（浙江專(zhuān)用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 1 第1講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法教學(xué)案

第六章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法知識(shí)點(diǎn)最新考綱數(shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、公式).等差數(shù)列 理解等差數(shù)列的概念 掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系 會(huì)用數(shù)列的等差關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題.等比數(shù)列 理解等比數(shù)列的概念 掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用 了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系 會(huì)用數(shù)列的等比關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題.數(shù)學(xué)歸納法會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問(wèn)題.第1講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法1數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照一定順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列an的第n項(xiàng)an通項(xiàng)公式數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系式前n項(xiàng)和數(shù)列an中，Sna1a2an2.數(shù)列的表示方法列表法列表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法把點(diǎn)(n，an)畫(huà)在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項(xiàng)公式把數(shù)列的通項(xiàng)使用公式表示的方法遞推公式使用初始值a1和an與an1的關(guān)系式或a1，a2和an1，an，an1的關(guān)系式等表示數(shù)列的方法3.an與Sn的關(guān)系若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則an4數(shù)列的分類(lèi)分類(lèi)原則類(lèi)型滿(mǎn)足條件按項(xiàng)數(shù)分類(lèi)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類(lèi)遞增數(shù)列an1>an其中nN*遞減數(shù)列an1<an常數(shù)列an1an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個(gè)數(shù)列()(2)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用通項(xiàng)公式表示()(3)數(shù)列an和集合a1，a2，a3，an是一回事()(4)若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn)()(5)一個(gè)確定的數(shù)列，它的通項(xiàng)公式只有一個(gè)()(6)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)nN*，都有anSnSn1.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)(5)×(6)×教材衍化1(必修5P33A組T4改編)在數(shù)列an中，a11，an1(n2)，則a5_解析：a212，a31，a413，a51.答案：2(必修5P33A組T5改編)根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫(xiě)出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an_答案：5n4易錯(cuò)糾偏(1)忽視數(shù)列是特殊的函數(shù)，其自變量為正整數(shù)集或其子集1，2，n；(2)求數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值時(shí)忽視項(xiàng)為零的情況；(3)根據(jù)Sn求an時(shí)忽視對(duì)n1的驗(yàn)證1在數(shù)列1，0，中，0.08是它的第_項(xiàng)解析：依題意得，解得n10或n(舍)答案：102在數(shù)列an中，ann26n7，當(dāng)其前n項(xiàng)和Sn取最大值時(shí)，n_解析：由題可知nN*，令ann26n70，得1n7(nN*)，所以該數(shù)列的第7項(xiàng)為零，且從第8項(xiàng)開(kāi)始an<0，則S6S7且最大答案：6或73已知Sn2n3，則an_解析：因?yàn)镾n2n3，那么當(dāng)n1時(shí)，a1S12135；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n3(2n13)2n1(*)由于a15不滿(mǎn)足(*)式，所以an答案：由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式an(高頻考點(diǎn))an與Sn關(guān)系的應(yīng)用是高考的?？純?nèi)容，且多出現(xiàn)在選擇題或填空題中，有時(shí)也出現(xiàn)在解答題的已知條件中，屬容易題主要命題角度有：(1)利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式an；(2)利用an與Sn的關(guān)系求Sn.角度一利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式an (2020·杭州二中高三?？?已知數(shù)列an滿(mǎn)足a12a23a34a4nan3n22n1，求an.