（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1 第1講 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算教學(xué)案

第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識點(diǎn)最新考綱變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 了解導(dǎo)數(shù)的概念與實(shí)際背景，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義 會用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(限于形如f(axb)的導(dǎo)數(shù)).導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 理解函數(shù)極值的概念及函數(shù)在某點(diǎn)取到極值的條件，會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大(小)值，會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大(小)值.第1講變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)稱函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0).(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù))相應(yīng)地，切線方程為yy0f(x0)(xx0)(3)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱函數(shù)f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a>0且a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(x>0，a>0且a1)f(x)f(x)ln x(x>0)f(x)3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)4復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yxyu·ux，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)f(x0)與f(x0)表示的意義相同()(2)求f(x0)時(shí)，可先求f(x0)再求f(x0)()(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)()(4)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線()(5)函數(shù)f(x)sin(x)的導(dǎo)數(shù)是f(x)cos x()答案：(1)×(2)×(3)(4)×(5)×教材衍化1(選修22P65A組T2(1)改編)函數(shù)yxcos xsin x的導(dǎo)數(shù)為()Axsin xBxsin xCxcos x Dxcos x解析：選B.yxcos xx(cos x)(sin x)cos xxsin xcos xxsin x.2(選修22P18A組T6改編)曲線y1在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為_解析：因?yàn)閥，所以y|x12.故所求切線方程為2xy10.答案：2xy103(選修22P7例2改編)有一機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為st2(t是時(shí)間，s是位移)，則該機(jī)器人在t2時(shí)的瞬時(shí)速度為_解析：因?yàn)閟t2，所以s2t，所以s|t24.答案：易錯(cuò)糾偏(1)求導(dǎo)時(shí)不能掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則致誤；(2)不會用方程法解導(dǎo)數(shù)求值1已知函數(shù)f(x)sin，則f(x)_解析：f(x)sincos·2cos.答案：2cos2設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)，且f(x)fsin xcos x，則f_解析：因?yàn)閒(x)fsin xcos x，所以f(x)fcos xsin x，所以ffcossin，即f1，所以f(x)sin xcos x，f(x)cos xsin x.故fcossin.答案：導(dǎo)數(shù)的計(jì)算求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sin x；(3)y3xex2xe；(4)yln(2x5)【解】(1)因?yàn)閥(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，所以y18x210x4.(2)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(3)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln 33xex2xln 2(ln 31)·(3e)x2xln 2.(4)令u2x5，yln u，則y(ln u)u·2. 提醒求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進(jìn)行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)；遇到函數(shù)的商的形式時(shí)，如能化簡則化簡，這樣可避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量1已知f(x)x(2 017ln x)，若f(x0)2 018，則x0()Ae2 B1Cln 2 De解析：選B.因?yàn)閒(x)x(2 017ln x)，所以f(x)2 017ln x12 018ln x，又f(x0)2 018，所以2 018ln x02 018，所以x01.2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yxnex；(2)y；(3)yexln x；(4)y(1sin x)2.