2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 解析幾何 第7課時 雙曲線（一）練習(xí) 理

2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 解析幾何 第7課時 雙曲線（一）練習(xí) 理1雙曲線1(0<m<3)的焦距為()A6B12C36 D2答案B解析c236m2m236，c6.雙曲線的焦距為12.2雙曲線8kx2ky28的一個焦點是(0，3)，則k的值是()A1 B1C. D答案B解析kx21，焦點在y軸上，c3，解得k1.3已知雙曲線1(a>0)的離心率為2，則a()A2 B.C. D1答案D解析因為雙曲線的方程為1，所以e214，因此a21，a1.選D.4(2017·北京西城期末)mn<0是方程1表示實軸在x軸上的雙曲線的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案B解析當(dāng)mn<0時，分m<0，n>0和m>0，n<0兩種情況當(dāng)m<0，n>0時，方程1表示焦點在y軸上的雙曲線；當(dāng)m>0，n<0時，方程1表示焦點在x軸上的雙曲線因此，當(dāng)mn<0時，方程1不一定表示實軸在x軸上的雙曲線方程1表示實軸在x軸上的雙曲線時，m>0，n<0，必定有mn<0.由此可得：mn<0是方程1表示實軸在x軸上的雙曲線的必要而不充分條件故選B.5(2017·河北邢臺摸底)雙曲線x24y21的漸近線方程為()Ax±2y0 By±2x0Cx±4y0 Dy±4x0答案A解析依題意，題中的雙曲線即x21，因此其漸近線方程是x20，即x±2y0，選A.6(2018·湖北孝感一中月考)設(shè)點P是雙曲線1(a>0，b>0)上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，已知PF1PF2，且|PF1|2|PF2|，則雙曲線的一條漸近線方程是()Ayx ByxCy2x Dy4x答案C解析由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|2a，又|PF1|2|PF2|，得|PF2|2a，|PF1|4a.在RtPF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，4c216a24a2，即c25a2，則b24a2，即b2a，則雙曲線1的一條漸近線方程為y2x.故選C.7(2018·安徽屯溪一中模擬)已知雙曲線的離心率為，且其頂點到其漸近線的距離為，則雙曲線的方程為()A.1B.1C.1或1D.1或1答案D解析當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)雙曲線的離心率為e，漸近線方程為y±x±x.由題意，頂點到漸近線的距離為，解得a2，b，雙曲線的方程為1.當(dāng)焦點在y軸上時，設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)雙曲線的離心率為e，漸近線方程為y±x±x，由題意可知：頂點到漸近線的距離為，解得a2，b，雙曲線的方程為1.綜上可知，雙曲線的方程為1或1.故選D.8已知點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點，過點F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若ABF2是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是()A(1，) B(，2)C(1，) D(1，1)答案D解析依題意，0<AF2F1<，故0<tanAF2F1<1，則<1，即e<2，e22e1<0，(e1)2<2，所以1<e<1，故選D.9已知雙曲線mx2ny21(m>0，n>0)的離心率為2，則橢圓mx2ny21的離心率為()A. B.C. D.答案B解析由已知雙曲線的離心率為2，得2.解得m3n.又m>0，n>0，m>n，即>.故由橢圓mx2ny21，得1.所求橢圓的離心率為e.10已知雙曲線的方程為1(a>0，b>0)，雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離為c(c為雙曲線的半焦距長)，則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.答案B解析雙曲線1的漸近線為±0，焦點A(c，0)到直線bxay0的距離為c，則c2a2c2，得e2，e，故選B.11(2018·成都市高三二診)設(shè)雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線左支的一個交點為P.若以O(shè)F1(O為坐標(biāo)原點)為直徑的圓與PF2相切，則雙曲線C的離心率為()A. B.C. D.