（江蘇專用）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第46講 線面平行與面面平行學(xué)案

第46講　線面平行與面面平行 考試要求　1.空間中線面平行、面面平行的判定定理、性質(zhì)定理及有關(guān)性質(zhì)(B級要求)；2.運用線面平行、面面平行的判定及性質(zhì)定理證明一些空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題(B級要求). 診 斷 自 測 1.(必修2P41練習(xí)2改編)若直線a∥b，且b?平面α，則直線a與平面α的位置關(guān)系為________. 答案　a∥平面α或a?平面α 2.(教材改編)下列命題中不正確的有________(填序號). ①若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面； ②若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行； ③平行于同一條直線的兩個平面平行； ④若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α. 解析?、僦衋可以在過b的平面內(nèi)；②中a與α內(nèi)的直線可能異面；③中兩平面可相交；④中由直線與平面平行的判定定理知b∥α，正確. 答案　①②③ 3.設(shè)l，m為直線，α，β為平面，且l?α，m?β，則“l(fā)∩m＝?”是“α∥β”的________條件. 解析　當平面與平面平行時，兩個平面內(nèi)的直線沒有交點，故“l(fā)∩m＝?”是“α∥β”的必要條件；當兩個平面內(nèi)的直線沒有交點時，兩個平面可以相交，∴l(xiāng)∩m＝?是α∥β的必要不充分條件. 答案　必要不充分 4.(必修2P45習(xí)題9改編)已知α，β，γ是三個不重合的平面，α∥β，β∥γ，那么α與γ的位置關(guān)系為________. 答案　平行 5.(教材改編)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為________. 解析　連接BD，設(shè)BD∩AC＝O，連接EO，在△BDD1中，O為BD的中點，所以EO為△BDD1的中位線， 則BD1∥EO，而BD1?平面ACE，EO?平面ACE， 所以BD1∥平面ACE. 答案　平行 知 識 梳 理 1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”) ∵l∥a， a?α， l?α， ∴l(xiāng)∥α 性質(zhì)定理 如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線平行(簡記為“線面平行?線線平行”) ∵l∥α， l?β， α∩β＝b， ∴l(xiāng)∥b 2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”) ∵a∥β， b∥β， a∩b＝P， a?α， b?α， ∴α∥β 性質(zhì)定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么所得的兩條交線平行 ∵α∥β， α∩γ＝a， β∩γ＝b， ∴a∥b 考點一　直線與平面平行的判定與性質(zhì) 【例1－1】 如圖，四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點，AC與BE交于O點，G是線段OF上一點. (1)求證：AP∥平面BEF； (2)求證：GH∥平面PAD. 證明　(1)連接EC， ∵AD∥BC，BC＝AD， ∴BC綊AE， ∴四邊形ABCE是平行四邊形， ∴O為AC的中點. 又∵F是PC的中點，∴FO∥AP， FO?平面BEF，AP?平面BEF， ∴AP∥平面BEF. (2)連接FH，OH， ∵F，H分別是PC，CD的中點， ∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD. 又∵O是BE的中點，H是CD的中點， ∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H，F(xiàn)H、OH?平面OHF，∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH?平面OHF，∴GH∥平面PAD. 【例1－2】 (2018·鎮(zhèn)江月考)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為2.點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH. (1)證明：GH∥EF； (2)若EB＝2，求四邊形GEFH的面積. (1)證明　因為BC∥平面GEFH，BC?平面PBC， 且平面PBC∩平面GEFH＝GH， 所以GH∥BC. 同理可證EF∥BC，因此GH∥EF. (2)解　如圖，連接AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連接OP，GK. 因為PA＝PC，O是AC的中點，所以PO⊥AC， 同理可得PO⊥BD. 又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面內(nèi)， 所以PO⊥底面ABCD. 又因為平面GEFH⊥平面ABCD， 且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH. 