（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 1.3 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞講義 文

第三節(jié)簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞一、基礎(chǔ)知識批注理解深一點1簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)命題中的“且”“或”“非”叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到復(fù)合命題“p且q”，記作pq；用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到復(fù)合命題“p或q”，記作pq；對命題p的結(jié)論進(jìn)行否定，得到復(fù)合命題“非p”，記作綈p.“且”的數(shù)學(xué)含義是幾個條件同時滿足，“且”在集合中的解釋為“交集”；“或”的數(shù)學(xué)含義是至少滿足一個條件，“或”在集合中的解釋為“并集”；“非”的含義是否定，“非p”只否定p的結(jié)論，“非”在集合中的解釋為“補集”. “命題的否定”與“否命題”的區(qū)別(1)命題的否定只是否定命題的結(jié)論，而否命題既否定其條件，也否定其結(jié)論(2)命題的否定與原命題的真假總是相對立的，即一真一假，而否命題與原命題的真假無必然聯(lián)系(2)命題真值表：pqpqpq綈p真真真假真真真假真假假假命題真假的判斷口訣pq見真即真，pq見假即假，p與綈p真假相反.2全稱量詞與存在量詞量詞名稱常見量詞表示符號全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個等存在量詞存在一個、至少有一個、有一個、某個、有些、某些等3.全稱命題與特稱命題命題名稱命題結(jié)構(gòu)命題簡記全稱命題對M中任意一個x，有p(x)成立xM，p(x)特稱命題存在M中的一個x0，使p(x0)成立x0M，p(x0)4全稱命題與特稱命題的否定命題命題的否定xM，p(x)x0M，綈p(x0)x0M，p(x0)xM，綈p(x)二、常用結(jié)論匯總規(guī)律多一點含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的等價關(guān)系(1)pq真p，q至少一個真(綈p)(綈q)假(2)pq假p，q均假(綈p)(綈q)真(3)pq真p，q均真(綈p)(綈q)假(4)pq假p，q至少一個假(綈p)(綈q)真三、基礎(chǔ)小題強化功底牢一點(1)若命題pq為假命題，則命題p，q都是假命題()(2)命題p和綈p不可能都是真命題()(3)若命題p，q至少有一個是真命題，則pq是真命題()(4)若命題綈(pq)是假命題，則命題p，q中至多有一個是真命題()(5)“長方形的對角線相等”是特稱命題()答案：(1)×(2)(3)(4)×(5)×(二)選一選1命題xR，x2x0的否定是()Ax0R，xx00 Bx0R，xx0<0CxR，x2x0 DxR，x2x<0解析：選B由全稱命題的否定是特稱命題知命題B正確2已知命題p：若x>y，則x<y；命題q：若>，則x<y.在命題pq；pq；p(綈q)；(綈p)q中，真命題是()A BC D解析：選C由不等式的性質(zhì)可知，命題p是真命題，命題q為假命題，故pq為假命題；pq為真命題；綈q為真命題，則p(綈q)為真命題；綈p為假命題，則(綈p)q為假命題，故真命題為.3下列四個命題中的真命題為()Ax0Z,1<4x0<3 Bx0Z,5x010CxR，x210 DxR，x2x2>0解析：選D選項A中，<x0<，與x0Z矛盾，不成立；選項B中，x0，與x0Z矛盾；選項C中，x±1時，x210；選項D正確(三)填一填4命題“全等三角形的面積一定都相等”的否定是_答案：存在兩個全等三角形的面積不相等5若命題p：不等式axb>0的解集為，命題q：關(guān)于x的不等式(xa)(xb)<0的解集為x|a<x<b，則“pq”“pq”及“綈p”形式的復(fù)合命題中的真命題是_解析：由題知命題p為假命題，命題q為假命題，故只有“綈p”是真命題答案：綈p 考點一判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假典例(1)(2017·山東高考)已知命題p：x>0，ln(x1)>0；命題q：若a>b，則a2>b2.下列命題為真命題的是()ApqBp綈qC綈pq D綈p綈q(2)(2019·安徽安慶模擬)設(shè)命題p：x0(0，)，x0>3；命題q：x(2，)，x2>2x，則下列命題為真的是()Ap(綈q) B(綈p)qCpq D(綈p)q解析(1)當(dāng)x>0時，x1>1，因此ln(x1)>0，即p為真命題；取a1，b2，這時滿足a>b，顯然a2>b2不成立，因此q為假命題由復(fù)合命題的真假性，知B為真命題(2)對于命題p，當(dāng)x04時，x0>3，故命題p為真命題；對于命題q，當(dāng)x4時，244216，即x0(2，)，使得2x0x成立，故命題q為假命題，所以p (綈q)為真命題，故選A.