（江蘇專版）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第七節(jié) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)學(xué)案（理）（含解析）

第七節(jié) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1對(duì)數(shù)概念如果axN(a0，且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對(duì)數(shù)式性質(zhì)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：axNxlogaNloga10，logaa1，alogaN運(yùn)算法則loga(M·N)logaMlogaNa0，且a1，M0，N0logalogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)換底公式換底公式：logab(a0，且a1，c0，且c1，b0)2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)ylogaxa10a1圖象性質(zhì)定義域?yàn)?0，)值域?yàn)镽過定點(diǎn)(1,0)，即x時(shí)，y當(dāng)x1時(shí)，y0；當(dāng)0x1時(shí)，y0當(dāng)0x1時(shí)，y0當(dāng)x1時(shí)，y0；在區(qū)間(0，)上是函數(shù)在區(qū)間(0，)上是函數(shù)3反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱小題體驗(yàn)1已知a0，且a1，函數(shù)yax與yloga(x)的圖象可能是_(填序號(hào))答案：2函數(shù)f(x)loga(x2)2(a0，且a1)的圖象必過定點(diǎn)_答案：(1，2)3函數(shù)f(x)log5(2x1)的單調(diào)增區(qū)間是_答案：4(1)2log3log331log32_；(2)4(lg 2lg 5)_.答案：(1)5(2)11在運(yùn)算性質(zhì)logaMlogaM中，要特別注意條件，在沒有M0的條件下應(yīng)為logaMloga|M|(N*，且為偶數(shù))2解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)需注意兩點(diǎn)：(1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對(duì)數(shù)底數(shù)的取值范圍小題糾偏1函數(shù)y的定義域?yàn)開答案：2函數(shù)f(x)log(x1)(2x1)的單調(diào)遞增區(qū)間是_答案：3已知函數(shù)yloga(2ax)(a0，且a1)在0,1上為減函數(shù)，則a的取值范圍為_解析：因?yàn)閍0，所以g(x)2ax為減函數(shù)，即任取x1，x20,1，且x1x2，有g(shù)(x1)g(x2)，又logag(x1)logag(x2)，所以a1.而又因?yàn)間(x)2ax在0,1恒大于0，所以2a0，所以a2，綜上，1a2.答案：(1,2)題組練透1計(jì)算：(1)4log23_.(2)log225·log34·log59_.解析：(1)4log2322log232log299(2)原式····8.答案：(1)9(2)82計(jì)算÷100_.解析：原式(lg 22lg 52)×100lg ×10lg 102×102×1020.答案：203.lglglg_.解析：lg lglg(5lg 22lg 7)··3lg 2(lg 52lg 7)(lg 2lg 5).答案：謹(jǐn)記通法對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡；(2)將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍合并；(3)利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對(duì)數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用典例引領(lǐng)1(2018·蘇北三市三模)如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，BC平行于x軸，頂點(diǎn)A，B和C分別在函數(shù)y13logax，y22logax和y3logax(a1)的圖象上，則實(shí)數(shù)a的值為_解析：設(shè)C(x0，logax0)，則2logaxBlogax0，即 xx0，解得xB，故xCxBx02，解得 x04，即B(2,2loga2)，A(2,3loga2)，由AB2，可得3loga22loga22，解得a.答案：2若不等式logax(x1)2恰有三個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍為_解析：由不等式logax(x1)2恰有三個(gè)整數(shù)解，得a1.在同一直角坐標(biāo)系中畫出ylogax(a1)與y(x1)2的圖象，可知不等式的整數(shù)解集為2,3,4，則應(yīng)滿足解得a.答案：，)由題悟法研究對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象的思路(1)研究對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象時(shí)，一般從最基本的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對(duì)稱變換得到特別地，要注意底數(shù)a1或0a1這兩種不同情況(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解即時(shí)應(yīng)用(2018·常州一中模擬)設(shè)f(x)|lg x|，a，b為實(shí)數(shù)，且0ab.(1)若a，b滿足f(a)f(b)，求證：ab1；(2)在(1)的條件下，求證：由關(guān)系式f(b)2f所得到的關(guān)于b的方程g(b)0，存在b0(3,4)，使g(b0)0.證明：(1)結(jié)合函數(shù)圖象，由f(a)f(b)可判斷a(0,1)，b(1， )，從而lg alg b，即lg ab0.故ab1.(2)因?yàn)?ab，所以1.由已知可得b2，即4ba2b22ab，得b224b0，g(b)b224b，因?yàn)間(3)0，g(4)0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)g(b)在(3,4)內(nèi)一定存在零點(diǎn)，即存在b0(3,4)，使g(b0)0.鎖定考向高考對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用的考查，多以填空題的形式考查，難度低、中、高檔都有常見的命題角度有：(1)比較對(duì)數(shù)值的大小；(2)簡單的對(duì)數(shù)不等式；(3)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題 題點(diǎn)全練角度一：比較對(duì)數(shù)值的大小1已知alog29log2，b1log2，clog2，則a，b，c的大小關(guān)系為_(用“”表示)解析：alog29log2log23，b1log2log22，clog2log2，因?yàn)楹瘮?shù)ylog2x是增函數(shù)，且23，所以bac.