【解】設(shè)a12a23a34a4nanTn，當(dāng)n1時(shí)，a1T13×122×112，當(dāng)n2時(shí)，nanTnTn13n22n13(n1)22(n1)16n5，因此an，顯然當(dāng)n1時(shí)，不滿(mǎn)足上式故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an角度二利用an與Sn的關(guān)系求Sn設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，an1SnSn1，則Sn_【解析】由已知得an1Sn1SnSn1Sn，兩邊同時(shí)除以Sn1Sn，得1，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則1(n1)n，所以Sn.【答案】 (1)已知Sn求an的三個(gè)步驟先利用a1S1求出a1.用n1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用anSnSn1(n2)便可求出當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式注意檢驗(yàn)n1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n2的表達(dá)式合并(2)Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問(wèn)題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化 利用anSnSn1(n2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn1的關(guān)系式，再求解利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為只含an，an1的關(guān)系式，再求解1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n1，則an_解析：當(dāng)n1時(shí)，a1S1314；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(3n1)(3n11)2·3n1.當(dāng)n1時(shí)，2×3112a1，所以an答案：2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，Sn2an1，則Sn_解析：法一：因?yàn)镾n2an1，所以當(dāng)n2時(shí)，Sn12an，所以anSnSn12an12an(n2)，即(n2)，又a2，所以an×(n2)當(dāng)n1時(shí)，a11×，所以an所以Sn2an12××.法二：因?yàn)镾1a1，an1Sn1Sn，則Sn2(Sn1Sn)，所以Sn1Sn，所以數(shù)列Sn是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以Sn.答案：由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式分別求出滿(mǎn)足下列條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)a10，an1an(2n1)(nN*)；(2)a11，anan1(n2，nN*)；(3)a11，an13an2(nN*)【解】(1)ana1(a2a1)(anan1)013(2n5)(2n3)(n1)2，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an(n1)2.(2)當(dāng)n2，nN*時(shí)，ana1××××1××××××n，當(dāng)n1時(shí)，也符合上式，所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為ann.(3)因?yàn)閍n13an2，所以an113(an1)，所以3，所以數(shù)列an1為等比數(shù)列，公比q3，又a112，所以an12·3n1，所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an2·3n11. (變條件)若本例(3)條件“an13an2”變?yōu)椤癮n13an3n1”，其他不變，求an.解：因?yàn)閍n13an3n1，所以1，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列所以(n1)n，所以ann·3n2·3n1.由數(shù)列遞推式求通項(xiàng)公式的常用方法 1在數(shù)列an中，a12，an1an，則an_解析：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a123.答案：32在數(shù)列an中，a11，an12nan，則an_解析：由于2n，故21，22，2n1，將這n1個(gè)等式疊乘，得212(n1)2，故an2.答案：2數(shù)列的性質(zhì)(高頻考點(diǎn))數(shù)列的性質(zhì)主要有單調(diào)性、周期性及最值問(wèn)題，是高考的熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題形式考查，多存在一定難度主要命題角度有：(1)數(shù)列的單調(diào)性；(2)數(shù)列的周期性；(3)數(shù)列的最值角度一數(shù)列的單調(diào)性已知an是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意的nN*，ann2n恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【解析】an是遞增數(shù)列，所以對(duì)任意的nN*，都有an1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1)(*)因?yàn)閚1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.【答案】(3，)角度二數(shù)列的周期性(2020·杭州中學(xué)高三質(zhì)檢)在數(shù)列an中，a15，(an12)(an2)3(nN*)，則該數(shù)列的前2 018項(xiàng)的和是_【解析】依題意得(an12)(an2)3，(an22)·(an12)3，因此an22an2，即an2an，所以數(shù)列an是以2為周期的數(shù)列又a15，因此(a22)(a12)3(a22)3，故a23，a1a28.