（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 不等式選講 第60講 不等式的證明優(yōu)選學(xué)案

第60講不等式的證明考綱要求考情分析命題趨勢(shì)1.了解柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，并會(huì)證明2會(huì)用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情形：·2，會(huì)用向量遞歸方法討論排序不等式3了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題4了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法2017·全國(guó)卷，232015·全國(guó)卷，242015·湖南卷，16(3)不等式的證明是對(duì)必修5中“不等式”的補(bǔ)充和深化，其中以考查綜合法、分析法、放縮法等為主另外應(yīng)用基本不等式、柯西不等式求函數(shù)的最值也是高考考查的一個(gè)方向分值：510分1比較法作差比較法與作商比較法的基本原理：(1)作差法：ab0_ab_.(2)作商法：_1_ab(a0，b0)2綜合法與分析法(1)綜合法：證明不等式時(shí)，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)_推理論證_而得出命題成立，綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч?2)分析法：證明命題時(shí)，從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的_充分條件_，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立這是一種_執(zhí)果索因_的思考和證明方法3反證法先假設(shè)要證的命題_不成立_，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的_推理_，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)_矛盾_的結(jié)論，以說(shuō)明假設(shè)_不正確_，從而證明原命題成立，我們把它稱(chēng)為反證法4放縮法證明不等式時(shí)，通過(guò)把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)豞放大_或_縮小_以利于化簡(jiǎn)，并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯，從而得出原不等式成立，這種方法稱(chēng)為放縮法5數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟：(1)證明當(dāng)_nn0_時(shí)命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)_nk_(kN*，且kn0)時(shí)命題成立，證明_nk1_時(shí)命題也成立綜合(1)(2)可知，結(jié)論對(duì)于任意nn0，且n0，nN*都成立6柯西不等式(1)代數(shù)形式：設(shè)a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)等號(hào)成立(2)向量形式：設(shè)，是兩個(gè)向量，則|·|，當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使k時(shí)，等號(hào)成立(3)三角不等式：設(shè)x1，y1，x2，y2，x3，y3R，則.(4)一般形式：設(shè)a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實(shí)數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1,2，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得aikbi(i1,2，n)時(shí)，等號(hào)成立7排序不等式設(shè)a1a2an，b1b2bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，那么a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn.當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an或b1b2bn時(shí)，反序和等于順序和1思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)用反證法證明命題“a，b，c全為0”時(shí)假設(shè)為“a，b，c全不為0”. (×)(2)若實(shí)數(shù)x，y適合不等式xy>1，xy>2，則x>0，y>0.()(3)不等式|xa|xb|c恒成立的充要條件是|ab|c.()(4)不等式|xa|xb|c恒成立的充要條件是|ab|c.(×)2若a>0，b>0，a，b的等差中項(xiàng)是，且a，b，則的最小值為(D)A2B3C4D5解析為a，b的等差中項(xiàng)，ab×21.ab111，ab.114.的最小值為5.故選D.3設(shè)a>0，b>0，若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則的最小值為(B)A8B4C1D解析因?yàn)?a·3b3，所以ab1.(ab)2224，當(dāng)且僅當(dāng)，即ab時(shí)“”成立故選B.4若直線(xiàn)3x4y2，則x2y2的最小值為_(kāi)，最小值點(diǎn)為_(kāi).解析畫(huà)出直線(xiàn)3x4y2的圖象，再畫(huà)以原點(diǎn)為圓心的圓，要使圓和直線(xiàn)有交點(diǎn)，則最小半徑為直線(xiàn)與圓相切時(shí)，r，切點(diǎn)為直線(xiàn)3x4y2與4x3y0的交點(diǎn)因此，當(dāng)x，y時(shí)，x2y2取得最小值，最小值為，最小值點(diǎn)為.5定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)x1，x2都有x1f(x1)x2f(x2)>x1f(x2)x2f(x1)，則稱(chēng)函數(shù)f(x)為“函數(shù)”，以下函數(shù)中為“函數(shù)”的序號(hào)為_(kāi).yx31；y3x2sin x2cos x；yy解析由排序不等式原理可知x1f(x1)x2f(x2)>x1f(x2)x2f(x1)或f(x)是R上的增函數(shù)易知是R上的減函數(shù)；是R上的偶函數(shù)；對(duì)于，y32sin>0；對(duì)于，根據(jù)其圖象可以判定為增函數(shù)一比較法證明不等式比較法證明不等式的步驟 (1)作差(商)；(2)變形；(3)判斷差的符號(hào)(商與1的大小關(guān)系)；(4)下結(jié)論其中“變形”是關(guān)鍵，作差比較法中通常將差變形成因式連乘積的形式或平方和的形式，再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負(fù)【例1】 已知a，b，x，y(0，)，且，xy.求證：.證明方法一，且a，b(0，)，ba0.又xy0，bxay. 0，即.