因為平面PBD∩平面GEFH＝GK， 所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD， 從而GK⊥EF. 所以GK是梯形GEFH的高. 由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4， 從而KB＝DB＝OB，即K為OB的中點. 再由PO∥GK得GK＝PO， 即G是PB的中點，且GH＝BC＝4. 由已知可得OB＝4， PO＝＝＝6， 所以GK＝3. 故四邊形GEFH的面積S＝·GK ＝×3＝18. 規(guī)律方法　判斷或證明線面平行的常用方法 (1)利用線面平行的定義(無公共點)； (2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)； (3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)； (4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β). 【訓(xùn)練1】 如圖所示，CD，AB均與平面EFGH平行，E，F(xiàn)，G，H分別在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求證：四邊形EFGH是矩形. 證明　∵CD∥平面EFGH，CD?平面BCD， 而平面EFGH∩平面BCD＝EF， ∴CD∥EF. 同理HG∥CD，∴EF∥HG. 同理HE∥GF， ∴四邊形EFGH為平行四邊形. ∴CD∥EF，HE∥AB， ∴∠HEF為異面直線CD和AB所成的角. 又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF. ∴平行四邊形EFGH為矩形. 考點二　平面與平面平行的判定與性質(zhì) 【例2】 (2018·鎮(zhèn)江模擬)如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證： (1)B，C，H，G四點共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 證明　(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點， ∴GH是△A1B1C1的中位線， ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四點共面. (2)∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點， ∴EF∥BC. ∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G綊EB， ∴四邊形A1EBG是平行四邊形， ∴A1E∥GB. ∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 規(guī)律方法　證明面面平行的方法 (1)面面平行的定義； (2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行； (3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行； (4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行； (5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化. 【訓(xùn)練2】 如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，求證：平面BDC1∥平面AB1D1. 證明　在正方體ABCD－A1B1C1D1中， AD1∥BC1，AD1?平面BDC1，BC1?平面BDC1， 所以AD1∥平面BDC1. 同理可證B1D1∥平面BDC1. 又因為AD1∩B1D1＝D1，AD1，B1D1都在平面AB1D1內(nèi)， 所以平面AB1D1∥平面BDC1. 考點三　平行關(guān)系的綜合應(yīng)用 【例3－1】 如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，點D在邊BC上，AD⊥平面BCC1B1.設(shè)E是B1C1上的一點，當?shù)闹禐槎嗌贂r，A1E∥平面ADC1？請給出證明. 證明　當＝1，即E為B1C1的中點時， A1E∥平面ADC1.證明如下： 由AD⊥平面BCC1B1，得AD⊥BC. 在正三角形ABC中，D是BC的中點. 在正三棱柱ABC－A1B1C1中， 四邊形BCC1B1是矩形， 且D，E分別是BC，B1C1的中點， 所以B1B∥DE，B1B＝DE. 又B1B∥AA1，且B1B＝AA1， 所以DE∥AA1，且DE＝AA1. 所以四邊形ADEA1為平行四邊形， 所以EA1∥AD. 又EA1?平面ADC1，AD?平面ADC1， 所以A1E∥平面ADC1. 【例3－2】 (一題多解)(2018·鹽城模擬)如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中點，問在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？若存在，請確定點E的位置；若不存在，請說明理由. 解　法一　存在點E，且E為AB的中點時，DE∥平面AB1C1. 