（通用版）2020高考數(shù)學一輪復習 2.6 二次函數(shù)講義 文

第六節(jié)二次函數(shù)一、基礎知識批注理解深一點1二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；頂點式：f(x)a(xh)2k(a0)；兩根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)系數(shù)的特征(1)二次函數(shù)yax2bxc(a0)中，系數(shù)a的正負決定圖象的開口方向及開口大小；(2)的值決定圖象對稱軸的位置；(3)c的取值決定圖象與y軸的交點；(4)b24ac的正負決定圖象與x軸的交點個數(shù)解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)圖象定義域(，)(，)值域單調(diào)性在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減奇偶性當b0時為偶函數(shù)，當b0時為非奇非偶函數(shù)頂點對稱性圖象關于直線x成軸對稱圖形二、常用結(jié)論匯總規(guī)律多一點1一元二次不等式恒成立的條件(1)“ax2bxc>0(a0)恒成立”的充要條件是“a>0，且<0”(2)“ax2bxc<0(a0)恒成立”的充要條件是“a<0，且<0”2二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值設二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a>0)，閉區(qū)間為m，n(1)當m時，最小值為f(m)，最大值為f(n)；(2)當m<時，最小值為f，最大值為f(n)；(3)當<n時，最小值為f，最大值為f(m)；(4)當>n時，最小值為f(n)，最大值為f(m)三、基礎小題強化功底牢一點(1)二次函數(shù)yax2bxc(xR)不可能是偶函數(shù)()(2)二次函數(shù)yax2bxc(xa，b)的最值一定是.()(3)a1是函數(shù)f(x)x24ax3在區(qū)間2，)上為增函數(shù)的充分不必要條件()答案：(1)×(2)×(3)(二)選一選1若二次函數(shù)y2x2bxc關于y軸對稱，且過點(0,3)，則函數(shù)的解析式為()Ay2x2x3By2x23Cy2x2x3 Dy2x23解析：選B由題可知函數(shù)yf(x)為偶函數(shù)，則b0.又過點(0,3)，則c3，故解析式為y2x23.2若函數(shù)yx22tx3在1，)上為增函數(shù)，則t的取值范圍是()A(，1 B1，)C(，1 D1，)解析：選A函數(shù)yx22tx3的圖象開口向上，以直線xt為對稱軸又函數(shù)yx22tx3在1，)上為增函數(shù)，則t1.3已知函數(shù)f(x)ax2x5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是()A. B. C. D.解析：選C由題意知即解得a>.(三)填一填4函數(shù)yx24x2在區(qū)間1,4上的最小值為_解析：函數(shù)yx24x2的圖象開口向下，對稱軸為直線x2，所以當x4時，y的最小值為2.答案：25已知f(x)ax2bx3ab是偶函數(shù)，且其定義域為a1，2a，則yf(x)的值域為_解析：因為f(x)ax2bx3ab是偶函數(shù)，所以其定義域a1,2a關于原點對稱，所以a12a，所以a，因為f(x)ax2bx3ab是偶函數(shù)，即f(x)f(x)，所以b0，所以f(x)x21，x，其值域為.答案： 求二次函數(shù)的解析式常利用待定系數(shù)法，但由于條件不同，則所選用的解析式不同，其方法也不同. 典例已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式解法一：利用二次函數(shù)的一般式設f(x)ax2bxc(a0)由題意得解得故所求二次函數(shù)為f(x)4x24x7.法二：利用二次函數(shù)的頂點式設f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，拋物線對稱軸為x.m，又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，n8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.法三：利用零點式由已知f(x)10的兩根為x12，x21，故可設f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函數(shù)有最大值ymax8，即8.解得a4或a0(舍去)，故所求函數(shù)解析式為f(x)4x24x7.解題技法求二次函數(shù)解析式的策略題組訓練1已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點坐標是(2，1)，且圖象經(jīng)過點(1,0)，則函數(shù)的解析式為f(x)_.解析：法一：設所求解析式為f(x)ax2bxc(a0)由已知得解得所以所求解析式為f(x)x2x.法二：設所求解析式為f(x)ax2bxc(a0)依題意得解得所以所求解析式為f(x)x2x.法三：設所求解析式為f(x)a(xh)2k.由已知得f(x)a(x2)21，將點(1,0)代入，得a，所以f(x)(x2)21，即f(x)x2x.答案：x2x2已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意xR，都有f(2x)f(2x)，則函數(shù)的解析式f(x)_.解析：f(2x)f(2x)對xR恒成立，f(x)的對稱軸為x2.又f(x)的圖象被x軸截得的線段長為2，f(x)0的兩根為1和3.設f(x)的解析式為f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3)，3a3，a1.所求f(x)的解析式為f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.