方法二x，y，a，b(0，)，要證，只需證明x(yb)y(xa)，即證xbya.而由0，得ba0.又xy0，xbya顯然成立故原不等式成立二分析法和綜合法證明不等式分析法和綜合法證明不等式的技巧證明不等式，主要從目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征，綜合已知條件，借助相關(guān)定理公式探索思路，如果這種特征不足以明確解題方法時(shí)，就應(yīng)從目標(biāo)式開(kāi)始通過(guò)“倒推”分析法，尋找目標(biāo)式成立的充分條件直至與已知條件吻合，然后從已知條件出發(fā)綜合寫(xiě)出證明過(guò)程【例2】 (2017·全國(guó)卷)已知a0，b0，a3b32.證明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.證明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因?yàn)?ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.三柯西不等式的應(yīng)用柯西不等式應(yīng)用的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)求表達(dá)式的最值依據(jù)已知條件，利用柯西不等式求最值，注意等號(hào)成立的條件(2)證明不等式注意所證不等式的結(jié)構(gòu)特征，尋找柯西不等式的條件，然后證明【例3】 (1)已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿(mǎn)足abcd3，a22b23c26d25，求證：1a2.(2)若x2y3z6，求x2y2z2的最小值證明(1)由柯西不等式得(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2，由已知可得2b23c26d25a2，bcd3a，5a2(3a)2，即1a2，當(dāng)且僅當(dāng)，即2b3c6d時(shí)，等號(hào)成立(2)因?yàn)?x2y3z·，所以x2y2z2，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x，y，z時(shí)，x2y2z2有最小值.1設(shè)a>b>c>0，則2a210ac25c2的最小值是(D)A1B2C3D4解析2a210ac25c2(a5c)2a2abab(a5c)2aba(ab)0224，當(dāng)且僅當(dāng)a5c0，ab1，a(ab)1時(shí)等號(hào)成立，如取a，b，c滿(mǎn)足條件故選D.2若P(x>0，y>0，z>0)，則P與3的大小關(guān)系為_(kāi)P<3_. 解析1x>0,1y>0,1z>0，<3，即P<3.3已知a，b，c(0，)，且abc1，求證：··8.證明a，b，c(0，)，ab2，bc2，ca2，··8.4設(shè)a，b，c是正實(shí)數(shù)，且abc9，求的最小值解析(abc)()2()2()2218，當(dāng)且僅當(dāng)abc3時(shí)，等號(hào)成立2.的最小值為2.錯(cuò)因分析：轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題時(shí)，弄錯(cuò)大小或忽略等號(hào)導(dǎo)致錯(cuò)誤【例1】 已知關(guān)于x的不等式a，恒成立；無(wú)解；有解；分別求a的取值范圍解析設(shè)g(x)，則g(x)則2g(x)2，所以a(2，)；a(，2；a(2，)【跟蹤訓(xùn)練1】 設(shè)f(x)|ax1|.(1)若f(x)2的解集為6,2，求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)a2時(shí)，若存在xR使得不等式f(2x1)f(x1)73m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解析(1)顯然a0，當(dāng)a>0時(shí)，解集為，則6，2，無(wú)解；當(dāng)a<0時(shí)，解集為，令2，6，得a.綜上所述，a.(2)當(dāng)a2時(shí)，令h(x)f(2x1)f(x1)|4x1|2x3|由此可知h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)x時(shí)，h(x)取到最小值，由題意，知73m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.課時(shí)達(dá)標(biāo)第60講解密考綱不等式的證明以解答題進(jìn)行考查，主要考查綜合法、比較法，還常用基本不等式證明不等式或求最值1已知a，b都是正數(shù)，且ab，求證：a3b3>a2bab2.證明(a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2.因?yàn)閍，b都是正數(shù)，所以ab>0.又因?yàn)閍b，所以(ab)2>0.于是(ab)(ab)2>0，即(a3b3)(a2bab2)>0，所以a3b3>a2bab2.2已知a，b，c都是正數(shù)，求證：abc.證明因?yàn)閎2c22bc，a2>0，所以a2(b2c2)2a2bc，同理，b2(a2c2)2ab2c，c2(a2b2)2abc2，相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，從而a2b2b2c2c2a2abc(abc)由a，b，c都是正數(shù)，得abc>0，因此abc.3已知a，b，c(0，)，求證：23.證明欲證23，只需證ab2abc3，即證c23，a，b，c(0，)，c2c33，c23成立，故原不等式成立4設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，且2.(1)求a2b2的最小值；(2)若(ab)24(ab)3，求ab的值解析(1)由22，得ab，當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)故a2b22ab1，當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)所以a2b2的最小值是1.(2)由(ab)24(ab)3，得24ab，即24ab，從而ab2.又a，b為正實(shí)數(shù)，所以ab2，所以ab2，所以ab1.5已知函數(shù)f(x)|x|2x1|，記f(x)>1的解集為M.(1)求M；(2)已知aM，比較a2a1與的大小解析(1)f(x)|x|2x1|由f(x)>1，得或或解得0<x<2，故Mx|0<x<2(2)由(1)知0<a<2，因?yàn)閍2a1，當(dāng)0<a<1時(shí)，<0，所以a2a1<；當(dāng)a1時(shí)，0，所以a2a1；當(dāng)1<a<2時(shí)，>0，所以a2a1>.綜上所述，當(dāng)0<a<1時(shí)，a2a1<；當(dāng)a1時(shí)，a2a1；當(dāng)1<a<2時(shí)，a2a1>.6已知a，b，c>0，abc1.求證：(1)；(2).證明(1)由柯西不等式得()2(1·1·1·)2(121212)·()2()2()23，當(dāng)且僅當(dāng)，即abc時(shí)，等號(hào)成立，.(2)由柯西不等式得(3a1)(3b1)(3c1)29(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào))，又abc1，69，.9