答案D解析如圖，在圓O中，F(xiàn)1F2為直徑，P是圓O上一點，所以PF1PF2，設(shè)以O(shè)F1為直徑的圓的圓心為M，且圓M與直線PF2相切于點Q，則M(，0)，MQPF2，所以PF1MQ，所以，即，可得|PF1|，所以|PF2|2a，又|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以(2a)24c2，即7e26e90，解得e，e(舍去)故選D.12(2018·貴陽市高三檢測)雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個區(qū)域(不含邊界)，若點(2，1)在“右”區(qū)域內(nèi)，則雙曲線離心率e的取值范圍是()A(1，) B(，)C(1，) D(，)答案B解析依題意，注意到題中的雙曲線1的漸近線方程為y±x，且“右”區(qū)域是不等式組所確定，又點(2，1)在“右”區(qū)域內(nèi)，于是有1<，即>，因此題中的雙曲線的離心率e(，)，選B.13已知曲線方程1，若方程表示雙曲線，則的取值范圍是_答案<2或>1解析方程1表示雙曲線，(2)(1)>0，解得<2或>1.14(2016·北京)已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線為2xy0，一個焦點為(，0)，則a_；b_答案12解析由題意知，漸近線方程為y2x，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及性質(zhì)可知2，由c，c2a2b2，可得b2，a1.15(2015·課標(biāo)全國，文)已知雙曲線過點(4，)，且漸近線方程為y±x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案y21解析方法一：因為雙曲線過點(4，)，且漸近線方程為y±x，故點(4，)在直線yx的下方設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0，b>0)，所以解得故雙曲線方程為y21.方法二：因為雙曲線的漸近線方程為y±x，故可設(shè)雙曲線為y2(>0)，又雙曲線過點(4，)，所以()2，所以1，故雙曲線方程為y21.16(2018·湖南長沙模擬)P是雙曲線C：y21右支上一點，直線l是雙曲線C的一條漸近線，P在l上的射影為Q，F(xiàn)1是雙曲線C的左焦點，則|PF1|PQ|的最小值為_答案21解析設(shè)右焦點為F2，|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|2，|PF1|PQ|PF2|2|PQ|.當(dāng)且僅當(dāng)Q，P，F(xiàn)2三點共線，且P在F2，Q之間時，|PF2|PQ|最小，且最小值為F2到l的距離由題意得l的方程為y±x，F(xiàn)2(，0)，F(xiàn)2到l的距離d1，|PQ|PF1|的最小值為21.17.如圖所示，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，雙曲線的左支上有一點P，F(xiàn)1PF2，且PF1F2的面積為2，又雙曲線的離心率為2，求該雙曲線的方程答案1解析設(shè)雙曲線的方程為1，F(xiàn)1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，P(x0，y0)在PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|·cos(|PF1|PF2|)2|PF1|·|PF2|.即4c24a2|PF1|·|PF2|.又SPF1F22，|PF1|·|PF2|·sin2.|PF1|·|PF2|8.4c24a28，即b22.又e2，a2.所求雙曲線方程為1.18(2018·上海崇明一模)已知點F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x21的左、右焦點，過F2作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線C于點M，MF1F230°.(1)求雙曲線C的方程；(2)過雙曲線C上任意一點P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為P1，P2，求·的值答案(1)x21(2)解析(1)設(shè)F2，M的坐標(biāo)分別為(，0)，(，y0)(y0>0)，因為點M在雙曲線C上，所以1b21，則y0b2，所以|MF2|b2.在RtMF2F1中，MF1F230°，|MF2|b2，所以|MF1|2b2.由雙曲線的定義可知：|MF1|MF2|b22，故雙曲線C的方程為x21.(2)由條件可知：兩條漸近線分別為l1：xy0，l2：xy0.設(shè)雙曲線C上的點P(x0，y0)兩條漸近線的夾角為，由題意知cos.則點P到兩條漸近線的距離分別為|PP1|，|PP2|.因為P(x0，y0)在雙曲線C：x21上，所以2x02y022.所以··cos·.1(2015·廣東，理)已知雙曲線C：1的離心率e，且其右焦點為F2(5，0)，則雙曲線C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案C解析因為雙曲線C的右焦點為F2(5，0)，所以c5.因為離心率e，所以a4.又a2b2c2，所以b29.故雙曲線C的方程為1.2若雙曲線1的離心率為，則其漸近線方程為()Ay±2x By±xCy±x Dy±x答案B解析由離心率為，可知ca，ba.