答案：bac角度二：簡單的對(duì)數(shù)不等式2(2018·啟東聯(lián)考)已知一元二次不等式f(x)0的解集為(，1)(2，)，則 f(lg x)0的解集為_解析：因?yàn)橐辉尾坏仁絝(x)0的解集為(，1)(2，)，所以一元二次不等式f(x)0的解集為(1,2)，由f(lg x)0可得1lg x2，從而解得10x100，所以不等式的解集為(10,100)答案：(10,100)角度三：對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題3(2019·鹽城中學(xué)第一次檢測)已知函數(shù)f(x)lg(2x)lg(2x)(1)求函數(shù)f(x)的定義域，并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)記函數(shù)g(x)10f(x)3x，求函數(shù)g(x)的值域；(3)若不等式f(x)m有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)函數(shù)f(x)lg(2x)lg(2x)，解得2x2.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?2,2)f(x)lg(2x)lg(2x)f(x)，f(x)是偶函數(shù)(2)f(x)lg(2x)lg(2x)lg(4x2)，g(x)10f(x)3xx23x42(2x2)，g(x)maxg，g(x)ming(2)6.函數(shù)g(x)的值域是.(3)不等式f(x)m有解，mf(x)max，令t4x2，由于2x2，0t4，mlg 4.實(shí)數(shù)m的取值范圍為(，lg 4)通法在握1解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問題的步驟2比較對(duì)數(shù)值大小的方法(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷；若底數(shù)為同一字母，則需對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論(2)若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較(3)若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1,0等中間量進(jìn)行比較演練沖關(guān)1(2019·蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)logax2a|x|(a0，且a1)，若f(3)f(4)，則不等式f(x23x)f(4)的解集為_解析：易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，0)(0，)，f(x)logax2a|x|f(x)，f(x)在定義域上為偶函數(shù)，f(3)f(3)f(3)f(4)，f(3)f(4)，a1，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增故不等式f(x23x)f(4)滿足解得1x4，且x0，x3.故不等式f(x23x)f(4)的解集為(1,0)(0,3)(3,4)答案：(1,0)(0,3)(3,4)2已知函數(shù)f(x)log4(ax22x3)(1)若f(1)1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由解：(1)因?yàn)閒(1)1，所以log4(a5)1，因此a54，a1，這時(shí)f(x)log4(x22x3)由x22x30，得1x3，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,3)令g(x)x22x3，則g(x)在(1,1)上遞增，在(1,3)上遞減又ylog4x在(0，)上遞增，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,1)，遞減區(qū)間是(1,3)(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值為0，則h(x)ax22x3應(yīng)有最小值1，因此應(yīng)有解得a.故存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值為0.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1(2018·淮安調(diào)研)函數(shù)f(x)log2(3x1)的定義域?yàn)開解析：由3x10，解得x，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?答案：2函數(shù)f(x)log3(x22x10)的值域?yàn)開解析：令tx22x10(x1)299，故函數(shù)f(x)可化為ylog3t，t9，此函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，其最小值為log392，故f(x)的值域?yàn)?，)答案：2，)3計(jì)算log23log34()log34_.解析：log23 log34()·323log32224.答案：44(2019·長沙調(diào)研)已知函數(shù)yloga(x3)1(a0，a1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A也在函數(shù)f(x)3xb的圖象上，則f(log32)_.解析：函數(shù)yloga(x3)1(a0，a1)的圖象恒過定點(diǎn)A(2，1)，將x2，y1代入f(x)3xb，得32b1，b，f(x)3x，則f(log32)3log322.答案：5若函數(shù)f(x)(a0，且a1)的值域是4，)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：當(dāng)x2時(shí)，yx64.因?yàn)閒(x)的值域?yàn)?，)，所以當(dāng)a1時(shí)，3logax3loga24，所以loga21，所以1a2；當(dāng)0a1時(shí)，3logax3loga2，不合題意故a(1,2答案：(1,26(2018·鎮(zhèn)江期末)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)1log2x，則不等式f(x)0的解集是_解析：當(dāng)x0時(shí)，f(x)f(x)log2(x)1，f(x)0，即log2(x)10，解得2x0；當(dāng)x0時(shí)，f(x)1log2x，f(x)0，即1log2x0，解得x2，綜上，不等式f(x)0的解集是(2,0)(2，)答案：(2,0)(2，)二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1(2019·鎮(zhèn)江中學(xué)調(diào)研)函數(shù)ylog2xlog2(4x)的值域?yàn)開解析：由題意知，x0且4x0，f(x)的定義域是(0,4)函數(shù)f(x)log2xlog2(4x)log2x(4x)，0x(4x)24，當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)等號(hào)成立log2x(4x)2，函數(shù)ylog2xlog2(4x)的值域?yàn)?，2答案：(，22(2018·鎮(zhèn)江中學(xué)學(xué)情調(diào)研)已知函數(shù)f(x)lg的定義域是，則實(shí)數(shù)a的值為_解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)lg的定義域是，所以當(dāng)x時(shí)，10，即1，所以a2x，所以xlog2a.