)的個(gè)數(shù)，而且它使問題的解決具有代數(shù)化的特點(diǎn)和程序化的特征(2)當(dāng)x2y20時(shí)，ab，即兩個(gè)向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例，這種形式不易出現(xiàn)搭配錯(cuò)誤(3)公式x1y2x2y10無條件x2y20的限制，便于記憶；公式有條件x2y20的限制，但不易出錯(cuò)所以我們可以記比例式，但在解題時(shí)改寫成乘積的形式能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.若向量a(2,1)，b(1,2)，c，則c可用向量a，b表示為_解析：設(shè)cxayb，則(2xy，x2y)，所以解得則cab.答案：ab2.已知點(diǎn)M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為_解析：3a3(1，2)(3,6)，設(shè)N(x，y)，則(x5，y6)(3,6)，所以解得即N(2,0)答案：(2,0)3.已知向量(k,12)，(4,5)，(k,10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k的值是_解析：(4k，7)，(2k，2)A，B，C三點(diǎn)共線，共線，2×(4k)7×(2k)，解得k.答案：4.已知梯形ABCD，其中ABDC，且DC2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_解析：在梯形ABCD中，DC2AB，ABDC，2.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則(4x，2y)，(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)答案：(2,4)5.已知a，b，c，d，e，設(shè)tR，如果3ac,2bd，et(ab)，那么t為何值時(shí)，C，D，E三點(diǎn)共線？解：由題設(shè)知，dc2b3a，ect(ab)3a(t3)atb.C，D，E三點(diǎn)共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.(1)若a，b共線，則t可為任意實(shí)數(shù)；(2)若a，b不共線，則有解得t.綜上，可知a，b共線時(shí)，t可為任意實(shí)數(shù)；a，b不共線時(shí)，t.課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測 重點(diǎn)保分課時(shí)一練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過高考 練基礎(chǔ)小題強(qiáng)化運(yùn)算能力1若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0，b) (ab0)共線，則的值為_解析：(a2，2)，(2，b2)，依題意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以.答案：2(2018·太湖高級(jí)中學(xué)模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)滿足，則_.解析：，()，.答案：3已知向量a(5,2)，b(4，3)，c(x，y)，若3a2bc0，則c_.解析：由題意可得3a2bc3(5,2)2(4，3)(x，y)(23x,12y)(0,0)，所以解得所以c(23，12)答案：(23，12)4若AC為平行四邊形ABCD的一條對(duì)角線，(3,5)，(2,4)，則_.解析：由題意可得(2,4)(3,5)(1，1)答案：(1，1)5若三點(diǎn)A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共線，則實(shí)數(shù)a的值為_解析：(a1,3)，(3,4)，據(jù)題意知，4(a1)3×(3)，即4a5，a.答案：練?？碱}點(diǎn)檢驗(yàn)高考能力一、填空題1已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，則m_.解析：a(m,4)，b(3，2)，ab，2m4×30.m6.答案：62設(shè)向量a(x,1)，b(4，x)，且a，b方向相反，則x的值是_解析：因?yàn)閍與b方向相反，所以bma，m0，則有(4，x)m(x,1)，解得m±2.又m0，m2，xm2.答案：23已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，則mn的值為_解析：manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253.答案：34設(shè)向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)，d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d_.解析：設(shè)d(x，y)，由題意知4a4(1，3)(4，12)，4b2c4(2,4)2(1，2)(6，20)，2(ac)2(1，3)(1，2)(4，2)，又4a(4b2c)2(ac)d0，所以(4，12)(6,20)(4，2)(x，y)(0,0)，解得x2，y6，所以d(2，6)答案：(2，6)5ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若p(ac，b)，q(ba，ca)，且pq，則角C_.解析：因?yàn)閜q，則(ac)(ca)b(ba)0，所以a2b2c2ab，由余弦定理得，cos C，又0°C180°，C60°.答案：60°6在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C為坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)一點(diǎn)且AOC，|2，若，則_.解析：因?yàn)閨2，AOC，所以C(，)，又，所以(，)(1,0)(0,1)(，)，所以，2.答案：27在ABC中，點(diǎn)P在BC上，且2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若 (4,3)，(1,5)，則_.解析：(1,5)(4,3)(3,2)，22(3,2)(6,4)(4,3)(6,4)(2,7)，33(2,7)(6,21)答案：(6,21)8設(shè)(1，2)，(a，1)，(b,0)，a0，b0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的最小值是_解析：由題意得，(a1,1)，(b1,2)，2(a1)(b1)0，2ab1，(2ab)4428，當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b時(shí)取等號(hào)，的最小值是8.