注意到2 0182×1 009，因此該數(shù)列的前2 018項(xiàng)的和等于1 009(a1a2)8 072.【答案】8 072角度三數(shù)列的最值已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2kn，kN*，且Sn的最大值為8.試確定常數(shù)k，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式【解】因?yàn)镾nn2kn(nk)2k2，其中k是常數(shù)，且kN*，所以當(dāng)nk時(shí)，Sn取最大值k2，故k28，k216，因此k4，從而Snn24n.當(dāng)n1時(shí)，a1S14；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(n1)24(n1)n.當(dāng)n1時(shí)，1a1，所以ann. (1)解決數(shù)列單調(diào)性問(wèn)題的三種方法作差比較法，根據(jù)an1an的符號(hào)判斷數(shù)列an是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列作商比較法，根據(jù)(an0或an0)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀(guān)判斷(2)解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值(3)數(shù)列的最值可以利用數(shù)列的單調(diào)性或求函數(shù)最值的思想求解 1設(shè)函數(shù)f(x)數(shù)列an滿(mǎn)足anf(n)，nN*，且數(shù)列an是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B.C(1，3) D(2，3)解析：選D.因?yàn)閿?shù)列an是遞增數(shù)列，又anf(n)(nN*)，所以2a3.2已知數(shù)列an滿(mǎn)足an1an2n，且a133，則的最小值為()A21 B10C. D.解析：選C.由已知條件可知，當(dāng)n2時(shí)，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)33242(n1)n2n33，又n1時(shí)，a133滿(mǎn)足此式所以n1.令f(n)n1，則f(n)在1，5上為減函數(shù)，在6，)上為增函數(shù)，又f(5)，f(6)，則f(5)>f(6)，故f(n)的最小值為.3(2020·金麗衢十二校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)由下表定義：x12345f(x)41352若a15，an1f(an)(nN*)，則a2 018_解析：依題意得a15，a2f(a1)2，a3f(a2)1，a4f(a3)4，a5f(a4)5，a6f(a5)2，易知數(shù)列an是以4為周期的數(shù)列，注意到2 0184×5042，因此a2 018a22.答案：2基礎(chǔ)題組練1已知數(shù)列1，2，則2在這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是()A16 B24C26 D28解析：選C.因?yàn)閍11，a22，a3，a4，a5，所以an.令an2，解得n26.2在數(shù)列an中，a11，anan1an1(1)n(n2，nN*)，則的值是()A. B.C. D.解析：選C.由已知得a21(1)22，所以2a32(1)3，a3，所以a4(1)4，a43，所以3a53(1)5，所以a5，所以×.3(2020·杭州模擬)數(shù)列an定義如下：a11，當(dāng)n2時(shí)，an若an，則n的值為()A7 B8C9 D10解析：選C.因?yàn)閍11，所以a21a12，a3，a41a23，a5，a61a3，a7，a81a44，a9，所以n9，故選C.4(2020·溫州瑞安七中高考模擬)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a11，an13Sn(n1)，則a6()A3×44 B3×441C44 D441解析：選A.由an13Sn，得到an3Sn1(n2)，兩式相減得：an1an3(SnSn1)3an，則an14an(n2)，又a11，a23S13a13，得到此數(shù)列除去第一項(xiàng)后，為首項(xiàng)是3，公比為4的等比數(shù)列，所以ana2qn23×4n2(n2)，a63×44，故選A.5一給定函數(shù)yf(x)的圖象在下列各圖中，并且對(duì)任意a1(0，1)，由關(guān)系式an1f(an)得到的數(shù)列an滿(mǎn)足an1>an(nN*)，則該函數(shù)的圖象是()解析：選A.由an1f(an)，an1>an知f(an)>an，可以知道x(0，1)時(shí)f(x)>x，即f(x)的圖象在yx圖象的上方，由選項(xiàng)中所給的圖象可以看出，A符合條件6已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1a，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足SnSn13n22n4(n2)若對(duì)任意的nN*，anan1恒成立，則a的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選C.由SnSn13n22n4(n2)，可得Sn1Sn3(n1)22(n1)4，兩式相減，得an1an6n5，故an2an16n11，兩式相減，得an2an6.由n2，得a1a2a120，則a2202a，故數(shù)列an的偶數(shù)項(xiàng)為以202a為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，從而a2n6n142a；由n3，得a1a2a3a1a237，則a32a3，故當(dāng)n3時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)是以2a3為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，從而a2n16n92a.