解：(1)ynxn1exxnexxn1ex(nx)(2)y.(3)yexln xex·ex.(4)y2(1sin x)·(1sin x)2(1sin x)·cos x.導(dǎo)數(shù)的幾何意義(高頻考點(diǎn))導(dǎo)數(shù)的幾何意義是每年高考的必考內(nèi)容，考查題型既有選擇題也有填空題，也常出現(xiàn)在解答題的第(1)問中，屬中低檔題主要命題角度有：(1)求切線方程；(2)已知切線方程(或斜率)求切點(diǎn)坐標(biāo)；(3)已知切線方程(或斜率)求參數(shù)值角度一求切線方程 (1)曲線yx2在點(diǎn)(1，2)處的切線方程為_(2)已知函數(shù)f(x)xln x，若直線l過點(diǎn)(0，1)，并且與曲線yf(x)相切，則直線l的方程為_【解析】(1)因?yàn)閥2x，所以在點(diǎn)(1，2)處的切線方程的斜率為y|x12×11，所以切線方程為y2x1，即yx1.(2)因?yàn)辄c(diǎn)(0，1)不在曲線f(x)xln x上，所以設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)又因?yàn)閒(x)1ln x，所以解得x01，y00.所以切點(diǎn)為(1，0)，所以f(1)1ln 11.所以直線l的方程為yx1.【答案】(1)yx1(2)yx1角度二已知切線方程(或斜率)求切點(diǎn)坐標(biāo) 若曲線yex上點(diǎn)P處的切線平行于直線2xy10，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_【解析】設(shè)P(x0，y0)，因?yàn)閥ex，所以yex，所以點(diǎn)P處的切線斜率為kex02，所以x0ln 2，所以x0ln 2，所以y0eln 22，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(ln 2，2)【答案】(ln 2，2)角度三已知切線方程(或斜率)求參數(shù)值 (1)(2020·寧波調(diào)研)直線ykx1與曲線yx3axb相切于點(diǎn)A(1，3)，則2ab的值等于()A2 B1C1 D2(2)(2020·紹興調(diào)研)若直線yax是曲線y2ln x1的一條切線，則實(shí)數(shù)a_【解析】(1)依題意知，y3x2a，則由此解得所以2ab1，選C.(2)依題意，設(shè)直線yax與曲線y2ln x1的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，則有y|xx0，于是有，解得x0，a2e.【答案】(1)C(2)2e (1)求曲線切線方程的步驟求出函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xx0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處切線的斜率；由點(diǎn)斜式方程求得切線方程為yf(x0)f(x0)·(xx0)(2)求曲線的切線方程需注意兩點(diǎn)當(dāng)曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線垂直于x軸(此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在)時(shí)，切線方程為xx0；當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)不知道時(shí)，應(yīng)首先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求解 1(2020·杭州七校聯(lián)考)曲線yex在點(diǎn)(4，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為()A.e2 B4e2C2e2 De2解析：選D.因?yàn)閥ex，所以ke×4e2，所以切線方程為ye2e2(x4)，令x0，得ye2，令y0，得x2，所以所求面積為S×2×|e2|e2.2已知函數(shù)f(x)(x2ax1)ex(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，aR)，若f(x)在(0，f(0)處的切線與直線xy10垂直，則a_解析：f(x)(x2ax1)ex(x2ax1)(ex)(2xa)ex(x2ax1)exx2(a2)x(a1)ex，故f(0)02(a2)×0(a1)e0a1.因?yàn)閒(x)在(0，f(0)處的切線與直線xy10垂直，故f(0)1，即a11，解得a2.答案：23(2020·臺州高三月考)已知曲線f(x)xn1(nN*)與直線x1交于點(diǎn)P，設(shè)曲線yf(x)在點(diǎn)P處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則log2 018x1log2 018x2log2 018x2 017的值為_解析：f(x)(n1)xn，kf(1)n1，點(diǎn)P(1，1)處的切線方程為y1(n1)(x1)，令y0，得x1，即xn.所以x1·x2··x2 017×××××.則log2 018x1log2 018x2log2 018x2 017log2 018(x1·x2··x2 017)log2 0181.答案：1兩條曲線的公切線若直線ykxb是曲線yln x2的切線，也是曲線yln(x1)的切線，則b_【解析】設(shè)ykxb與yln x2和yln(x1)的切點(diǎn)分別為(x1，ln x12)和(x2，ln(x21)則切線分別為yln x12(xx1)，yln(x21)(xx2)，化簡得yxln x11，yxln(x21)，依題意解得x1，從而bln x111ln 2.【答案】1ln 2求兩條曲線的公切線的方法(1)利用其中一曲線在某點(diǎn)處的切線與另一條曲線相切，列出關(guān)系式求解(2)利用公切線得出關(guān)系式設(shè)公切線l在yf(x)上的切點(diǎn)P1(x1，y1)，在yg(x)上的切點(diǎn)P2(x2，y2)，則f(x1)g(x2). 1已知函數(shù)f(x)x24x4，g(x)x1，則f(x)和g(x)的公切線的條數(shù)為()A三條 B二條C一條 D0條解析：選A.