答案：89(2018·金陵中學(xué)模擬)Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，nR是兩個(gè)向量集合，則PQ_.解析：P中，a(1m,12m)，Q中，b(12n，23n)則得此時(shí)ab(13，23)答案：(13，23)10(2018·常熟中學(xué)月考)在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)若，則_.解析：由，得·()·()，則 0，得0，得0.又因?yàn)?，不共線，所以由平面向量基本定理得解得所以.答案：二、解答題11.給定兩個(gè)長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)若xy，其中x，yR，求xy的最大值解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(1，0)，B，設(shè)AOC0，則C(cos ，sin )，由xy，得所以xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin，又，則.所以當(dāng)，即時(shí)，xy取得最大值2.12已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當(dāng)t11時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A，B，M三點(diǎn)都共線；(3)若t1a2，求當(dāng)且ABM的面積為12時(shí)a的值解：(1)t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí)，有故所求的充要條件為t20且t12t20.(2)證明：當(dāng)t11時(shí)，由(1)知(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4，4)t2，A，B，M三點(diǎn)共線(3)當(dāng)t1a2時(shí)，由(1)知(4t2,4t22a2)又(4,4)，·0，即4t2×4(4t22a2)×40，t2a2，故(a2，a2)又|4，點(diǎn)M到直線AB：xy20的距離d|a21|.SABM12，|AB|·d×4×|a21|12，解得a±2，故所求a的值為±2.第三節(jié) 向量的數(shù)量積及其應(yīng)用本節(jié)主要包括3個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.向量的數(shù)量積；2.向量數(shù)量積的應(yīng)用；3.平面向量與其他知識(shí)的綜合問題.突破點(diǎn)(一)向量的數(shù)量積 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作a，b，則AOB就是向量a與b的夾角(2)范圍：設(shè)是向量a與b的夾角，則0°180°.(3)共線與垂直：若0°，則a與b同向；若180°，則a與b反向；若90°，則a與b垂直2向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b|a|b|cos ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a0.(2)幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積(3)坐標(biāo)表示：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a·bx1x2y1y2.3向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·bb·a(交換律)(2)a·b(a·b)a·(b)(結(jié)合律)(3)(ab)·ca·cb·c(分配律).考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”向量數(shù)量積的運(yùn)算1.利用坐標(biāo)計(jì)算數(shù)量積的步驟第一步，根據(jù)共線、垂直等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)，求解過程要注意方程思想的應(yīng)用；第二步，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行運(yùn)算即可2根據(jù)定義計(jì)算數(shù)量積的兩種思路(1)若兩個(gè)向量共起點(diǎn)，則兩向量的夾角直接可得，根據(jù)定義即可求得數(shù)量積；若兩向量的起點(diǎn)不同，需要通過平移使它們的起點(diǎn)重合，然后再計(jì)算(2)根據(jù)圖形之間的關(guān)系，用長度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出要求數(shù)量積的兩個(gè)向量，然后再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解典例(1)設(shè)向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b與2ab平行，那么a與b的數(shù)量積等于_(2)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60°.點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且，則·的值為_(3)(2017·浙江高考改編)如圖，已知平面四邊形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC與BD交于點(diǎn)O.記I1·，I2·，I3·，則I1、I2、I3的大小關(guān)系是_(用“”連結(jié))解析(1)a2b(1,2)2(m,1)(12m,4)，2ab2(1,2)(m,1)(2m,3)，由題意得3(12m)4(2m)0，則m，所以b，所以a·b1×2×1.(2)取，為一組基底，則，··|2·|2×4×2×1×.(3)如圖所示，四邊形ABCE是正方形，F(xiàn)為正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)，易得AOAF，而AFB90°，AOB與COD為鈍角，AOD與BOC為銳角根據(jù)題意，I1I2···()·|·|cosAOB0，I1I2，同理得，I2I3，作AGBD于G，又ABAD，OBBGGDOD，而OAAFFCOC，|·|·|，而cosAOBcosCOD0，··，即I1I3，I3I1I2.