令log2a，得a2，所以實(shí)數(shù)a的值為.答案：3若函數(shù)f(x)lg(x22ax1a)在區(qū)間(，1上遞減，則a的取值范圍為_解析：令函數(shù)g(x)x22ax1a(xa)21aa2，對(duì)稱軸為xa，要使函數(shù)在 (，1上遞減，則有即解得1a2，即a1,2)答案：1,2)4(2019·連云港模擬)已知函數(shù)f(x)lg，若f(a)，則f(a)_.解析：因?yàn)閒(x)lg的定義域?yàn)?x1，所以f(x)lglgf(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，所以f(a)f(a).答案：5函數(shù)f(x)lg的定義域?yàn)開解析：由得故函數(shù)定義域?yàn)?2,3)(3,4答案：(2,3)(3,46(2018·蘇州調(diào)研)若函數(shù)f(x)(a0，且a1)的值域?yàn)?，)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：當(dāng)x2時(shí)，f(x)6，)，所以當(dāng)x2時(shí)，f(x)的取值集合A6，)當(dāng)0a1時(shí)，A，不符合題意；當(dāng)a1時(shí)，A(loga25，)，若A6，)，則有l(wèi)oga256，解得1a2.答案：(1,27函數(shù)f(x)log2·log(2x)的最小值為_解析：依題意得f(x)log2x·(22log2x)(log2x)2log2x2，當(dāng)且僅當(dāng)log2x，即x時(shí)等號(hào)成立，因此函數(shù)f(x)的最小值為.答案：8設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：由f(a)f(a)得或即或解得a1或1a0.答案：(1,0)(1，)9已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(0)0，當(dāng)x0時(shí)，f(x)logx.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.解：(1)當(dāng)x0時(shí)，x0，則f(x)log (x)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)(2)因?yàn)閒(4)log42，f(x)是偶函數(shù)，所以不等式f(x21)2可化為f(|x21|)f(4)又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0，)上是減函數(shù)，所以|x21|4，解得x，即不等式的解集為(，)10(2019·如東上學(xué)期第一次階段檢測)已知函數(shù)f(x)loga(x1)loga(3x)(a0且a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定義域；(2)若不等式f(x)c恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍解：(1)因?yàn)閒(1)2，所以2loga22，故a2，所以f(x)log2(1x)log2(3x)，要使函數(shù)f(x)有意義，需有解得1x3，所以f(x)的定義域?yàn)?1,3)(2)由(1)知，f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x22x3)log2(x1)24，故當(dāng)x1時(shí)，f(x)有最大值2，所以c的取值范圍是2，)三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1(2019·南京五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x2ex(x0)與g(x)x2ln(xa)，若函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)P與函數(shù)g(x)圖象上的點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱，則a的取值范圍是_解析：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)(x00)，則點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q(x0，y0)在函數(shù)g(x)的圖象上，所以消去y0，可得xe x0(x0)2ln(x0a)，所以e x0ln(x0a)(x00)令m(x)ex(x0)，n(x)ln(ax)(x0)，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)m(x)與函數(shù)n(x)的圖象在x0時(shí)有交點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)m(x)與函數(shù)n(x)的圖象如圖所示當(dāng)n(x)ln(ax)的圖象過點(diǎn)時(shí)，a.由圖可知，當(dāng)a時(shí)，函數(shù)m(x)與函數(shù)n(x)的圖象在x0時(shí)有交點(diǎn)故a的取值范圍為(，)答案：(，)2(2018·昆山測試)已知函數(shù)f(x)lg(kR)(1)當(dāng)k0時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域；(2)當(dāng)k0時(shí)，求函數(shù)f(x)的定義域；(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間10，)上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解：(1)當(dāng)k0時(shí)，f(x)lg ，定義域?yàn)?，1)因?yàn)楹瘮?shù)y(x1)的值域?yàn)?0，)，所以f(x)lg 的值域?yàn)镽.(2)因?yàn)閗0，所以關(guān)于x的不等式0(x1)(kx1)0(x1)0.(*)若0k1，則1，不等式(*)的解為x1或x；若k1，則不等式(*)即(x1)20，其解為x1；若k1，則1，不等式(*)的解為x或x1.綜上，當(dāng)0k1時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，1)；當(dāng)k1時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1，)(3)令g(x)，則f(x)lg g(x)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在10，)上是單調(diào)增函數(shù)，且對(duì)數(shù)的底數(shù)101，所以當(dāng)x10，)時(shí)，g(x)0，且函數(shù)g(x)在10，)上是單調(diào)增函數(shù)而g(x)k，若k10，則函數(shù)g(x)在10，)上不是單調(diào)增函數(shù)；若k10，則函數(shù)g(x)在10，)上是單調(diào)增函數(shù)所以k1.因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在10，)上是單調(diào)增函數(shù)，所以要使當(dāng)x10，)時(shí)，g(x)0，必須g(10)0，即0，解得k.綜合知，實(shí)數(shù)k的取值范圍是.13