2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 3-3-2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃（2）教案

2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 3-3-2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃（2）教案一、設(shè)計(jì)問(wèn)題,創(chuàng)設(shè)情境練習(xí)1:(1)作出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖陰影部分),即可行域.將z1=x+y變形為y=-x+z1,這是斜率為-1、隨z1變化的一簇平行直線. z1是直線在y軸上的截距.當(dāng)然直線要與可行域相交,即在滿足約束條件時(shí)目標(biāo)函數(shù)z1=x+y取得最值.由圖可見(jiàn),當(dāng)直線z1=x+y經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)B時(shí),截距z1最小.解方程組得B點(diǎn)的坐標(biāo)為x=,y=.所以z1的最小值為.同理,當(dāng)直線z1=x+y與可行域的邊界x+y=6重合時(shí),z1最大為6.(2)同理將z2=3x+y化為y=-3x+z2,這是斜率為-3的一簇平行直線.如圖所示,當(dāng)它過(guò)可行域上的點(diǎn)A(0,6)時(shí),z2最小為6.(3)同理將z3=x+4y化為y=-x+,它是斜率為-的一簇直線.如圖所示,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)C時(shí),最大,即z3最大.解方程組得點(diǎn)C的坐標(biāo)為x=,y=.所以z3的最小值為.問(wèn)題1:是目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線的斜率與可行域中邊界對(duì)應(yīng)的直線的斜率的大小關(guān)系不同導(dǎo)致的.練習(xí)2:解:z=ax+y可化為y=-ax+z,因?yàn)閦=ax+y在可行域中的點(diǎn)B處取得最小值,所以,直線z=ax+y與可行域只有一個(gè)公共點(diǎn)B或與邊界AB重合,或與邊界BC重合.因此-2-a-.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.練習(xí)3:學(xué)生探究一:可以把可行域中的所有“整點(diǎn)”都求出來(lái).求這些最優(yōu)解時(shí),可根據(jù)可行域?qū)的限制條件,先令x去整數(shù),然后代入到可行域,求出y的范圍,并進(jìn)一步求出y的整數(shù)值.學(xué)生探究二:由于x,yN,則必有x+yN.又因?yàn)楫?dāng)x=,y=時(shí),z1的最小值為,且直線z1=x+y應(yīng)該向上方(或右方,或右上方)移動(dòng),所以相應(yīng)的z1的值大于.所以令z1=x+y=5,即y=-x+5,代入得即1x3,所以當(dāng)或時(shí),z1取得最小值5.問(wèn)題2:結(jié)合等量關(guān)系,將“二元”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“一元”問(wèn)題求解.當(dāng)可行域范圍較小,包含的整點(diǎn)個(gè)數(shù)很少時(shí),方法一比較簡(jiǎn)潔;反之,方法二較為簡(jiǎn)潔.二、運(yùn)用規(guī)律,解決問(wèn)題【例題】解:設(shè)需截第一種鋼板x張,第二種鋼板y張,則用圖形表示以上限制條件,得到如圖所示的平面區(qū)域(陰影部分).由題意,得目標(biāo)函數(shù)為z=x+y.可行域如圖所示.把z=x+y變形為y=-x+z,得到斜率為-1、在y軸上截距為z的一族平行直線.由圖可以看出,當(dāng)直線z=x+y經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí),截距z最小.解方程組得點(diǎn)M.而此問(wèn)題中的x,y必須是整數(shù),所以M不是最優(yōu)解.經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)整點(diǎn)且使截距z最小的直線是y=-x+12,經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)是B(3,9)和C(4,8),它們是最優(yōu)解.zmin=12.答:要解得所需三種規(guī)格的鋼板,且使所截兩種鋼板張數(shù)最小的方法有兩種,第一種截法是第一種鋼板3張,第二種鋼板9張;第二種截法是第一種鋼板4張,第二種鋼板8張.兩種截法都最少要兩種鋼板12張.問(wèn)題3:規(guī)律:(1)找出實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系,根據(jù)數(shù)量關(guān)系設(shè)出合理的兩個(gè)變量x,y;(2)用x,y表示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系,得到線性約束條件和目標(biāo)函數(shù);(3)用圖解法解答線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解,必要時(shí)要探求“整點(diǎn)”;(4)用最優(yōu)解作答實(shí)際問(wèn)題.四、變式訓(xùn)練,深化提高變式訓(xùn)練1:解:設(shè)每天食用x kg食物A,y kg食物B,總成本為z,那么可化為目標(biāo)函數(shù)為z=28x+21y.作出不等式組表示的平面區(qū)域,即可行域.平移直線z=28x+21y知,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)表示的點(diǎn)時(shí),zmin=28×+21×=16.答:每天食用食物A約143g,食物B約571g,能夠滿足日常飲食要求,又使花費(fèi)最低,最低成本為16元.問(wèn)題4:條件中的不等式組對(duì)應(yīng)平面區(qū)域;圖形;數(shù)形結(jié)合;也和圖形結(jié)合起來(lái);表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率;表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(0,3)的距離.變式訓(xùn)練2:解析:如圖所示,可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)(0,0)連線是介于直線OC和y軸之間,根據(jù)斜率的變化規(guī)律,直線OC的斜率最小為,所以的最小值為表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)P(0,3)的距離,所以結(jié)合圖形可以知道點(diǎn)P到直線AB的距離就是的最小值為.答案:五、反思小結(jié),觀點(diǎn)提煉問(wèn)題5:數(shù)形結(jié)合;平移直線時(shí),要根據(jù)目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)直線的斜率確定該直線與可行域邊界直線的相對(duì)位置關(guān)系;在圖形變化的過(guò)程中,尋求對(duì)應(yīng)的斜率的變化范圍,等等.當(dāng)堂檢測(cè)：1. 完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工需付工資每人50元，請(qǐng)瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2000元，設(shè)木工人，瓦工人，請(qǐng)工人的約束條件是（ ）.A BC D2. 已知滿足約束條件，則的最大值為（ ）.A19 B 18 C17 D163. 變量滿足約束條件則使得的值的最小的是（ ）.A（4，5） B（3，6） C（9，2）D（6，4） 4.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_(kāi)5.設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_(kāi)