答案(1)B(2)A解題技法判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的步驟題組訓(xùn)練1(2019·惠州調(diào)研)已知命題p，q，則“綈p為假命題”是“pq是真命題”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B充分性：若綈p為假命題，則p為真命題，由于不知道q的真假性，所以推不出pq是真命題必要性：pq是真命題，則p，q均為真命題，則綈p為假命題所以“綈p為假命題”是“pq是真命題”的必要不充分條件2已知命題p：“若x2x>0，則x>1”；命題q：“若x，yR，x2y20，則xy0”下列命題是真命題的是()Ap(綈q) BpqCpq D(綈p)(綈q)解析：選B若x2x>0，則x>1或x<0，故p是假命題；若x，yR，x2y20，則x0，y0，xy0，故q是真命題則pq是真命題 典例(1)命題xR，exx10的否定是()AxR，exx10BxR，exx10Cx0R，ex0x010 Dx0R，ex0x01<0(2)對命題x0>0，x>2x0，下列說法正確的是()A真命題，其否定是x00，x2x0B假命題，其否定是x>0，x22xC真命題，其否定是x>0，x22xD真命題，其否定是x0，x22x解析(1)改全稱量詞為存在量詞，把不等式中的大于或等于改為小于故選D.(2)已知命題是真命題，如329>823，其否定是x>0，x22x.故選C.答案(1)D(2)C解題技法1全稱命題與特稱命題真假的判斷方法命題名稱真假判斷方法一判斷方法二全稱命題真所有對象使命題真否定為假假存在一個對象使命題假否定為真特稱命題真存在一個對象使命題真否定為假假所有對象使命題假否定為真2.全稱命題與特稱命題的否定(1)改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對量詞進(jìn)行改寫(2)否定結(jié)論：對原命題的結(jié)論進(jìn)行否定題組訓(xùn)練1命題“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是()AxR，nN*，使得n>x2BxR，nN*，使得n>x2Cx0R，nN*，使得n>xDx0R，nN*，使得n>x解析：選D改寫為，改寫為，nx2的否定是n>x2，則該命題的否定形式為“x0R，nN*，使得n>x”2已知命題p：nR，使得f(x)nxn22n是冪函數(shù)，且在(0，)上單調(diào)遞增；命題q：“x0R，x2>3x0”的否定是“xR，x22<3x”則下列命題為真命題的是()Apq B(綈p)qCp(綈q) D(綈p)(綈q)解析：選C當(dāng)n1時，f(x)x3為冪函數(shù)，且在(0，)上單調(diào)遞增，故p是真命題，則綈p是假命題；“x0R，x2>3x0”的否定是“xR，x223x”，故q是假命題，綈q是真命題所以pq，(綈p)q，(綈p)(綈q)均為假命題，p(綈q)為真命題，選C. 考點三根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍典例已知p：存在x0R，mx10，q：任意xR，x2mx1>0.若p或q為假命題，求實數(shù)m的取值范圍解依題意知p，q均為假命題，當(dāng)p是假命題時，則mx21>0恒成立，則有m0；當(dāng)q是真命題時，則m24<0，2<m<2.因此由p，q均為假命題得即m2.所以實數(shù)m的取值范圍為2，)變透練清1.若本例將條件“p或q為假命題”變?yōu)椤皃且q為真命題”，其他條件不變，則實數(shù)m的取值范圍為_解析：依題意，當(dāng)p是真命題時，有m<0；當(dāng)q是真命題時，有2<m<2，由可得2<m<0.所以m的取值范圍為(2,0)答案：(2,0)2.若本例將條件“p或q為假命題”變?yōu)椤皃且q為假，p或q為真”，其他條件不變，則實數(shù)m的取值范圍為_解析：若p且q為假，p或q為真，則p，q一真一假當(dāng)p真q假時所以m2；當(dāng)p假q真時所以0m<2.所以m的取值范圍為(，20,2)答案：(，20,2)3.若本例將條件q變?yōu)椋捍嬖趚0R，xmx01<0，其他條件不變，則實數(shù)m的取值范圍為_解析：依題意，當(dāng)q是真命題時，m24>0，所以m>2或m<2.由得0m2，所以m的取值范圍為0,2答案：0,2解題技法根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍的步驟(1)求出當(dāng)命題p，q為真命題時所含參數(shù)的取值范圍；(2)根據(jù)復(fù)合命題的真假判斷命題p，q的真假性；(3)根據(jù)命題p，q的真假情況，利用集合的交集和補集的運算，求解參數(shù)的取值范圍1(2019·西安摸底)命題“x>0，>0”的否定是()Ax00，0Bx0>0,0x01Cx>0，0 Dx<0,0x1解析：選B>0，x<0或x>1，>0的否定是0x1，命題的否定是“x0>0,0x01”2下列命題中，假命題的是()AxR,21x>0Ba0R，yxa0的圖象關(guān)于y軸對稱C函數(shù)yxa的圖象經(jīng)過第四象限D(zhuǎn)直線xy10與圓x2y2相切解析：選C對于A，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知為真命題；對于B，當(dāng)a2時，其圖象關(guān)于y軸對稱；對于C，當(dāng)x>0時，y>0恒成立，從而圖象不過第四象限，故為假命題；對于D，因為圓心(0,0)到直線xy10的距離等于，等于圓的半徑，命題成立3(2019·陜西質(zhì)檢)已知命題p：對任意的xR，總有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要條件，則下列命題為真命題的是()Apq