答案：x24x3 考法(一)二次函數(shù)圖象的識別典例若一次函數(shù)yaxb的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則二次函數(shù)yax2bx的圖象只可能是()解析因為一次函數(shù)yaxb的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸方程x<0，只有選項C適合答案C解題技法識別二次函數(shù)圖象應學會“三看”考法(二)二次函數(shù)的單調(diào)性與最值問題典例(1)已知函數(shù)f(x)x22ax1a在x0,1時，有最大值2，則a的值為_(2)設二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，且f(m)f(0)，則實數(shù)m的取值范圍是_解析(1)函數(shù)f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，對稱軸方程為xa.當a<0時，f(x)maxf(0)1a，所以1a2，所以a1.當0a1時，f(x)maxa2a1，所以a2a12，所以a2a10，所以a(舍去)當a>1時，f(x)maxf(1)a，所以a2.綜上可知，a1或a2.(2)依題意a0，二次函數(shù)f(x)ax22axc圖象的對稱軸是直線x1，因為函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，所以a>0，即函數(shù)圖象的開口向上，所以f(0)f(2)，則當f(m)f(0)時，有0m2.答案(1)1或2(2)0,2解題技法1二次函數(shù)最值問題的類型及解題思路(1)類型：對稱軸、區(qū)間都是給定的；對稱軸動、區(qū)間固定；對稱軸定、區(qū)間變動(2)解決這類問題的思路：抓住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合，“三點”是指區(qū)間兩個端點和中點，“一軸”指的是對稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想解決問題(3)求二次函數(shù)最值口訣如下：棄y軸，十字圖，對應橫軸對稱軸；函數(shù)草圖隨意作，開口方向莫疏忽；區(qū)間與軸描分布，高低位置最值處；二次函數(shù)含參數(shù)，邏輯分類誰做主；動兮定兮對稱軸，看作靜止參照物2二次函數(shù)單調(diào)性問題的求解策略(1)對于二次函數(shù)的單調(diào)性，關鍵是開口方向與對稱軸的位置，若開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定，則需要分類討論求解(2)利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小，一定要將待比較的兩數(shù)通過二次函數(shù)的對稱性轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較考法(三)與二次函數(shù)有關的恒成立問題典例(1)已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對于任意xm，m1，都有f(x)<0成立，則實數(shù)m的取值范圍是_；(2)已知函數(shù)f(x)x22x1，f(x)>xk在區(qū)間3，1上恒成立，則k的取值范圍為_解析(1)作出二次函數(shù)f(x)的草圖如圖所示，對于任意xm，m1，都有f(x)<0，則有即解得<m<0.(2)由題意得x2x1>k在區(qū)間3，1上恒成立設g(x)x2x1，x3，1，則g(x)在3，1上遞減g(x)ming(1)1.k<1.故k的取值范圍為(，1)答案(1)(2)(，1)解題技法由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關鍵(1)一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)(2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關鍵是看參數(shù)是否已分離這兩個思路的依據(jù)是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.題組訓練1(2019·杭州模擬)已知f(x)4x24ax4aa2在0,1內(nèi)的最大值為5，則a的值為()A.B1或C1或 D5或解析：選Df(x)424a，對稱軸為直線x.當1，即a2時，f(x)在0,1上單調(diào)遞增，f(x)maxf(1)4a2.令4a25，得a±1(舍去)當0<<1，即0<a<2時，f(x)maxf4a.令4a5，得a.當0，即a0時，f(x)在0,1上單調(diào)遞減，f(x)maxf(0)4aa2.令4aa25，得a5或a1(舍去)綜上所述，a或5.2若函數(shù)yx23x4的定義域為0，m，值域為，則m的取值范圍為()A(0,4 B.C. D.解析：選Cyx23x42的定義域為0，m，顯然，在x0時，y4，又值域為，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性知m3，故選C.3已知函數(shù)f(x)a2x3ax2(a>1)，若在區(qū)間1,1上f(x)8恒成立，則a的最大值為_解析：令axt，因為a>1，x1,1，所以ta，原函數(shù)化為g(t)t23t2，顯然g(t)在上單調(diào)遞增，所以f(x)8恒成立，即g(t)maxg(a)8恒成立，所以有a23a28，解得5a2，又a>1，所以a的最大值為2.答案：2A級保大分專練1(2019·重慶三校聯(lián)考)已知二次函數(shù)yax2bx1的圖象的對稱軸方程是x1，并且過點P(1,7)，則a，b的值分別是()A2,4B2,4C2，4 D2，4解析：選Cyax2bx1的圖象的對稱軸是x1，1. 又圖象過點P(1,7)，ab17，即ab6. 