下面給出證明： 如圖，取BB1的中點F，連接DF， 則DF∥B1C1，又DF?平面DEF，B1C1?平面DEF， ∴B1C1∥平面DEF， ∵AB的中點為E，連接EF，ED， 則EF∥AB1，AB1∥平面DEF， ∵B1C1，AB1?平面AB1C1，B1C1∩AB1＝B1， ∴平面DEF∥平面AB1C1. 而DE?平面DEF， ∴DE∥平面AB1C1. 法二　假設(shè)在棱AB上存在點E， 使得DE∥平面AB1C1， 如圖，取BB1的中點F，連接DF，EF，ED，則DF∥B1C1， 又DF?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1， ∴DF∥平面AB1C1， 又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D， ∴平面DEF∥平面AB1C1， ∵EF?平面DEF，∴EF∥平面AB1C1， 又∵EF?平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1， ∴EF∥AB1， ∵點F是BB1的中點，∴點E是AB的中點. 即當點E是AB的中點時，DE∥平面AB1C1. 規(guī)律方法　(1)“探索”在于由未知到已知，由變化到確定.找平行關(guān)系時多借助中點、中位線、平行四邊形等圖形或關(guān)系的平行性質(zhì).題目的本質(zhì)仍是線與面的平行關(guān)系. (2)利用線面平行的性質(zhì)，可以實現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置，對于最值問題，常用函數(shù)思想來解決. 一、必做題 1.(2018·南通模擬)有下列命題： ①若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則直線l∥α； ②若直線a在平面α外，則a∥α； ③若直線a∥b，b∥α，則a∥α； ④若直線a∥b，b∥α，則a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線. 其中真命題的個數(shù)是________. 解析　命題①，l可以在平面α內(nèi)，不正確；命題②，直線a與平面α可以是相交關(guān)系，不正確；命題③，a可以在平面α內(nèi)，不正確；命題④正確. 答案　1 2.(2018·蘇北四校聯(lián)考)如圖是一個幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點.在此幾何體中，給出下列四個結(jié)論： ①直線BE與直線CF是異面直線； ②直線BE與直線AF是異面直線； ③直線EF∥平面PBC； ④平面BCE⊥平面PAD. 其中正確結(jié)論的序號為________. 解析　因為EF綊AD，AD綊BC，所以EF綊BC，所以E，B，C，F(xiàn)四點共面，所以BE與CF共面，所以①錯誤；因為AF?平面PAD，E∈平面PAD，E?直線AF，B?平面PAD，所以BE與AF是異面直線，所以②正確；因為EF∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC，所以③正確；由于不能推出線面垂直，故平面BCE⊥平面PAD不成立，所以④錯誤. 答案　②③ 3.對于空間中的兩條直線m，n和一個平面α，下列命題中的真命題是________(填序號). ①若m∥α，n∥α，則m∥n； ②若m∥α，n?α，則m∥n； ③若m∥α，n⊥α，則m∥n； ④若m⊥α，n⊥α，則m∥n. 解析　對①，直線m，n可能平行、異面或相交，故①錯誤；對②，直線m與n可能平行，也可能異面，故②錯誤；對③，m與n垂直而非平行，故③錯誤；對④，垂直于同一平面的兩直線平行，故④正確. 答案　④ 4.(2018·南京、徐州、連云港聯(lián)考)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列正確命題的序號是________. ①若m∥n，m⊥β，則n⊥β； ②若m∥n，m∥β，則n∥β； ③若m∥α，m∥β，則α∥β； ④若n⊥α，n⊥β，則α⊥β. 解析　如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這一平面，①正確；若m∥n，m∥β，則n∥β或n?β，②不正確；若m∥α，m∥β，則α，β可能平行也可能相交，③不正確；若n⊥α，n⊥β，則α∥β，④不正確. 答案?、? 5.(2016·全國Ⅱ卷)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，m?α，那么m∥β. ④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等. 其中正確的命題有________(填寫所有正確命題的編號). 解析　當m⊥n，m⊥α，n∥β時，兩個平面的位置關(guān)系不確定，故①錯誤，經(jīng)判斷知②③④均正確，故正確答案為②③④. 答案　②③④ 6.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設(shè)Q是CC1上的點，則點Q滿足條件________時，有平面D1BQ∥平面PAO. 解析　假設(shè)Q為CC1的中點. 因為P為DD1的中點， 所以QB∥PA. 