（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 選考部分 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 文 新人教A版

第1講坐標(biāo)系與參數(shù)方程 做真題1(2019·高考全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2cos sin 110.(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值解：(1)因?yàn)?1，且x21，所以C的直角坐標(biāo)方程為x21(x1)l的直角坐標(biāo)方程為2xy110.(2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為(為參數(shù)，)C上的點(diǎn)到l的距離為.當(dāng)時(shí)，4cos11取得最小值7，故C上的點(diǎn)到l距離的最小值為.2(2019·高考全國卷)在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M(0，0)(0>0)在曲線C：4sin 上，直線l過點(diǎn)A(4，0)且與OM垂直，垂足為P.(1)當(dāng)0時(shí)，求0及l(fā)的極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程解：(1)因?yàn)镸(0，0)在曲線C上，當(dāng)0時(shí)，04sin 2.由已知得|OP|OA|cos 2.設(shè)Q(，)為l上除P的任意一點(diǎn)連接OQ，在RtOPQ中，cos|OP|2.經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P在曲線cos2上所以，l的極坐標(biāo)方程為cos2.(2)設(shè)P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos 4cos ，即4cos .因?yàn)镻在線段OM上，且APOM，故的取值范圍是.所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為4cos ，.明考情1坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一，高考考查的重點(diǎn)主要有兩個(gè)方面：一是簡單曲線的極坐標(biāo)方程；二是參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與曲線的綜合應(yīng)用2全國卷對(duì)此部分內(nèi)容的考查以解答題形式出現(xiàn)，難度中等，備考此部分內(nèi)容時(shí)應(yīng)注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用(綜合型) 知識(shí)整合1極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法點(diǎn)M直角坐標(biāo)(x，y)極坐標(biāo)(，)互化公式2.圓的極坐標(biāo)方程若圓心為M(0，0)，半徑為r，則圓的方程為：220cos(0)r20.幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程：(1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：r.(2)當(dāng)圓心位于M(a，0)，半徑為a：2acos .(3)當(dāng)圓心位于M(a，)，半徑為a：2asin .3直線的極坐標(biāo)方程若直線過點(diǎn)M(0，0)，且極軸到此直線的角為，則它的方程為：sin()0sin(0)幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程：(1)直線過極點(diǎn)：0和0.(2)直線過點(diǎn)M(a，0)且垂直于極軸：cos a.(3)直線過點(diǎn)M(b，)且平行于極軸：sin b. 典型例題 (2019·高考全國卷)如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，)，弧，所在圓的圓心分別是(1，0)，(1，)，曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是弧.(1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標(biāo)方程；(2)曲線M由M1，M2，M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP|，求P的極坐標(biāo)【解】(1)由題設(shè)可得，弧，所在圓的極坐標(biāo)方程分別為2cos ，2sin ，2cos .所以M1的極坐標(biāo)方程為2cos ，M2的極坐標(biāo)方程為2sin ，M3的極坐標(biāo)方程為2cos .(2)設(shè)P(，)，由題設(shè)及(1)知：若0，則2cos ，解得；若，則2sin ，解得或；若，則2cos ，解得.綜上，P的極坐標(biāo)為或或或.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程的一般思路曲線的極坐標(biāo)方程問題通常可利用互換公式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系中的問題求解，然后再次利用互換公式即可轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程熟練掌握互換公式是解決問題的關(guān)鍵(2)解決極坐標(biāo)問題的一般思路一是將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再將其化為極坐標(biāo)；二是將曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，根據(jù)限制條件求出極坐標(biāo) 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1在極坐標(biāo)系中，已知圓O：cos sin 和直線l：sin(0，0<2)(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)(0，)時(shí)，求直線l與圓O的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)解：(1)圓O：cos sin ，即2cos sin ，故圓O的直角坐標(biāo)方程為x2y2xy0，直線l：sin，即sin cos 1，則直線l的直角坐標(biāo)方程為xy10.(2)由(1)知圓O與直線l的直角坐標(biāo)方程，將兩方程聯(lián)立得解得即圓O與直線l在直角坐標(biāo)系下的公共點(diǎn)為(0，1)，將(0，1)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)為，即為所求2(2019·安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1：x0，圓C：(x1)2(y1)21，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求直線l1和圓C的極坐標(biāo)方程；(2)若直線l2的極坐標(biāo)方程為(R)，設(shè)l1，l2與圓C的公共點(diǎn)分別為A，B，求OAB的面積解：(1)因?yàn)閤cos ，ysin ，x2y22，所以直線l1的極坐標(biāo)方程為cos 0，即(R)，圓C的極坐標(biāo)方程為22cos 2(1)sin 320.(2)設(shè)A(1，)、B(2，)，將代入22cos 2(1)sin 320，得22(1)320，解得11.將代入22cos 2(1)sin 320，得22(1)320，解得21.故OAB的面積為×(1)2×sin1.