由可得a2，b4.2已知函數(shù)f(x)x24xa，x0,1，若f(x)有最小值2，則a的值為()A1 B0C1 D2解析：選D函數(shù)f(x)x24xa的對稱軸為直線x2，開口向下，f(x)x24xa在0,1上單調(diào)遞增，則當x0時，f(x)的最小值為f(0)a2.3一次函數(shù)yaxb與二次函數(shù)yax2bxc在同一坐標系中的圖象大致是()解析：選C若a>0，則一次函數(shù)yaxb為增函數(shù)，二次函數(shù)yax2bxc的圖象開口向上，故可排除A；若a<0，一次函數(shù)yaxb為減函數(shù)，二次函數(shù)yax2bxc的圖象開口向下，故可排除D；對于選項B，看直線可知a>0，b>0，從而<0，而二次函數(shù)的對稱軸在y軸的右側(cè)，故可排除B.故選C.4已知a，b，cR，函數(shù)f(x)ax2bxc，若f(0)f(4)>f(1)，則()Aa>0,4ab0 Ba<0,4ab0Ca>0,2ab0 Da<0,2ab0解析：選A由f(0)f(4)，得f(x)ax2bxc圖象的對稱軸為x2，4ab0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，f(x)先減后增，于是a>0，故選A.5若關于x的不等式x24x2a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，2) B(2，)C(6，) D(，6)解析：選A不等式x24x2a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價于a<(x24x2)max，令f(x)x24x2，x(1,4)，所以f(x)<f(4)2，所以a<2.6已知函數(shù)f(x)x22ax3，若yf(x)在區(qū)間4,6上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對稱軸是xa，所以要使f(x)在4,6上是單調(diào)函數(shù)，應有a4或a6，即a6或a4.答案：(，64，)7已知二次函數(shù)yf(x)的頂點坐標為，且方程f(x)0的兩個實根之差等于7，則此二次函數(shù)的解析式是_解析：設f(x)a249(a0)，方程a2490的兩個實根分別為x1，x2，則|x1x2|2 7，所以a4，所以f(x)4x212x40.答案：f(x)4x212x408(2018·浙江名校協(xié)作體考試)y的值域為0，)，則a的取值范圍是_解析：當a0時，y，值域為0，)，滿足條件；當a0時，要使y的值域為0，)，只需解得0<a2.綜上，0a2.答案：0,29求函數(shù)f(x)x(xa)在x1,1上的最大值解：函數(shù)f(x)2的圖象的對稱軸為x，應分<1，11，>1，即a<2，2a2和a>2三種情形討論(1)當a<2時，由圖可知f(x)在1,1上的最大值為f(1)1a(a1)(2)當2a2時，由圖可知f(x)在1,1上的最大值為f.(3)當a>2時，由圖可知f(x)在1,1上的最大值為f(1)a1.綜上可知，f(x)max10已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)當x1,1時，函數(shù)yf(x)的圖象恒在函數(shù)y2xm的圖象的上方，求實數(shù)m的取值范圍解：(1)設f(x)ax2bx1(a0)，由f(x1)f(x)2x，得2axab2x.所以，2a2且ab0，解得a1，b1，因此f(x)的解析式為f(x)x2x1.(2)因為當x1,1時，yf(x)的圖象恒在y2xm的圖象上方，所以在1,1上，x2x1>2xm恒成立；即x23x1>m在區(qū)間1,1上恒成立所以令g(x)x23x12，因為g(x)在1,1上的最小值為g(1)1，所以m<1.故實數(shù)m的取值范圍為(，1)B級創(chuàng)高分自選1.如圖是二次函數(shù)yax2bxc圖象的一部分，圖象過點A(3,0)，對稱軸為x1.給出下面四個結(jié)論：b2>4ac；2ab1；abc0；5a<b.其中正確的是()A BC D解析：選B因為圖象與x軸交于兩點，所以b24ac>0，即b2>4ac，正確；對稱軸為x1，即1,2ab0，錯誤；結(jié)合圖象，當x1時，y>0，即abc>0，錯誤；由對稱軸為x1知，b2a.又函數(shù)圖象開口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，正確2已知yf(x)是偶函數(shù)，當x>0時，f(x)(x1)2，若當x時，nf(x)m恒成立，則mn的最小值為()A. B.C. D1解析：選D當x<0時，x>0，f(x)f(x)(x1)2，因為x，所以f(x)minf(1)0，f(x)maxf(2)1，所以m1，n0，mn1.所以mn的最小值是1.3已知函數(shù)f(x)x2(2a1)x3.(1)當a2，x2,3時，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)f(x)在1,3上的最大值為1，求實數(shù)a的值解：(1)當a2時，f(x)x23x3，x2,3，對稱軸為x2,3，f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，函數(shù)f(x)的值域為.(2)函數(shù)f(x)的對稱軸為x.當1，即a時，f(x)maxf(3)6a3，6a31，即a，滿足題意；當1，即a時，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a1，滿足題意綜上可知，a或1.4求函數(shù)yx22x1在區(qū)間t，t1(tR)上的最大值解：函數(shù)yx22x1(x1)22的圖象的對稱軸是直線x1，頂點坐標是(1，2)，函數(shù)圖象如圖所示，對t進行討論如下：(1)當對稱軸在閉區(qū)間右邊，即當t1<1，即t<0時，函數(shù)在區(qū)間t，t1上單調(diào)遞減，f(x)maxf(t)t22t1.(2)當對稱軸在閉區(qū)間內(nèi)時，0t1，有兩種情況：當t111t，即0t時，f(x)maxf(t)t22t1；當t11>1t，即<t1時，f(x)maxf(t1)(t1)22(t1)1t22.(3)當對稱軸在閉區(qū)間左側(cè)，即當t>1時，函數(shù)在區(qū)間t，t1上單調(diào)遞增，f(x)maxf(t1)(t1)22(t1)1t22.綜上所述，t時，所求最大值為t22t1；t>時，所求最大值為t22.14