由條件得解得a，故選C.7(2020·寧波諾丁漢大學(xué)附中高三期中檢測(cè))已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn22n1(nN*)，則a1_；數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an_解析：因?yàn)镾nn22n1，當(dāng)n1時(shí)，a11212，當(dāng)n2時(shí)，所以anSnSn1n22n1(n1)22(n1)12n1，因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，a12132，所以an答案：28若數(shù)列an滿(mǎn)足a1·a2·a3··ann23n2，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_(kāi)解析：a1·a2·a3··an(n1)(n2)，當(dāng)n1時(shí)，a16；當(dāng)n2時(shí)，故當(dāng)n2時(shí)，an，所以an答案：an9(2020·寧波效實(shí)中學(xué)模擬)已知數(shù)列an滿(mǎn)足a11，anan1(nN*)，則an_解析：由anan1得2×，則由累加法得2，又因?yàn)閍11，所以21，所以an.答案：10(2020·金華市東陽(yáng)二中高三調(diào)研)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann212n32，其前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)任意m，nN*(m<n), SnSm的最大值為_(kāi)解析：由n212n320，得n4或n8，即a4a8.又函數(shù)f(x)x212x32的圖象開(kāi)口向下，所以數(shù)列前3項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，當(dāng)n>8時(shí)，數(shù)列中的項(xiàng)均為負(fù)數(shù)在m<n的情況下，SnSm的最大值為S7S4a5a6a75212×5326212×6327212×73210.答案：1011已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n12.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnanan1，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式解：(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S12222；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n12(2n2)2n12n2n.因?yàn)閍1也適合此等式，所以an2n(nN*)(2)因?yàn)閎nanan1，且an2n，an12n1，所以bn2n2n13·2n.12已知數(shù)列an滿(mǎn)足前n項(xiàng)和Snn21，數(shù)列bn滿(mǎn)足bn且前n項(xiàng)和為T(mén)n，設(shè)cnT2n1Tn.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)判斷數(shù)列cn的增減性解：(1)a12，anSnSn12n1(n2)所以bn(2)因?yàn)閏nbn1bn2b2n1，所以cn1cn0，所以cn1cn，所以數(shù)列cn為遞減數(shù)列綜合題組練1設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足：an1，a2 0183，那么a1()A B.C D.解析：選B.設(shè)a1x，由an1，得a2，a3，a4，a5xa1，所以數(shù)列an是周期為4的周期數(shù)列所以a2 018a504×42a23.解得x.2下列關(guān)于星星的圖案構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是_解析：從題圖中可觀(guān)察星星的構(gòu)成規(guī)律，n1時(shí)，有1個(gè)，n2時(shí)，有3個(gè)；n3時(shí)，有6個(gè)；n4時(shí)，有10個(gè)；，所以an1234n.答案：an3已知數(shù)列an，bn，若b10，an，當(dāng)n2時(shí)，有bnbn1an1，則b2 017_解析：由bnbn1an1得bnbn1an1，所以b2b1a1，b3b2a2，bnbn1an1，所以b2b1b3b2bnbn1a1a2an1，即bnb1a1a2an11，因?yàn)閎10，所以bn，所以b2 017.答案：4已知數(shù)列an滿(mǎn)足a11，a213，an22an1an2n6.(1)設(shè)bnan1an，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)求n為何值時(shí)，an最小解：(1)由得bn1bn2n6，b1a2a114.當(dāng)n2時(shí)，bnb1(b2b1)(b3b2)(b4b3)(bnbn1)14(2×16)(2×26)(2×36)2(n1)6142×6(n1)n27n8，當(dāng)n1時(shí)，上式也成立所以數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bnn27n8.(2)由(1)可知an1ann27n8(n1)(n8)，當(dāng)n<8時(shí)，an1<an，即a1>a2>a3>>a8，當(dāng)n8時(shí)，a9a8，當(dāng)n>8時(shí)，an1>an，即a9<a10<a11<所以當(dāng)n8或n9時(shí)，an的值最小5設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1a(a3)，an1Sn3n，nN*.(1)設(shè)bnSn3n，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)若an1an，nN*，求a的取值范圍解：(1)依題意得Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)，即bn12bn，又b1S13a3，因此，所求通項(xiàng)公式為bn(a3)2n1，nN*.(2)由(1)可知Sn3n(a3)2n1，nN*，于是，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n22×3n1(a3)2n2，an1an4×3n1(a3)2n22n2，所以，當(dāng)n2時(shí)，an1an12a30a9，又a2a13a1，a3.所以，所求的a的取值范圍是9，3)(3，)16