參數(shù)方程及其應(yīng)用(綜合型) 知識(shí)整合直線和圓錐曲線的普通方程和參數(shù)方程點(diǎn)的軌跡普通方程參數(shù)方程直線yy0tan (xx0)(t為參數(shù))圓(xx0)2(yy0)2r2(為參數(shù))橢圓1(a>b>0)(為參數(shù))典型例題 (2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos2 32sin2 12，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)(1)若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2，)，求|PM|·|PN|的值；(2)求曲線C的內(nèi)接矩形周長的最大值【解】(1)由2cos2 32sin2 12得x23y212，故曲線C的直角坐標(biāo)方程為1，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2，0)，將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程1中，得t2t40，設(shè)點(diǎn)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則|PM|·|PN|t1t2|4.(2)由曲線C的直角坐標(biāo)方程為1，可設(shè)曲線C上的動(dòng)點(diǎn)A(2cos ， 2sin )，0<<.則以A為頂點(diǎn)的內(nèi)接矩形的周長為4(2cos 2sin )16sin，0<<.因此該內(nèi)接矩形周長的最大值為16，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值(1)有關(guān)參數(shù)方程問題的2個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消參數(shù)，要根據(jù)參數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化利用參數(shù)方程解決問題，關(guān)鍵是選準(zhǔn)參數(shù)，理解參數(shù)的幾何意義(2)利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解問題經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))若A，B為直線l上兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，線段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：t0.|PM|t0|.|AB|t2t1|.|PA|·|PB|t1·t2|. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2018·高考全國卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O的參數(shù)方程為(為參數(shù))，過點(diǎn)(0，)且傾斜角為的直線l與O交于A，B兩點(diǎn)(1)求的取值范圍；(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程解：(1)O的普通方程為x2y21.當(dāng)時(shí)，l與O交于兩點(diǎn)當(dāng)時(shí)，記tan k，則l的方程為ykx.l與O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)<1，解得k<1或k>1，即或.綜上，的取值范圍是.(2)l的參數(shù)方程為.設(shè)A，B，P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP，且tA，tB滿足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是.2(2019·成都第一次診斷性檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且與直角坐標(biāo)系長度單位相同的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程是2sin.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P(0，1)，若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|PB|的值解：(1)將直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t并化簡，得直線l的普通方程為xy10.曲線C的極坐標(biāo)方程可化為22，即22sin 2cos ，所以x2y22y2x，故曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x1)2(y1)22.(2)將直線l的參數(shù)方程代入(x1)2(y1)22中，得2，化簡，得t2(12)t30.因?yàn)?gt;0，所以此方程的兩根為直線l與曲線C的交點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)t1，t2.由根與系數(shù)的關(guān)系，得t1t221，t1t23，故t1，t2同正由直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，知|PA|PB|t1|t2|t1t221.極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用(綜合型) 典型例題 (2019·廣東六校第一次聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為22sin1.(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程，并指明曲線C的形狀；(2)設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且|OA|<|OB|，求.【解】(1)由消去參數(shù)t，得y2x.由22sin1，得22cos 2sin 10，x2y22x2y10，即(x1)2(y1)21.所以直線l的普通方程為y2x，曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x1)2(y1)21，曲線C表示以(1，1)為圓心，1為半徑的圓(2)將xt，yt代入x2y22x2y10，得t2t10，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.則t1t2>0，t1t21>0，所以t1>0，t2>0.因?yàn)閨OA|<|OB|，所以>0，所以.解決極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合問題應(yīng)關(guān)注的三點(diǎn)(1)對(duì)于參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程應(yīng)用不夠熟練的情況下，我們可以先化成直角坐標(biāo)的普通方程，這樣思路可能更加清晰(2)對(duì)于一些運(yùn)算比較復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程計(jì)算會(huì)比較簡潔(3)利用極坐標(biāo)方程解決問題時(shí)，要注意題目所給的限制條件及隱含條件 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知曲線C的極坐標(biāo)方程是4cos ，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù))(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|，求直線l的傾斜角的值解：(1)因?yàn)閏os x，sin y，2x2y2，所以曲線C的極坐標(biāo)方程4cos 可化為24cos ，所以x2y24x，所以(x2)2y24.(2)將代入圓的方程(x2)2y24得：(tcos 1)2(tsin )24，化簡得t22tcos 30.設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則所以|AB|t1t2|，因?yàn)閨AB|，所以.所以cos ±.因?yàn)?，所以?所以直線的傾斜角或.2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為的直線l過點(diǎn)M(2，4)以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且在兩坐標(biāo)系中長度單位相同，曲線C的極坐標(biāo)方程為sin2 2cos .