連接DB，因為O是底面ABCD的中心， 所以D1B∥PO， 又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，且PA∩PO于P， 所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO， 又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO. 故點Q為CC1的中點時，有平面D1BQ∥平面PAO. 答案　Q為CC1的中點 7.空間四邊形ABCD的兩條對棱AC、BD的長分別為5和4，則平行于兩條對棱的截面四邊形EFGH在平移過程中，周長的取值范圍是________. 解析　設(shè)＝＝k，∴＝＝1－k， ∴GH＝5k，EH＝4(1－k)，∴周長＝8＋2k. 又∵0<k<1，∴周長的取值范圍為(8，10). 答案　(8，10) 8.如圖，L，M，N分別為正方體對應(yīng)棱的中點，則平面LMN與平面PQR的位置關(guān)系是________. 解析　如圖，分別取另三條棱的中點A，B，C，將平面LMN延展為平面正六邊形AMBNCL，因為PQ∥AL，PR∥AM，且PQ與PR相交，AL與AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR. 答案　平行 9.如圖，E、F、G、H分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點.求證： (1)EG∥平面BB1D1D； (2)平面BDF∥平面B1D1H. 證明　(1)取B1D1的中點O，連接GO，OB， ∵OG綊B1C1，BE綊BC， ∴OG綊BE， ∴四邊形BEGO為平行四邊形，故OB∥EG， 又EG?平面BB1D1D，OB?平面BB1D1D， ∴EG∥平面BB1D1D. (2)由題意可知BD∥B1D1，B1D1∥平面BDF， 如圖，連接HB、D1F， 易證四邊形HBFD1是平行四邊形，故HD1∥BF，HD1∥平面BDF. 又B1D1∩HD1＝D1，B1D1，HD1?平面B1D1H. 所以平面BDF∥平面B1D1H. 10.(2016·全國Ⅲ卷)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點. (1)證明：MN∥平面PAB； (2)求四面體N－BCM的體積. (1)證明　由已知得AM＝AD＝2. 如圖，取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC中點知TN∥BC，TN＝BC＝2. 又AD∥BC，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT. 因為AT?平面PAB，MN?平面PAB， 所以MN∥平面PAB. (2)解　因為PA⊥平面ABCD，N為PC的中點， 所以N到平面ABCD的距離為PA. 如圖，取BC的中點E，連接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝. 由AM∥BC得M到BC的距離為，故S△BCM＝×4×＝2.所以四面體N－BCM的體積VN－BCM＝×S△BCM×＝. 二、選做題 11.在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于點D，E，F(xiàn)，H.D，E分別是AB，BC的中點，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為________. 解析　如圖，取AC的中點G，連接SG，BG. 易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G， 故AC⊥平面SGB， 所以AC⊥SB. 因為SB∥平面DEFH，SB?平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD， 則SB∥HD. 同理SB∥FE. 又D，E分別為AB，BC的中點， 則H，F(xiàn)也為AS，SC的中點， 從而得HF綊AC綊DE， 所以四邊形DEFH為平行四邊形. 又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC， 所以DE⊥HD， 所以四邊形DEFH為矩形， 其面積S＝HF·HD＝·＝. 答案　 12.(2018·南通模擬)如圖所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，點D，D1分別為AC，A1C1上的點. (1)當?shù)扔诤沃禃r，BC1∥平面AB1D1? (2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值. 解　(1)如圖所示，取D1為線段A1C1的中點，此時＝1. 連接A1B，交AB1于點O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)知，四邊形A1ABB1為平行四邊形， ∴點O為A1B的中點. 在△A1BC1中，點O，D1分別為A1B，A1C1的中點， ∴OD1∥BC1. 又∵OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1， ∴BC1∥平面AB1D1. ∴當＝1時，BC1∥平面AB1D1. (2)由平面BC1D∥平面AB1D1， 且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1， 平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O， 得BC1∥D1O，同理AD1∥DC1， ∴＝，＝， 又∵＝1，∴＝1，即＝1. 16