設(shè)公切線與f(x)和g(x)分別相切于點(diǎn)(m，f(m)，(n，g(n)，f(x)2x4，g(x)x2，g(n)f(m)，解得m2，代入化簡得8n38n210，構(gòu)造函數(shù)f(x)8x38x21，f(x)8x(3x2)，原函數(shù)在(，0)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極大值f(0)0，極小值f0，故函數(shù)和x軸有3個(gè)交點(diǎn)，方程8n38n210有三個(gè)解，故切線有3條故選A.2曲線f(x)ex在x0處的切線與曲線g(x)ax2a(a0)相切，則過切點(diǎn)且與該切線垂直的直線方程為_解析：曲線f(x)在x0處的切線方程為yx1.設(shè)其與曲線g(x)ax2a相切于點(diǎn)(x0，axa)則g(x0)2ax01，且axax01.解得x01，a，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)所以過切點(diǎn)且與該切線垂直的直線方程為y1·(x1)，即xy10.答案：xy10基礎(chǔ)題組練1函數(shù)yx2cos x在x1處的導(dǎo)數(shù)是()A0 B2cos 1sin 1Ccos 1sin 1 D1解析：選B.因?yàn)閥(x2cos x)(x2)cos xx2·(cos x)2xcos xx2sin x，所以y|x12cos 1sin 1.2(2020·衢州高三月考)已知t為實(shí)數(shù)，f(x)(x24)(xt)且f(1)0，則t等于()A0 B1C. D2解析：選C.依題意得，f(x)2x(xt)(x24)3x22tx4，所以f(1)32t40，即t.3(2020·溫州模擬)已知函數(shù)f(x)x22x的圖象在點(diǎn)A(x1，f(x1)與點(diǎn)B(x2，f(x2)(x1x20)處的切線互相垂直，則x2x1的最小值為()A. B1C. D2解析：選B.因?yàn)閤1x20，f(x)x22x，所以f(x)2x2，所以函數(shù)f(x)在點(diǎn)A，B處的切線的斜率分別為f(x1)，f(x2)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，所以f(x1)f(x2)1.所以(2x12)(2x22)1，所以2x120，2x220，所以x2x1(2x12)(2x22)1，當(dāng)且僅當(dāng)(2x12)2x221，即x1，x2時(shí)等號成立所以x2x1的最小值為1.故選B.4已知f(x)ax4bcos x7x2.若f(2 018)6，則f(2 018)()A6 B8C6 D8解析：選D.因?yàn)閒(x)4ax3bsin x7.所以f(x)4a(x)3bsin(x)74ax3bsin x7.所以f(x)f(x)14.又f(2 018)6，所以f(2 018)1468，故選D.5.如圖，yf(x)是可導(dǎo)函數(shù)，直線l：ykx2是曲線yf(x)在x3處的切線，令g(x)xf(x)，其中g(shù)(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(3)()A1 B0C2 D4解析：選B.由題圖可得曲線yf(x)在x3處切線的斜率等于，即f(3).又因?yàn)間(x)xf(x)，所以g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，由題圖可知f(3)1，所以g(3)13×0.6若點(diǎn)P是曲線yx2ln x上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線yx2距離的最小值為()A1 B.C. D.解析：選B.因?yàn)槎x域?yàn)?0，)，令y2x1，解得x1，則在P(1，1)處的切線方程為xy0，所以兩平行線間的距離為d.7已知f(x)，g(x)(1sin x)2，若F(x)f(x)g(x)，則F(x)的導(dǎo)函數(shù)為_解析：因?yàn)閒(x)，g(x)2(1sin x)(1sin x)2cos xsin 2x，所以F(x)f(x)g(x)2cos xsin 2x.答案：2cos xsin 2x8(2020·紹興市柯橋區(qū)高三模擬)已知曲線yx23ln x的一條切線的斜率為，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_解析：設(shè)切點(diǎn)為(m，n)(m0)，yx23ln x的導(dǎo)數(shù)為yx，可得切線的斜率為m，解方程可得，m2.答案：29(2020·金華十校高考模擬)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(2)2 018，若對任意的xR，都有f(x)2x成立，則不等式f(x)x22 014的解集為_解析：構(gòu)造函數(shù)g(x)f(x)x22 014，則g(x)f(x)2x0，所以函數(shù)g(x)在定義域上為減函數(shù)，且g(2)f(2)222 0142 01842 0140，由f(x)x22 014有f(x)x22 0140，即g(x)0g(2)，所以x2，不等式f(x)x22 014的解集為(2，)答案：(2，)10如圖，已知yf(x)是可導(dǎo)函數(shù)，直線l是曲線yf(x)在x4處的切線，令g(x)，則g(4)_解析：g(x).由題圖可知，直線l經(jīng)過點(diǎn)P(0，3)和Q(4，5)，故k1.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f(4)，因?yàn)镼(4，5)在曲線yf(x)上，故f(4)5.故g(4).答案：11已知函數(shù)f(x)x3x16.(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(2，6)處的切線的方程；(2)如果曲線yf(x)的某一切線與直線yx3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程解：(1)可判定點(diǎn)(2，6)在曲線yf(x)上因?yàn)閒(x)(x3x16)3x21.所以f(x)在點(diǎn)(2，6)處的切線的斜率為kf(2)13.所以切線的方程為y13(x2)(6)，即y13x32.(2)因?yàn)榍芯€與直線yx3垂直，所以切線的斜率k4.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，則f(x0)3x14，所以x0±1.所以或即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，14)或(1，18)，切線方程為y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.12已知函數(shù)f(x)ax(x0)在x2處的切線方程為3x4y40.