漸近線方程為y±x±x，故選B.3(2015·天津，文)已知雙曲線1(a>0，b>0)的一個焦點為F(2，0)，且雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23相切，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.y21 Dx21答案D解析雙曲線的一條漸近線方程為yx，即bxay0.由題意，得解得a21，b23，從而雙曲線的方程為x21.4設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|·|PF2|ab，則該雙曲線的離心率為()A. B.C. D3答案B解析由雙曲線的定義，得|PF1|PF2|2a.又|PF1|PF2|3b，所以(|PF1|PF2|)2(|PF1|PF2|)29b24a2，即4|PF1|·|PF2|9b24a2.又4|PF1|·|PF2|9ab，因此9b24a29ab，即940，則0，解得，則雙曲線的離心率e.5(2015·廣東改編)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3，0)，離心率等于，則C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由曲線C的右焦點為F(3，0)，知c3.由離心率e，知，則a2.故b2c2a2945.所以雙曲線C的方程為1.6(2016·天津)已知雙曲線1(b>0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析根據(jù)圓和雙曲線的對稱性，可知四邊形ABCD為矩形雙曲線的漸近線方程為y±x，圓的方程為x2y24，不妨設(shè)交點A在第一象限，由yx，x2y24得xA，yA，故四邊形ABCD的面積為4xAyA2b，解得b212，故所求的雙曲線方程為1，選D.7(2017·邯鄲調(diào)研)已知F為雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點，c為雙曲線的半焦距，定點G(0，c)，若雙曲線上存在一點P滿足|PF|PG|，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A(，) B(1，)C，) D(1，)答案A解析若雙曲線上存在點P滿足|PF|PG|，則必須滿足FG的中垂線與雙曲線有交點，則P是線段FG中垂線與雙曲線的交點，因為直線FG的方程為yxc，所以線段FG中垂線的方程為yx，又雙曲線的漸近線方程為y±x，則<1，即>1，所以e>，所以雙曲線的離心率的取值范圍為(，)8(2018·遼寧撫順重點高中協(xié)作校一模)當(dāng)雙曲線M：1(2m<0)的焦距取得最小值時，雙曲線M的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±2x Dy±x答案C解析c2m22m6(m1)255，當(dāng)且僅當(dāng)m1時取等號，此時a2m21，b22m64，所以2，即雙曲線的漸近線方程為y±2x，故選C.9(2018·遼寧師大附中期中)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右兩個焦點若直線yx與雙曲線C交于P，Q兩點，且四邊形PF1QF2為矩形，則雙曲線的離心率為()A2 B2C. D.答案C解析將yx代入1，可得x±.由矩形的對角線長相等，得·c，2a2b2(b2a2)c2，2a2(c2a2)(c22a2)c2，2(e21)e42e2，e44e220，又e>1，e22，e.故選C.10(2018·河南八市重點高中模擬)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1(b>0)的左、右焦點，P為雙曲線上的一點，若F1PF2120°，且F1PF2的三邊長成等差數(shù)列，則雙曲線的漸近線的斜率是()A± B±C± D±答案D解析不妨設(shè)P點在第一象限，|PF1|m，|PF2|n，則由已知得所以c29c140，解得c7或c2(舍去)，由b2c2a2得b3，則雙曲線的漸近線的斜率是±，故選D.11(2018·天津一中模擬)已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線平行于直線l：x2y50，且雙曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析因為雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線平行于直線l：x2y50，且雙曲線的一個焦點在直線l上，所以得所以雙曲線的方程為1.12(2018·蘭州市高考診斷)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點，點P為雙曲線C右支上一點，直線PF1與圓x2y2a2相切，且|PF2|F1F2|，則雙曲線C的離心率為()A. B.C. D2答案C解析設(shè)直線PF1與圓相切于點M，|PF2|F1F2|，PF1F2為等腰三角形，|F1M|PF1|，在RtF1MO(O為坐標(biāo)原點)中，|F1M|2|F1O|2a2c2a2，|F1M|b|PF1|，又|PF1|PF2|2a2c2a，c2a2b2，故由得，e.