（全國(guó)通用版）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 規(guī)范答題示例6 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系學(xué)案 文

規(guī)范答題示例6　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 典例6　(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，且點(diǎn)在橢圓C上． (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)橢圓E：＋＝1，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線y＝kx＋m交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q. ①求的值；②求△ABQ面積的最大值． 審題路線圖　(1)―→ (2)①―→ ② ―→―→ 規(guī) 范 解 答·分 步 得 分 構(gòu) 建 答 題 模 板 解　(1)由題意知＋＝1.又＝， 解得a2＝4，b2＝1.所以橢圓C的方程為＋y2＝1.2分 (2)由(1)知橢圓E的方程為＋＝1. ①設(shè)P(x0，y0)，＝λ，由題意知Q(－λx0，－λy0). 因?yàn)椋珁＝1，又＋＝1，即＝1， 所以λ＝2，即＝2.5分 ②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).將y＝kx＋m代入橢圓E的方程， 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0， 由Δ>0，可得m2<4＋16k2，(*) 則x1＋x2＝－，x1x2＝. 所以|x1－x2|＝. 因?yàn)橹本€y＝kx＋m與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，m)， 所以△OAB的面積S＝|m||x1－x2|＝ ＝＝2.8分 設(shè)＝t，將y＝kx＋m代入橢圓C的方程， 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.(**) 由(*)(**)可知0<t≤1，因此S＝2＝2， 故0<S≤2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1，即m2＝1＋4k2時(shí)取得最大值2. 由①知，△ABQ的面積為3S， 所以△ABQ面積的最大值為6.12分 第一步 求圓錐曲線方程：根據(jù)基本量法確定圓錐曲線的方程. 第二步 聯(lián)立消元：將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立得到方程：Ax2＋Bx＋C＝0，然后研究判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系得等式. 第三步 找關(guān)系：從題設(shè)中尋求變量的等量或不等關(guān)系. 第四步 建函數(shù)：對(duì)范圍最值類問(wèn)題，要建立關(guān)于目標(biāo)變量的函數(shù)關(guān)系. 第五步 得范圍：通過(guò)求解函數(shù)值域或解不等式得目標(biāo)變量的范圍或最值，要注意變量條件的制約，檢查最值取得的條件. 評(píng)分細(xì)則　(1)第(1)問(wèn)中，求a2－c2＝b2關(guān)系式直接得b＝1，扣1分； (2)第(2)問(wèn)中，求時(shí)，給出P，Q的坐標(biāo)關(guān)系給1分；無(wú)“Δ>0”和“Δ≥0”者，每處扣1分；聯(lián)立方程消元得出關(guān)于x的一元二次方程給1分；根與系數(shù)的關(guān)系寫出后再給1分；求最值時(shí)，不指明最值取得的條件扣1分． 跟蹤演練6　(2018·全國(guó)Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝2x，點(diǎn)A(2，0)，B(－2,0)，過(guò)點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)． (1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程； (2)證明：∠ABM＝∠ABN. (1)解　當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l的方程為x＝2，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2)或(2，－2)． 所以直線BM的方程為y＝x＋1或y＝－x－1. 即x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0. (2)證明　當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，AB為MN的垂直平分線， 所以∠ABM＝∠ABN. 當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k(x－2)(k≠0)， M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1>0，x2>0. 由得ky2－2y－4k＝0， 顯然方程有兩個(gè)不等實(shí)根． 所以y1＋y2＝，y1y2＝－4. 直線BM，BN的斜率之和kBM＋kBN＝＋＝.① 將x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表達(dá)式代入①式分子， 可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0. 所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的傾斜角互補(bǔ)， 所以∠ABM＝∠ABN.綜上，∠ABM＝∠ABN. 3