(1)求a，b的值；(2)求證：曲線上任一點(diǎn)P處的切線l與直線l1：yx，直線l2：x0圍成的三角形的面積為定值解：(1)由f(x)ax，得f(x)a(x0)由題意得即解得a1，b1.(2)證明：由(1)知f(x)x，設(shè)曲線的切點(diǎn)為P，f(x0)1，曲線在P處的切線方程為y(xx0)即yx.當(dāng)x0時(shí)，y.即切線l與l2：x0的交點(diǎn)坐標(biāo)為A.由得即l與l1：yx的交點(diǎn)坐標(biāo)為B(2x0，2x0)又l1與l2的交點(diǎn)為O(0，0)，則所求的三角形的面積為S·|2x0|·2.即切線l與l1，l2圍成的三角形的面積為定值綜合題組練1若曲線yf(x)ln xax2(a為常數(shù))不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B，)C(0，) D0，)解析：選D.f(x)2ax(x>0)，根據(jù)題意有f(x)0(x>0)恒成立，所以2ax210(x>0)恒成立，即2a(x>0)恒成立，所以a0，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為0，)故選D.2(2020·金華十校聯(lián)考)已知函數(shù)yx2的圖象在點(diǎn)(x0，x)處的切線為l，若l也與函數(shù)yln x，x(0，1)的圖象相切，則x0必滿足()A0x0 B.x01C.x0 D.x0解析：選D.令f(x)x2，f(x)2x，f(x0)x，所以直線l的方程為y2x0(xx0)x2x0xx，因?yàn)閘也與函數(shù)yln x(x(0，1)的圖象相切，令切點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，ln x1)，y，所以l的方程為yxln x11，這樣有所以1ln(2x0)x，x0(1，)，令g(x)x2ln(2x)1，x(1，)，所以該函數(shù)的零點(diǎn)就是x0，又因?yàn)間(x)2x，所以g(x)在(1，)上單調(diào)遞增，又g(1)ln 20，g()1ln 20，g()2ln 20，從而x0，選D.3(2020·寧波四中高三月考)給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo)，即f(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)f(x)在D上也可導(dǎo)，則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f (x)(f(x).若f(x)0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數(shù)以下四個(gè)函數(shù)在上是凸函數(shù)的是_(把你認(rèn)為正確的序號都填上)f(x)sin xcos x；f(x)ln x2x；f(x)x32x1；f(x)xex.解析：中，f(x)cos xsin x，f(x)sin xcos xsin0在區(qū)間上恒成立；中，f(x)2(x0)，f(x)0在區(qū)間上恒成立；中，f(x)3x22，f(x)6x在區(qū)間上恒小于0.中，f(x)exxex，f(x)2exxexex(x2)0在區(qū)間上恒成立，故中函數(shù)不是凸函數(shù)故為凸函數(shù)答案：4(2020·浙江省十校聯(lián)合體期末檢測)已知函數(shù)f(x)aexx2，g(x)cos (x)bx，直線l與曲線yf(x)切于點(diǎn)(0，f(0)，且與曲線yg(x)切于點(diǎn)(1，g(1)，則ab_，直線l的方程為_解析：f(x)aex2x，g(x)sin (x)b，f(0)a，g(1)cos bb1，f(0)a，g(1)b，由題意可得f(0)g(1)，則ab，又f(0)a，即ab1，則ab2；所以直線l的方程為xy10.答案：2xy105設(shè)有拋物線C：yx2x4，過原點(diǎn)O作C的切線ykx，使切點(diǎn)P在第一象限(1)求k的值；(2)過點(diǎn)P作切線的垂線，求它與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)Q的坐標(biāo)解：(1)由題意得，y2x.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1，y1)，則y1kx1，y1xx14，2x1k，聯(lián)立得，x12，x22(舍去)所以k.(2)過P點(diǎn)作切線的垂線，其方程為y2x5.將代入拋物線方程得，x2x90.設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x2，y2)，則2x29，所以x2，y24.所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)為.6(2020·紹興一中月考)已知函數(shù)f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直線m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直線m既是曲線yf(x)的切線，又是曲線yg(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由解：(1)由已知得f(x)3ax26x6a，因?yàn)閒(1)0，所以3a66a0，所以a2.(2)存在由已知得，直線m恒過定點(diǎn)(0，9)，若直線m是曲線yg(x)的切線，則設(shè)切點(diǎn)為(x0，3x6x012)因?yàn)間(x0)6x06，所以切線方程為y(3x6x012)(6x06)(xx0)，將(0，9)代入切線方程，解得x0±1.當(dāng)x01時(shí)，切線方程為y9；當(dāng)x01時(shí)，切線方程為y12x9.由(1)知f(x)2x33x212x11，由f(x)0得6x26x120，解得x1或x2.在x1處，yf(x)的切線方程為y18；在x2處，yf(x)的切線方程為y9，所以yf(x)與yg(x)的公切線是y9.由f(x)12得6x26x1212，解得x0或x1.在x0處，yf(x)的切線方程為y12x11；在x1處，yf(x)的切線方程為y12x10，所以yf(x)與yg(x)的公切線不是y12x9.綜上所述，yf(x)與yg(x)的公切線是y9，此時(shí)k0.17