故選C.13(2018·福建漳州一中期中)已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若雙曲線右支上存在一點P，使得F2關(guān)于直線PF1的對稱點恰在y軸上，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為()A1<e< Be>Ce> D1<e<答案B解析設(shè)點F2(c，0)，由于F2關(guān)于直線PF1的對稱點M恰在y軸上，不妨設(shè)M在y軸正半軸上，由對稱性可得，|MF1|F1F2|2c，則|MO|c，則MF1F260°，PF1F230°，設(shè)直線PF1：y(xc)，代入雙曲線方程，可得(3b2a2)x22ca2xa2c23a2b20，則方程有兩個異號實數(shù)根，則有3b2a2>0，即有3b23c23a2>a2，即c>a，則有e>.故選B.14(2016·課標(biāo)全國)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是()A(1，3) B(1，)C(0，3) D(0，)答案A解析由題意得(m2n)(3m2n)>0，解得m2<n<3m2，又由該雙曲線兩焦點間的距離為4，得m2n3m2n4，即m21，所以1<n<3.15(2017·濟寧模擬)如圖所示，正六邊形ABCDEF的兩個頂點A，D為雙曲線的兩個焦點，其余4個頂點都在雙曲線上，則該雙曲線的離心率是()A.1 B.1C. D.答案A解析令正六邊形的邊長為m，則有|AD|2m，|AB|m，|BD|m，該雙曲線的離心率等于1.16(2013·全國)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，則C的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±x Dy±x答案C解析e，e2.a24b2，.漸近線方程為y±x.17(2018·山東滕州月考)已知雙曲線1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若雙曲線的左支上有一點M到右焦點F2的距離為18，N是MF2的中點，O為坐標(biāo)原點，則|NO|等于()A. B1C2 D4答案D解析由雙曲線1，知a5，由雙曲線定義|MF2|MF1|2a10，得|MF1|8，|NO|MF1|4.18(2018·湖南六校聯(lián)考)已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(3，4)，則此雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案C解析由已知可得交點(3，4)到原點O的距離為圓的半徑，則半徑r5，故c5，a2b225，又雙曲線的一條漸近線yx過點(3，4)，故3b4a，可解得b4，a3，故選C.19(2018·杭州學(xué)軍中學(xué)模擬)過雙曲線C1：1(a>0，b>0)的左焦點F作圓C2：x2y2a2的切線，設(shè)切點為M，延長FM交雙曲線C1于點N.若點M為線段FN的中點，則雙曲線C1的離心率為()A. B.C.1 D.答案A解析設(shè)雙曲線C1的右焦點為F1.根據(jù)題意，得|FN|2b，|F1N|2a.根據(jù)雙曲線的定義得|FN|F1N|2ab2a，則e.20(2018·遼寧五校協(xié)作體月考)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上的任意一點，若的最小值為8a，則雙曲線的離心率e的取值范圍是()A(1，) B(1，2C(1， D(1，3答案D解析設(shè)|PF2|m(mca)，則根據(jù)雙曲線的定義，得|PF1|2am.所以4am8a，當(dāng)且僅當(dāng)m2a時等號成立所以ca2a，解得e3，所以1<e3.故選D.21(2018·湖南衡陽一模)已知雙曲線C：y21的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2的直線與雙曲線C的右支相交于P，Q兩點，且點P的橫坐標(biāo)為2，則PF1Q的周長為()A4 B.C5 D.答案D解析|PF1|PF2|.PF1Q的周長為2(|PF1|PF2|)，故選D.22設(shè)雙曲線1(0<a<b)的半焦距為c，直線l過(a，0)，(0，b)兩點，已知原點到直線l的距離為c，則雙曲線的離心率為()A2 B.C. D.答案A解析直角三角形斜邊為c，斜邊上的高為c，4abc2.結(jié)合0<a<b得.e2.23(2018·河南鄭州一中期中)已知直線x被雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線所截得線段的長度恰好等于其一個焦點到漸近線的距離，則此雙曲線的離心率為_答案2解析由已知可得，c2a，e2.24(2015·山東，文)過雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點作一條與其漸近線平行的直線，交C于點P.若點P的橫坐標(biāo)為2a，則C的離心率為_答案2解析設(shè)直線方程為y(xc)，由得x，由2a，e，解得e2(e2舍去)