答案(1)(2)(3)I3I1I2易錯(cuò)提醒(1)解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運(yùn)算問題時(shí)，一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ)(2)兩向量a，b的數(shù)量積a·b與代數(shù)中a，b的乘積寫法不同，不能漏掉其中的“·”能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1已知(2,1)，點(diǎn)C(1,0)，D(4,5)，則向量在方向上的投影為_解析：因?yàn)辄c(diǎn)C(1,0)，D(4,5)，所以(5,5)，又(2,1)，所以向量在方向上的投影為|cos，.答案：2在邊長為1的等邊ABC中，設(shè)a，b，c，則a·bb·cc·a_. 解析：依題意有a·bb·cc·a1×1×cos 120°1×1×cos 120°1×1×cos 120°.答案：3(2017·全國卷)已知ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則·()的最小值是_解析：如圖，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，)，B(1,0)，C(1,0)，設(shè)P(x，y)，則(x, y)，(1x，y)，(1x，y)，所以·()(x，y)·(2x，2y)2x222，當(dāng)x0，y時(shí)，·()取得最小值，為.答案：4(2017·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，點(diǎn)P在圓O：x2y250上若·20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是_解析：設(shè)P(x，y)，則·(12x，y)·(x,6y)x(x12)y(y6)20.又x2y250，所以2xy50，所以點(diǎn)P在直線2xy50的上方(包括直線上)又點(diǎn)P在圓x2y250上，由解得x5或x1，結(jié)合圖象，可得5x1，故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是5，1答案：5，15.如圖所示，在等腰直角三角形AOB中，OAOB1，4，則·()_.解析：由已知得|，|，則·()()···1×cos ×.答案：突破點(diǎn)(二)向量數(shù)量積的應(yīng)用 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b.幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|夾角cos cos aba·b0x1x2y1y20|a·b|與|a|b|的關(guān)系|a·b|a|b|x1x2y1y2|·考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”平面向量的垂直問題1.利用坐標(biāo)運(yùn)算證明或判斷兩個(gè)向量的垂直問題第一，計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；第二，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可2已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)例1(1)ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足2a，2ab，則下列結(jié)論正確的序號(hào)是_|b|1；ab；a·b1；(4ab).(2)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，則實(shí)數(shù)k_.解析(1)在ABC中，由2ab2ab，得|b|2，錯(cuò)誤又2a且|2，所以|a|1，所以a·b|a|b|cos 120°1，錯(cuò)誤所以(4ab)·(4ab)·b4a·b|b|24×(1)40，所以(4ab)，正確(2)(2a3b)c，(2a3b)·c0.a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，2a3b(2k3，6)(2k3，6)·(2,1)0，即(2k3)×260.k3.答案(1)(2)3易錯(cuò)提醒x1y2x2y10與x1x2y1y20不同，前者是兩向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共線的充要條件，后者是它們垂直的充要條件平面向量模的相關(guān)問題利用數(shù)量積求解長度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問題的處理方法：(1)a2a·a|a|2；(2)|a±b|.例2(1)(2018·揚(yáng)州模擬)已知|a|1，|b|2，a與b的夾角為，那么|4ab|_.(2)已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2.若平面向量b滿足b·e1b·e21，則|b|_.(3)(2017·浙江高考)已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，則|ab|ab|的最小值是_，最大值是_解析(1)|4ab|216a2b28a·b16×148×1×2×cos12.|4ab|2.(2)e1·e2，|e1|e2|cose1，e2，e1，e260°.又b·e1b·e210，b，e1b，e230°.由b·e11，得|b|e1|cos 30°1，|b|.(3)法一：由向量三角不等式得，|ab|ab|(ab)(ab)|2b|4.又 ，|ab|ab|的最大值為2.法二：設(shè)a，b的夾角為.|a|1，|b|2，|ab|ab|.令y，則y2102.0，cos20,1，y216,20，y4,2 ，即|ab|ab|的最小值為4，最大值為2.答案(1)2(2)(3)42方法技巧求向量模的常用方法(1)若向量a是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？芍苯永霉絴a|.(2)若向量a，b是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？