高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用綜合檢測(cè) 新人教B版選修2-2

高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用綜合檢測(cè) 新人教B版選修2-2 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．設(shè)曲線y＝ax2在點(diǎn)(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a＝(　　) A．1　　　 B.　　　 C．－　　　 D．－1 【解析】　y′＝2ax，于是切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝2a，由題意知2a＝2，∴a＝1. 【答案】　A 2．若f(x)＝x2－2x－4ln x，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　) A．(－1,0) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(0，＋∞) 【解析】　f′(x)＝2x－2－＝＝，由f′(x)＞0得x＞2. 【答案】　C 3．f(x)＝ax3＋2，若f′(1)＝4，則a的值等于(　　) A. B. C. D．1 【解析】　f′(x)＝3ax2＋，∴f′(1)＝3a＋1＝4， ∴a＝1. 【答案】　D 4．使函數(shù)y＝xsin x＋cos x是增函數(shù)的區(qū)間可能是(　　) A．(，) B．(π，2π) C．(，) D．(2π，3π) 【解析】　y′＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，故當(dāng)x∈(，)時(shí)，y′>0，函數(shù)為增函數(shù)． 【答案】　C 5．一汽車沿直線軌道前進(jìn)，剎車后列車速度為v(t)＝18－6t，則列車的剎車距離為(　　) A．27 B．54 C．81 D．13.5 【解析】　令v(t)＝0得18－6t＝0得t＝3， ∴列車的剎車距離為v(t)dt＝(18－6t)dt ＝(18t－3t2)＝27. 【答案】　A 圖1 6．設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖1所示，則下列結(jié)論中一定成立的是(　　) A．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1) B．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1) C．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2) D．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2) 【解析】　由圖可知，當(dāng)x<－2時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)－2<x<1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)1<x<2時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)>0.由此可以得到函數(shù)在x＝－2處取得極大值，在x＝2處取得極小值，選D. 【答案】　D 7．由y＝－x2與直線y＝2x－3圍成的圖形的面積是(　　) A. B. C. D．9 【解析】　解 得交點(diǎn)A(－3，－9)，B(1，－1)． 由y＝－x2與直線y＝2x－3圍成的圖形的面積 ＝－x3－(x2－3x)＝. 【答案】　B 8．若函數(shù)f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在區(qū)間[－2，－1]上的最大值為2，則它在該區(qū)間上的最小值為(　　) A．－5 B．7 C．10 D．－19 【解析】　∵y′＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)， 所以函數(shù)在[－2，－1]內(nèi)單調(diào)遞減， 所以最大值為f(－2)＝2＋a＝2. ∴a＝0，最小值f(－1)＝a－5＝－5. 【答案】　A 9．已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)＝2，且f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)在R上恒有f′(x)＜1(x∈R)，則不等式f(x)＜x＋1的解集為(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，－1) C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【解析】　不等式f(x)＜x＋1可化為f(x)－x＜1，設(shè)g(x)＝f(x)－x， 由題意g′(x)＝f′(x)－1＜0，g(1)＝f(1)－1＝1， 故原不等式?g(x)＜g(1)，故x＞1. 【答案】　A 10．(xx·課標(biāo)全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的圖象大致為 (　　) 【解析】　在[－π，π]上， ∵f(－x)＝[1－cos(－x)]sin(－x) ＝(1－cos x)(－sin x)＝－(1－cos x)sin x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函數(shù)， ∴f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B. 取x＝，則f()＝(1－cos )sin ＝1＞0，排除A. ∵f(x)＝(1－cos x)sin x， ∴f′(x)＝sin x·sin x＋(1－cos x)cos x ＝1－cos2x＋cos x－cos2x＝－2cos2x＋cos x＋1. 令f′(x)＝0，則cos x＝1或cos x＝－. 結(jié)合x∈[－π，π]，求得f(x)在(0，π]上的極大值點(diǎn)為π，靠近π，選C. 【答案】　C 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上) 11．(xx·江西高考)設(shè)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，且f(ex)＝x＋ex，則f′(1)＝________. 【解析】　令ex＝t，則x＝ln t，所以f(x)＝ln x＋x，即f′(x)＝1＋，則f′(1)＝1＋1＝2. 【答案】　2 12．已知函數(shù)f(x)＝x3－(a＋)x2＋x(a＞0)，則f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率最大時(shí)的切線方程是________． 