B(綈p)(綈q)C(綈p)q Dp(綈q)解析：選D由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知命題p為真命題易知x>1是x>2的必要不充分條件，所以命題q為假命題由復(fù)合命題真值表可知p(綈q)為真命題4(2018·湘東五校聯(lián)考)下列說法中正確的是()A“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分條件B命題p：xR,2x>0，則綈p：x0R,2x0<0C命題“若a>b>0，則<”的逆命題是真命題D“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要條件解析：選A對于選項A，由a>1，b>1，易得ab>1，故A正確對于選項B，全稱命題的否定是特稱命題，所以命題p：xR,2x>0的否定是綈p：x0R,2x00，故B錯誤對于選項C，其逆命題：若<，則a>b>0，可舉反例，如a1，b1，顯然是假命題，故C錯誤對于選項D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a1，b1，故D錯誤故選A.5(2019·唐山五校聯(lián)考)已知命題p：“a>b”是“2a>2b”的充要條件；命題q：x0R，|x01|x0，則()A(綈p)q為真命題 Bp(綈q)為假命題Cpq為真命題 Dpq為真命題解析：選D由題意可知命題p為真命題因為|x1|x的解集為空集，所以命題q為假命題，所以pq為真命題6下列說法錯誤的是()A命題“若x25x60，則x2”的逆否命題是“若x2，則x25x60”B若命題p：存在x0R，xx01<0，則綈p：對任意xR，x2x10C若x，yR，則“xy”是“xy2”的充要條件D已知命題p和q，若“p或q”為假命題，則命題p與q中必一真一假解析：選D由原命題與逆否命題的關(guān)系，知A正確；由特稱命題的否定知B正確；由xy24xy(xy)24xyx2y22xy(xy)20xy，知C正確；對于D，命題“p或q”為假命題，則命題p與q均為假命題，所以D不正確7(2019·長沙模擬)已知命題“xR，ax24x1>0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A(4，) B(0,4C(，4 D0,4)解析：選C當(dāng)原命題為真命題時，a>0且<0，所以a>4，故當(dāng)原命題為假命題時，a4.8下列命題為假命題的是()A存在x>y>0，使得ln xln y<0B“”是“函數(shù)ysin(2x)為偶函數(shù)”的充分不必要條件Cx0(，0)，使3x0<4x0成立D已知兩個平面，若兩條異面直線m，n滿足m，n且m，n，則解析：選C對于A選項，令x1，y，則ln xln y1<0成立，故排除A.對于B選項，“”是“函數(shù)ysin(2x)為偶函數(shù)”的充分不必要條件，正確，故排除B.對于C選項，根據(jù)冪函數(shù)yx，當(dāng)<0時，函數(shù)單調(diào)遞減，故不存在x0(，0)，使3x0<4x0成立，故C錯誤對于D選項，已知兩個平面，若兩條異面直線m，n滿足m，n且m，n，可過n作一個平面與平面相交于直線n.由線面平行的性質(zhì)定理可得nn，再由線面平行的判定定理可得n，接下來由面面平行的判定定理可得，故排除D，選C.9若命題p的否定是“x(0，)，x1”，則命題p可寫為_解析：因為p是綈p的否定，所以只需將全稱量詞變?yōu)樘胤Q量詞，再對結(jié)論否定即可答案：x0(0，)，x0110已知命題p：x24x30，q：xZ，且“pq”與“綈q”同時為假命題，則 x_.解析：若p為真，則x1或x3，因為“綈q”為假，則q為真，即xZ，又因為“pq”為假，所以p為假，故3x1，由題意，得x2.答案：211已知p：a<0，q：a2>a，則綈p是綈q的_條件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)解析：由題意得綈p：a0，綈q：a2a，即0a1.因為a|0a1a|a0，所以綈p是綈q的必要不充分條件答案：必要不充分12已知命題p：a20(aR)，命題q：函數(shù)f(x)x2x在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，則下列命題：pq；pq；(綈p)(綈q)；(綈p)q.其中為假命題的序號為_解析：顯然命題p為真命題，綈p為假命題f(x)x2x2，函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增命題q為假命題，綈q為真命題pq為真命題，pq為假命題，(綈p)(綈q)為假命題，(綈p)q為假命題答案：13設(shè)tR，已知命題p：函數(shù)f(x)x22tx1有零點；命題q：x1，)， x4t21.(1)當(dāng)t1時，判斷命題q的真假；(2)若pq為假命題，求t的取值范圍解：(1)當(dāng)t1時，max0，x3在1，)上恒成立，故命題q為真命題(2)若pq為假命題，則p，q都是假命題當(dāng)p為假命題時，(2t)24<0，解得1<t<1；當(dāng)q為真命題時，max4t21，即4t210，解得t或t，當(dāng)q為假命題時，<t<，t的取值范圍是.11