蓱?yīng)用公式|a|2a2a·a，或|a±b|2(a±b)2a2±2a·bb2，先求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運(yùn)算求解平面向量的夾角問題求解兩個(gè)非零向量之間的夾角的步驟第一步由坐標(biāo)運(yùn)算或定義計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積第二步分別求出這兩個(gè)向量的模第三步根據(jù)公式cosa，b求解出這兩個(gè)向量夾角的余弦值第四步根據(jù)兩個(gè)向量夾角的范圍是0，及其夾角的余弦值，求出這兩個(gè)向量的夾角例3(1)若非零向量a，b滿足|a|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的夾角為_(2)已知單位向量e1與e2的夾角為，且cos ，向量a3e12e2與b3e1e2的夾角為，則cos _.(3)(2017·山東高考)已知e1，e2是互相垂直的單位向量若e1e2與e1e2的夾角為60°，則實(shí)數(shù)的值是_解析(1)由(ab)(3a2b)，得(ab)·(3a2b)0，即3a2a·b2b20.又|a|b|，設(shè)a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，|b|2|b|2·cos 2|b|20.cos .又0，.(2)a2(3e12e2)2942×3×2×9，b2(3e1e2)2912×3×1×8，a·b(3e12e2)·(3e1e2)929×1×1×8，cos .(3)因?yàn)椋?，解?答案(1)(2)(3)易錯(cuò)提醒(1)向量a，b的夾角為銳角a·b0且向量a，b不共線(2)向量a，b的夾角為鈍角a·b0且向量a，b不共線能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.(2018·泰州期初測試)在平面內(nèi)，若A(1,7)，B(5,1)，M(2,1)，點(diǎn)P是直線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且·8，則cosAPB_.解析：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2m，m)，則·8(12m,7m)·(52m,1m)8m24m40.m2.因此(3,5)，(1，1)，cosAPB.答案：2.(2017·全國卷)已知向量a，b的夾角為60°，|a|2，|b|1，則|a2b|_.解析：法一：易知|a2b|2.法二(數(shù)形結(jié)合法)：由|a|2b|2，知以a與2b為鄰邊可作出邊長為2的菱形OACB，如圖，則|a2b|.又AOB60°，所以|a2b|2.答案：23.(2017·蘭州一模)設(shè)xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，則|ab|_.解析：ab，a·b0，即x20，解得x2，ab(3，1)，于是|ab|.答案：4.(2018·泰興八校聯(lián)考)已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k，2)，若(ac)b，則向量a與向量c的夾角的余弦值是_解析：由已知得ac(3k,3)，(ac)b，3(3k)30，k2，即c(2，2)，cosa，c.答案：5.已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向量ab與向量kab垂直，則k_.解析：a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，|a|b|1，又ab與kab垂直，(ab)·(kab)0，即ka2ka·ba·bb20，k1ka·ba·b0，即k1kcos cos 0(為a與b的夾角)，(k1)(1cos )0.又a與b不共線，cos 1，k1.答案：16.(2018·淮安模擬)已知平面向量a，b滿足|b|1，且a與ba的夾角為120°，則a的模的取值范圍為_解析：在ABC中，設(shè)a，b，則ba，a與ba的夾角為120°，B60°，由正弦定理得，|a|sin C，C，sin C(0,1，|a|.答案：突破點(diǎn)(三)平面向量與其他知識(shí)的綜合問題 平面向量集數(shù)與形于一體，是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種非常重要的工具.常將它與三角函數(shù)問題、解三角形問題、幾何問題等結(jié)合起來考查.考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”平面向量與三角函數(shù)的綜合問題例1(2017·江蘇高考)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)記f(x)a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值解(1)因?yàn)閍(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x.則tan x.又x0，所以x.(2)f(x)a·b(cos x，sin x)·(3，)3cos xsin x2cos.因?yàn)閤0，所以x，從而1cos.于是，當(dāng)x，即x0時(shí)，f(x)取到最大值3；當(dāng)x，即x時(shí)，f(x)取到最小值2.方法技巧平面向量與三角函數(shù)綜合問題的類型及求解思路(1)向量平行、垂直與三角函數(shù)綜合此類題型的解答一般是利用向量平行(共線)、垂直關(guān)系得到三角函數(shù)式，再利用三角恒等變換對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解(2)向量的模與三角函數(shù)綜合此類題型主要是利用向量模的性質(zhì)|a|2a2，如果涉及向量的坐標(biāo)，解答時(shí)可利用兩種方法：一是先進(jìn)行向量的運(yùn)算，再代入向量的坐標(biāo)進(jìn)行求解；二是先將向量的坐標(biāo)代入，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解此類題型主要表現(xiàn)為兩種形式：利用三角函數(shù)與向量的數(shù)量積直接聯(lián)系；利用三角函數(shù)與向量的夾角交匯，達(dá)到與數(shù)量積的綜合平面向量與幾何的綜合問題例2(1)在平行四邊形ABCD中， AD1，BAD60°，E為CD的中點(diǎn)若·1, 則AB的長為_(2)已知菱形ABCD的邊長為2，BAD120°，點(diǎn)E，F(xiàn) 分別在邊BC，DC上，BC3BE，DCDF.若·1，則 的值為_解析(1)設(shè)|x，x0，則·x.又·()·()1x2x1，解得x，即AB的長為.(2)由題意可得·|·|cos 120°2×2×2，在菱形ABCD中，易知，所以，··21，解得2.答案(1)(2)2方法技巧平面向量與幾何綜合問題的求解方法(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得