【解析】　f′(x)＝x2－(a＋)x＋1，故f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率k＝2－(a＋)，顯然當(dāng)a＝1時(shí)，a＋最小，k最大為0，又f(1)＝，∴切線方程為y＝. 【答案】　y＝ 13．若函數(shù)f(x)＝在區(qū)間(m,2m＋1)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 【解析】　f′(x)＝，令f′(x)>0，得－1<x<1，即函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(－1,1)． 又f(x)在(m,2m＋1)上單調(diào)遞增， 所以解得－1<m≤0. 【答案】　(－1,0] 14．周長為20 cm的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱，則圓柱體積的最大值為________． 【解析】　設(shè)矩形的長為x，則寬為10－x(0<x<10)，由題意可知所求圓柱的體積V＝πx2(10－x)＝10πx2－πx3， ∴V′(x)＝20πx－3πx2. 由V′(x)＝0得x＝0(舍去)，x＝， 且當(dāng)x∈(0，)時(shí)，V′(x)>0，當(dāng)x∈(，10)時(shí)，V′(x)<0， ∴當(dāng)x＝時(shí)，V(x)取得最大值為π cm3. 【答案】　π cm3 三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)． (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)在(0,1]上的最大值為，求a的值． 【解】　函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,2)， f′(x)＝－＋a. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，f′(x)＝， 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)， 單調(diào)遞減區(qū)間為(，2)． (2)當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f′(x)＝＋a>0，即f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，故f(x)在(0,1]上的最大值為f(1)＝a，因此a＝. 16．(本小題滿分12分)(xx·課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4. (1)求a，b的值； (2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值． 【解】　(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8. 從而a＝4，b＝4. (2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x， f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2). 令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2. 從而當(dāng)x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0； 當(dāng)x∈(－2，－ln 2)時(shí)，f′(x)＜0. 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－2，－ln 2)上單調(diào)遞減． 當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f(－2)＝4(1－e－2)． 17．(本小題滿分12分)(xx·合肥高二檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bx在區(qū)間(－2,1)內(nèi)x＝－1時(shí)取極小值，x＝時(shí)取極大值． (1)求函數(shù)y＝f(x)在x＝－2時(shí)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線方程； (2)求函數(shù)y＝f(x)在[－2,1]上的最大值與最小值． 【解】　(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b. 又x＝－1，x＝分別對(duì)應(yīng)函數(shù)取得極小值、極大值， 所以－1，為方程－3x2＋2ax＋b＝0的兩個(gè)根． 所以a＝－1＋，－＝(－1)×. 于是a＝－，b＝2， 則f(x)＝－x3－x2＋2x. 當(dāng)x＝－2時(shí)，f(－2)＝2，即(－2,2)在曲線上． 又切線斜率為k＝f′(－2)＝－8， 所求切線方程為y－2＝－8(x＋2)， 即為8x＋y＋14＝0. (2)當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)及f(x)的變化情況如下表： x －2 (－2，－1) －1 (－1，) (，1) 1 f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 2  －   則f(x)在[－2,1]上的最大值為2，最小值為－. 18．(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－1與x＝2處都取得極值． (1)求a，b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若對(duì)x∈[－2,3]，不等式f(x)＋c<c2恒成立，求c的取值范圍． 【解】　(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由題意得 即 解得 ∴f(x)＝x3－x2－6x＋c，f′(x)＝3x2－3x－6. 令f′(x)<0，解得－1<x<2； 令f′(x)>0，解得x<－1或x>2. ∴f(x)的減區(qū)間為(－1,2)， 增區(qū)間為(－∞，－1)，(2，＋∞)． (2)由(1)知，f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增；在(－1,2)上單調(diào)遞減；在(2，＋∞)上單調(diào)遞增． ∴x∈[－2,3]時(shí)，f(x)的最大值即為 f(－1)與f(3)中的較大者． f(－1)＝＋c，f(3)＝－＋c. ∴當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)取得最大值． 要使f(x)＋c<c2， 只需c2>f(－1)＋c， 即2c2>7＋5c，解得c<－1或c>. ∴c的取值范圍為(－∞，－1)∪(，＋∞)．