(1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且|MA|·|MB|40，求傾斜角的值解：(1)因?yàn)閮A斜角為的直線過點(diǎn)M(2，4)，所以直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù))因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為sin2 2cos ，所以2sin22cos ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程是y22x.(2)把直線l的參數(shù)方程代入y22x，得t2sin2 (2cos 8sin )t200，由題意知，>0，設(shè)t1，t2為方程t2sin2(2cos 8sin )t200的兩根，則t1t2，t1t2，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義知|MA|·|MB|t1t2|40，故或，又(2cos 8sin )280sin2 >0，所以.1已知曲線C的極坐標(biāo)方程是2，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換得到曲線C，過點(diǎn)F(，0)作傾斜角為60°的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求|FA|·|FB|.解：(1)直線l的普通方程為2xy20，曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y24.(2)因?yàn)樗訡的直角坐標(biāo)方程為y21.易知直線AB的參數(shù)方程為(t為參數(shù))將直線AB的參數(shù)方程代入曲線C：y21，得t2t10，設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1·t2，所以|FA|·|FB|t1·t2|.2(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知曲線C1：x2(y3)29，A是曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，以極點(diǎn)O為中心，將點(diǎn)A繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)B的軌跡為曲線C2.(1)求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)射線(>0)與曲線C1，C2分別交于P，Q兩點(diǎn)，定點(diǎn)M(4，0)，求MPQ的面積解：(1)曲線C1：x2(y3)29，把代入可得，曲線C1的極坐標(biāo)方程為6sin .設(shè)B(，)，則A，則6sin()6cos .所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為6cos .(2)M到直線的距離為d4sin2，射線與曲線C1的交點(diǎn)P，射線與曲線C2的交點(diǎn)Q，所以|PQ|33，故MPQ的面積S×|PQ|×d33.3(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：sin2 2acos (a>0)，過點(diǎn)P(2，4)的直線l：(t為參數(shù))與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值解：(1)把代入sin22acos ，得y22ax(a>0)，由(t為參數(shù))，消去t得xy20，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程分別是y22ax(a>0)，xy20.(2)將(t為參數(shù))代入y22ax，整理得t22(4a)t8(4a)0.設(shè)t1，t2是該方程的兩根，則t1t22(4a)，t1·t28(4a)，由題意知，|MN|2|PM|·|PN|，所以(t1t2)2(t1t2)24t1·t2t1·t2，所以8(4a)24×8(4a)8(4a)，所以a1.4在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求曲線C1和曲線C2的極坐標(biāo)方程；(2)已知射線l1：，將射線l1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線l2：，且射線l1與曲線C1交于O，P兩點(diǎn)，射線l2與曲線C2交于O，Q兩點(diǎn)，求|OP|·|QQ|的最大值解：(1)曲線C1的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24，所以C1的極坐標(biāo)方程為4cos ，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2(y2)24，所以C2的極坐標(biāo)方程為4sin .(2)設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(1，)，即14cos ，點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為，即24sin，則|OP|·|OQ|124cos ·4sin16cos ·8sin4.因?yàn)?，所?.當(dāng)2，即時(shí)，|OP|·|OQ|取最大值4.5(2019·石家莊市質(zhì)量檢測(cè))已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為4cos ，以極點(diǎn)O為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，以極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，將曲線C1向左平移2個(gè)單位長度，再將得到的曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)保持不變，得到曲線C2.(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，點(diǎn)Q為曲線C2上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q到直線l距離的最大值解：(1)由4cos 得24cos ，所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24.設(shè)曲線C1上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則即代入曲線C1的直角坐標(biāo)方程(x2)2y24中，整理得x21，所以曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x21.(2)設(shè)Q(cos 1，2sin 1)，由直線l的參數(shù)方程得直線l的普通方程為3x2y80，則Q到直線l的距離d，當(dāng)cos(1)1時(shí)，d取得最大值，為，所以點(diǎn)Q到直線l距離的最大值為.6(2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為2cos .(1)若曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))，求曲線C1的直角坐標(biāo)方程和曲線C2的普通方程；(2)若曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，A(0，1)，且曲線C1與曲線C2的交點(diǎn)分別為P，Q，求的取值范圍解：(1)2cos ，則22cos .因?yàn)?x2y2，xcos ，所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0.將曲線C2的參數(shù)方程消去參數(shù)，可得曲線C2的普通方程為x2(y1)2t2.(2)將C2的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入C1的方程x2y22x0得，t2(2sin 2cos )t10.因?yàn)?2sin 2cos )248sin24>0，所以sin2>，所以.設(shè)P，Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2則t1t2(2sin 2cos )2sin，t1·t21.因?yàn)閠1·t21>0，所以t1，t2同號(hào)，所以|t1|t2|t1t2|.由t的幾何意義可得|t1t2|2，所以(2，2- 16 -